完整版高中所有数学公式可编辑修改word版.docx

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高中数学常用公式及结论

1元素与集合的关系:

x∈A⇔x∉CUA,x∈CUA⇔x∉A.∅ØA⇔A≠∅

2集合{a,a,,a}的子集个数共有2n

个；真子集有2n-1个；非空子集有2n-1个；非空的真子集有

12n

2n-2个.

3二次函数的解析式的三种形式：

（1）一般式f（x）=ax2+bx+c（a≠0）;

（2）顶点式f（x）=a（x-h）2+k（a≠0）;（当已知抛物线的顶点坐标（h,k）时，设为此式）

（3）零点式f（x）=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）；（当已知抛物线与x轴的交点坐标为（x1,0）,（x2,0）时，设为此式）

（4）

0

切线式：

f（x）=a（x-x）2+（kx+d）,（a≠0）。

（当已知抛物线与直线y=kx+d相切且切点的

横坐标为x0时，设为此式）

4真值表：

同真且真，同假或假

5

原结论

反设词

原结论

反设词

是

不是

至少有一个

一个也没有

都是

不都是

至多有一个

至少有两个

大于

不大于

至少有n个

至多有（n-1）个

小于

不小于

至多有n个

至少有（n+1）个

对所有x，成立

存在某x，不成立

p或q

⌝p且⌝q

对任何x，不成立

存在某x，成立

p且q

⌝p或⌝q

常见结论的否定形式;

6四种命题的相互关系（下图）:

（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）

互

互

互

否

为

为

互

否

逆逆

否否

互逆

逆否命题若非ｑ则非ｐ

逆命题若ｑ则ｐ

否命题

若非ｐ则非ｑ

原命题若ｐ则ｑ

互逆

充要条件：

（1）、p⇒q，则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件；

（2）、p⇒q，且q≠>p，则P是q的充分不必要条件；

（3）、p≠>p，且q⇒p，则P是q的必要不充分条件；

7函数单调性:

4、p≠>p，且q≠>p，则P是q的既不充分又不必要条件。

增函数：

（1）、文字描述是：

y随x的增大而增大。

（2）、数学符号表述是：

设f（x）在x∈D上有定义，若对任意的x1,x2∈D,且x1

f（x1）<

f（x2）成立，则就叫f（x）在x∈D上是增函数。

D则就是f（x）的递增区间。

减函数：

（1）、文字描述是：

y随x的增大而减小。

（2）、数学符号表述是：

设f（x）在x∈D上有定义，若对任意的x1,x2∈D,且x1

f（x1）>

f（x2）成立，则就叫f（x）在x∈D上是减函数。

D则就是f（x）的递减区间。

单调性性质：

（1）、增函数+增函数=增函数；

（2）、减函数+减函数=减函数；

（3）、增函数-减函数=增函数；（4）、减函数-增函数=减函数；

注：

上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。

复合函数的单调性：

函数单调

单调性

内层函数

↓

↑

↑

↓

外层函数

↓

↑

↓

↑

复合函数

↑

↑

↓

↓

等价关系：

（1）设x1,x2∈[a,b],x1≠x2那么

（x-x）[f（x）-f（x）]>0⇔

f（x1）-f（x2）>0⇔

f（x）在[a,b]上是增函数；

1212

x1-x2

（x-x）[f（x）-f（x）]<0⇔

f（x1）-f（x2）<0⇔

f（x）在[a,b]上是减函数.

1212

x1-x2

（2）设函数y=f（x）在某个区间内可导，如果f'（x）>0，则f（x）为增函数；如果f'（x）<0，则f（x）

为减函数.

8函数的奇偶性：

（注：

是奇偶函数的前提条件是：

定义域必须关于原点对称）奇函数：

定义：

在前提条件下，若有f（-x）=-f（x）或f（-x）+f（x）=0，

则f（x）就是奇函数。

性质：

（1）、奇函数的图象关于原点对称；

（2）、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间；

（3）、定义在R上的奇函数，有f（0）=0.

偶函数：

定义：

在前提条件下，若有f（-x）=

f（x），则f（x）就是偶函数。

性质：

（1）、偶函数的图象关于y轴对称；

（2）、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间；

奇偶函数间的关系：

（1）、奇函数·偶函数=奇函数；

（2）、奇函数·奇函数=偶函数；

（3）、偶奇函数·偶函数=偶函数；（4）、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的）（5）、偶函数±偶函数=偶函数；（6）、奇函数±偶函数=非奇非偶函数

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

9函数的周期性：

定义：

对函数f（x），若存在T≠0，使得f（x+T）=f（x），则就叫f（x）是周期函数，其中，T是f（x）

的一个周期。

周期函数几种常见的表述形式：

（1）、f（x+T）=-f（x），此时周期为2T；

（2）、f（x+m）=f（x+n），此时周期为2m-n；

（3）、f（x+m）=-

10

y

k<0

k>0

o

x

y=kx+b

y

a<0

o

x

a>0

y=ax2+bx+c

y

y=logax

0

o

1

x

a>1

常见函数的图像：

1

f（x）

，此时周期为2m。

y

y=ax

0

a>1

1

o

x

11对于函数y=

f（x）（x∈R）,f（x+a）=

f（b-x）恒成立,则函数f（x）的对称轴是x=

b-a

a+b

2

;两个

函数y=

f（x+a）与y=

f（b-x）

的图象关于直线x=

对称.

2

12分数指数幂与根式的性质：

nam

m

（1）an=（a>0,m,n∈N*，且n>1）.

=

-m11*

（2）a

n=（a>0,m,n∈N

a

mnm

an

，且n>1）.

（3）

（na）n=a.

（4）当n为奇数时，

nan

=a；当n为偶数时，

=|a|=⎧a,a≥0.

nan

⎨-a,a<0

⎩

13

a

指数式与对数式的互化式:

指数性质：

logN=b⇔ab=N（a>0,a≠1,N>0）.

（1）1、a-p=1

ap

；

（2）、a0=1（a≠0）；（3）、amn=（am）n

nam

m

（4）、ar⋅as=ar+s（a>0,r,s∈Q）

指数函数：

；（5）、an=；

（1）、

y=ax（a>1）在定义域内是单调递增函数；

（2）、

y=ax（0

注：

指数函数图象都恒过点（0，1）

对数性质：

M

（1）

a

、logaM+logaN=loga（MN）；

（2）、logaM-logaN=logaN；

（3）、

log

bm=m⋅logb

；（4）、

logm

bn=

n⋅logbma

；（5）、

loga1=0

aa

（6）、

logaa=1

；（7）、

alogab=b

对数函数：

（1）、

y=logax（a>1）

在定义域内是单调递增函数；

（2）、y=logax（0

对数函数图象都恒过点（1，0）

（3）、logax>0⇔a,x∈（0,1）或a,x∈（1,+∞）

（4）、logax<0⇔a∈（0,1）则x∈（1,+∞）

或a∈（1,+∞）则x∈（0,1）

14对数的换底公式:

log

N=logmN

（a>0,且a≠1,m>0,且m≠1,

N>0）.

m

aloga

对数恒等式：

alogaN=N（a>0,且a≠1,

N>0）.

a

推论logm

bn=

nlog

ma

b（a>0,且a≠1,

N>0）.

15对数的四则运算法则:

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

M

（1）loga（MN）=logaM+logaN;

（2）logaN=logaM-logaN;

（3）

aa

log

Mn=nlog

M（n∈R）;（4）

logm

Nn=

nlog

ma

N（n,m∈R）。

16

a

平均增长率的问题（负增长时p<0）：

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有y=N（1+p）x.

17等差数列：

通项公式：

（1）

an=a1+（n-1）d

，其中a1为首项，d为公差，n为项数，an为末项。

（2）推广：

an=ak+（n-k）d

（3）an=Sn-Sn-1（n≥2）

（注：

该公式对任意数列都适用）

前n项和：

（1）S

=n（a1+an）

；其中a为首项，n为项数，a

为末项。

n21n

n（n-1）

（2）Sn=na1+2d

（3）Sn=Sn-1+an（n≥2）

（4）Sn=a1+a2++an

（注：

该公式对任意数列都适用）

（注：

该公式对任意数列都适用）

常用性质：

（1）、若m+n=p+q，则有

am+an=ap+aq；

注：

若am是an,ap的等差中项，则有2am=an+ap⇔n、m、p成等差。

（2）、若{an}、{bn}为等差数列，则{an±bn}为等差数列。

（3）、{an}为等差数列，Sn为其前n项和，则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列。

（4）、ap=q,aq=p,则ap+q=0；

（5）1+2+3+…+n=

等比数列：

n（n+1）

2

通项公式：

（1）a=aqn-1=a1⋅qn（n∈N*），其中a为首项，n为项数，q为公比。

n1q1

（2）

nk

推广：

a=a⋅qn-k

（3）an=Sn-Sn-1（n≥2）

前n项和：

（1）Sn=Sn-1+an（n≥2）

（2）Sn=a1+a2++an

（注：

该公式对任意数列都适用）

（注：

该公式对任意数列都适用）

（注：

该公式对任意数列都适用）

⎨1

⎧na1（q=1）

（3）Sn

=⎪a（1-qn）

（q≠1）

⎩

⎪1-q

常用性质：

（1）、若m+n=p+q，则有

am⋅an=ap⋅aq；

注：

若am是an,ap的等比中项，则有a=a⋅a⇔n、m、p成等比。

mnp

2

（2）、若{an}、{bn}为等比数列，则{an⋅bn}为等比数列。

ab（1+b）n

18分期付款（按揭贷款）：

每次还款x=

19三角不等式：

（1+b）n-1

元（贷款a元,n次还清,每期利率为b）.

（1）若x∈（0,），则sinx

2

2

（2）若x∈（0,），则1

2

（3）|sinx|+|cosx|≥1.

22

sin

20同角三角函数的基本关系式：

sin+cos=1，tan=，

cos

21正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

22和角与差角公式

sin（±）=sincos±cossin;cos（±）=coscossinsin;

tan（±）=

tan±tan

.

1tantan

asin+bcos=

sin（+）

a2+b2

b

（辅助角所在象限由点（a,b）的象限决定,tan=）.

a

23二倍角公式及降幂公式

sin2=sincos=

2tan

.

1+tan2

2222

1-tan2

cos2=cos-sin=2cos-1=1-2sin

=1+tan2.

tan2=

2tan

.

tan=

sin2

=1-cos2

1-tan21+cos2sin2

sin2=1-cos221+cos2

cos=

22

24三角函数的周期公式

函数y=sin（x+），x∈R及函数y=cos（x+），x∈R（A,ω,为常数，且A≠0）的周期T=

2

；函

||

数y=tan（x+），x≠k+

三角函数的图像：

k∈Z（A,ω,为常数，且A≠0）的周期T=

2

.

||

y=sinxy

1

-π/2

o

-2π-3π/2-π

-1

3π/2

π

π/2

2πx

y=cosxy

-2π-3π/2-π

-π/2oπ/2π

3π/22π

1

x

-1

25正弦定理：

a=b=c=2R（R为∆ABC外接圆的半径）.

sinAsinBsinC

⇔a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC⇔a:

b:

c=sinA:

sinB:

sinC

26余弦定理：

a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC.

27面积定理：

（1）

111

S=2aha=2bhb=2chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）.

111

（2）S=absinC=bcsinA=casinB.

1

2

（|OA|⋅|OB|）-（

2

OAOB

⋅）

2

222

（3）S∆OAB=.

r∆内切圆=

2S∆

a+b+c

r直角∆内切圆

=a+b－c斜边

2

28三角形内角和定理：

在△ABC中，有A+B+C=⇔C=-（A+B）

C

⇔=-

A+B

⇔2C=2-2（A+B）.

222

29实数与向量的积的运算律:

设λ、μ为实数，那么：

（1）结合律：

λ（μa）=（λμ）a;

（2）第一分配律：

（λ+μ）a=λa+μa;

（3）第二分配律：

λ（a+）=λa+λ.

b

b

30a与b的数量积（或内积）：

a·b=|a||b|cos。

31平面向量的坐标运算：

（1）设a=（x,y）,=（x,y），则a+=（x+x,y+y）.

11b22b1212

（2）设a=（x,y）,=（x,y），则a-=（x-x,y-y）.

11b22b1212

（3）设A（x1,y1），B（x2,y2）,则AB=OB-OA=（x2-x1,y2-y1）.

（4）设a=（x,y）,∈R，则a=（x,y）.

（5）设a=（x,y）,=（x,y），则a·=（xx+yy）.

11b22b1212

32两向量的夹角公式：

a⋅

xx+yy

cos=b=1212（a=（x,y）,b=（x,y））.

x2+y2

11

x2+y2

22

|a|⋅|b|⋅

33

AB⋅AB

平面两点间的距离公式：

1122

dA,B

=

=

=|AB|

（A（x1,y1），B（x2,y2））.

（x-x）2+（y-y）2

21

21

34向量的平行与垂直：

设a=（x,y）,=（x,y），且≠，则：

11b22b0

||

ab⇔b=λa⇔x1y2-x2y1=0.（交叉相乘差为零）

⊥

ab（a≠0）⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.（对应相乘和为零）

35线段的定比分公式：

设P1（x1,y1），P2（x2,y2），P（x,y）是线段P1P2的分点,是实数，且

⎧x=x1+x2

⎪1+

OP1+OP2

P1P=PP2，则⎨

y+y

⇔OP=

1+

⎪y=12

⎩⎪1+

⇔1

OP=tOP1+（1-t）OP2（t=1）.

+

36三角形的重心坐标公式：

△ABC三个顶点的坐标分别为A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3）,则△ABC

的重心的坐标是G（x1+x2+x3,y1+y2+y3）.

33

37三角形五“心”向量形式的充要条件：

设O为∆ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则

⇔

2

（1）O为∆ABC的外心OA

2

=

OB

2

=

OC.

⇔++=

（2）O为∆ABC的重心OAOBOC0.

⇔⋅=⋅=⋅

（3）O为∆ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.

⇔++=

（4）O为∆ABC的内心aOAbOBcOC0.

∠⇔=+

（5）O为∆ABC的A的旁心aOAbOBcOC.

38常用不等式：

ab

（1）a,b∈R⇒a2+b2≥2ab（当且仅当a＝b时取“=”号）．

（2）a,b∈R+⇒

a+b≥

2

（当且仅当a＝b时取“=”号）．

（3）a3+b3+c3≥3abc（a>0,b>0,c>0）.

（4）a-b≤a+b≤a+b.

a2+b2

2

2aba+b

ab

（5）

a+b

≤≤≤

2

（当且仅当a＝b时取“=”号）。

39极值定理:

已知x,y都是正数，则有

（1）

p

若积xy是定值p，则当x=y时和x+y有最小值2；

（2）若和x+y是定值s，则当x=y时积xy有最大值1s2.

4

（3）

ab

a

已知a,b,x,y∈R+，若ax+by=1则有

1+1=（ax+by）（1+1）=a+b+by+ax≥a+b+2

xyxyxy

（4）已知a,b,x,y∈R+，若a+b=1则有

xy

=（+

b）2。

ab

x+y=（x+y）（a+b）=a+b+ay+bx≥a+b+2

xyxy

=（+

b）2

40

a

一元二次不等式ax2+bx+c>0（或<0）（a≠0,∆=b2-4ac>0），如果a与ax2+bx+c同号，则

其解集在两根之外；如果a与ax2+bx+c异号，则其解集在两根之间.简言之：

同号两根之外，异号两根之间.即：

x1

xx2⇔（x-x1）（x-x2）>0（x1

41含有绝对值的不等式：

当a>0时，有

x

x>a⇔x2>a2⇔x>a或x<-a.

42斜率公式：

k=y2-y1（P（x,y）、P（x,y））.

x-x

111

222

21

43直线的五种方程：

（1）点斜式

y-y