注：
AR模型平稳（系数多项式的根在单位园外）；MA模型可逆（系数多项式的根在单位园外）：
a<-A<-
>
Ln
&对于二阶自回归模型AR
（2）：
X,=0・5X-+0・2Xz+®则模型所满足的Yule-Walker
方程是
注：
1.
Pl
_Po
p\
p\
A
…Pk-\
Pk-2
Ai如2
_pk-\
A-2
A）.
Pk=工0阳
2.由于AR模型的i
故对于AR
（2）有
进而
1,
k=0
8，
0.5%+0・2%2，k22
9.设时间序列｛X,｝为来自ARMA（p.q）模型:
x『=0|X『_]+・・・+§X-p+吕+&G+…
畑［训）近
则预测方差为—i
E（£l）=O,Var（£!
）=a；,E（£l£
10.对于时间序列{X,},如果
）=0,SHf
则乙〜/（d）。
注:
ARIMA（p,d,q）
①（Bpg=O（B>f
E（st）=0,Var（£,）=,E（£,£s）=0,st
Exs£t=0,Vsvf
11.设时间序列｛X,｝为来自GARCH（p,q）模型，则其模型结构可写为
兀=/（人兀“J；—,••，）+£
£,=丫辰
P“
一得分一
1-1J-1
（10分）设时间序列｛X,｝来自A/?
M4（2J）i±程，满足
（1-5+0.5B2）%,=（1+0.43）勺，
其中匕｝是白噪声序列，并且E（召）=OM〃・（gt）=b2。
（1）判断ARMA（2,1）模型的平稳性。
（5分）
1±口1±/
x==
特征函数为0—兀+0.5=0,特征根为22,在单位圆，平稳
也可用平稳域法见一（4）
（2）利用递推法计算前三个格林函数G（）,GrG2。
（5分）
G（>=1
G｛=0Go-q=l_（_0・4）=l・4
G?
=0G+0G°—&；=1・4一0・5—0=0・9
求格林函数也可以用算子
一得分一
=（1+0.43）（1+3+0・5矿+・・・）=1+1・43+0・9庆+・・・
k
1
2
3
1
5
6
7
*
9
10
A
A
-0.47
0.06
-0.07
0.04
0.00
0.01
-0.04
0.06
-0.05
0.01
三.（20分）某国1961年1月一2002年8月的16*19岁失业女性的月度数据经过一阶差分后平稳（N=500）,经过计算样本其样本自相关系数（A）及样本偏相关系数｛&&｝的前10个数值如下表
a
血
-0.47
-0.21
-0.18
-0.10
-0.05
0.02
-0.01
-0.06
0.01
0.00
求
（1）利用所学知识，对｛X」所属的模型进行初步的模型识别。
（10分）
样本自相关系数1阶截尾，样本偏相关系数拖尾，ARIMA（0,1,1）
（2）对所识别的模型参数和白噪声方差给出其矩估计。
（10分）
由于ARIMA
P\i+〃2
（o,i,i）模型有i+q
-1+J1-4A
*-2A-
-1+J1+4x0.47c“iv
==-0.7415
-2x0.47
击=0.645
Xt=O.8X-+吕一0.6$一，b；=0.0025
其中X^qo=0.3,刍（x）=0.01。
（1）给出未来3期的预测值；（10分）
X1（x）（l）=O.8Xloo-O.6^loo=0.234
X1（x）
（2）=0.8X1（x）（l）=0.8x0.234=0.1872
龙ioo（3）=O.8Xloo
（2）=0.8x0.1872=0.14976
（2）给出未来3期的预测值的95%的预测区间（畑75=1・96）。
（10分）
G°=lGx=0.2・G2=0.16
f9
S[M）]=£g込
由于/U）
Var[e[W（\）]=0.0025Var[e^
（2）]=0.0026W/r[i>100（3）]=0.002664
95%的预测区间
G10（）（/）不“0.975JU"也0（）（/）」）
101（0.136.0.332）
102（0.087,0.287）
X（=QXl其中｛£｝为白棗声序列，E（q）=O,%“（q）=b\
xrx2（x^x2）为来自上述模型的样本观测值，试求模型参数0b，的极大似然估计。
ln|Q|=-ln（l-^）+x；-2^vrv2
t
似然方程组
n
x.2—2处t?
2q
2b；
l2r^vK'2_-—2
2'
151n|Q|1<
2°-2x.x2_
2
d（pb；260
*
■J十2U
<
Xf+Aj
&2_（屛-卅Au£J22\
所以『一斫可
G（）=l5=尹21
（2）若X「1（0）,Y（~I（0）,且｛X『｝和乜｝不相关，即cov（X八岭试
证明对于任意非零实数“与b,有乙=£比+坷~“0）。
（10分）
所以：
E（X：
）V8E（Y；）VOO；E（£卜冷;临j
yx（t,s）-yx（t+k,s+k\t^syt+k^s+keT
兀（f,s）=yY（t+k9s+kyt,s,t+k,s+keT
Z,=aXt-^bX,
E（Zz）=E[aX,+bX、=的+b^i,
E（Z：
）=E©$x：
*&2乙2*加叭K,）
Ma2E（X^）+）+2^jE（X：
）E（Y：
）
%",$）=E@X,+bYl-a/i,-b^iXs+bYs-“仏-也）
=a2rXt（t9S）+b2rYi（t9s）+abCov{Xl9Ys）+abCov（Xs9Yt）
="%@）+咲（心）
所以/./（t9s）=/./（t+k9s+kyt,s,t+k,s+kgT
七、填空题（每小题2分，共计20分）
1.设时间序列{X,},当
V/He^Vr=（/l,-,r;„）eFn,Vre乙色=（易,一,兀”上尺",£（0=疗+应），岸歹'J{XJ为严平稳。
2.AR（p）模型为_兀"〉+0內“+…+%%+£,其中自回归参数为一0°妙'…'必_。
3.ARMA（P，q）模型兀=如+必兀」+…+如一一…-空7,其中模型参数为p,q。
4.设时间序列{X,},则其一阶差分为一▽兀=兀一兀.]。
5.
一阶自回归模型AR
（1）所对应的特征方程为入十°
7.对于一阶自回归模型MA
（1）,其自相关函数为
注:
&对于二阶自回归模型AR
（2）:
Xf=£X—+0Xz+吕.其模型所满足的Yule-Walker方
程是
P\=Qo0ii
<\P\=P神2\+0022
<
=。
必+皿22
1,k=0
A=—=吕-，k=l
/o1-02
0\Pk-\+0Puk>2
XI=1-\p+爲+&]£—I0qE_q»则预测方差为
Var[e,（l）]=±G^
一f-°。
10.设时间序列｛X,｝为来自GARCH（p,q）模型，则其模型结构可写为一
兀=/（/，易“，兀-2，・・，）+£
£,=VVr
pq
儿=e十工讪_+工几局
一得分一
/-1J-1
八、（20分）设｛&｝是二阶移动平均模型MA
（2）,即满足
其中匕｝是白噪声序列,并且E（q）=0,心（吕）=cr
（1）当G二0.8时，试求｛Xt｝的自协方差函数和自相关函数。
（1+&计'£=0血）=E（X,X+）=E（（®+&零2X%+弘*2））=妇,"2
0,其他
（2）当&产0.8时，计算样本均值（X1+X2+X3+X』/4的方差。
（2）样本的自协方差函数值久，亢和自相关函数值A^20
0.0059140.154509
（3）对AR
（2）模型参数给出其矩估计，并且写出模型的表达式。
由Yule-Walker方程
P\=0i+0Qi
Pl=0\P\+0
=-0.18649&严=0.080908
1一门，・1-Pf&=（1一&一&b=O.838O3
一得分一
十.
兀=0.83803一0」8649兀“+0.080908兀“+勺
（20分）设｛X」服从ARMAQ,1）模型：
&=0・8X—+乞一0・6也
其中Xi®=0.3,£TI（X）=0.01o
（1）给出未来3期的预测值;
（2）给出未来3期的预测值的95%的预测区间。
其中匕｝为白噪声，==证明：
Var（Xt）=一7
\_吠
十二.单项选择题（每小题4分，共计20分）
12.X，的d阶差分为
（b）『-严Xj
（c）
（d）Wx声-严X-
13.记B是延迟算子，则下列储谓的是
14.
（a）B°=l
（b）B（c・Xj=c・BX（=c・Xt
15.
关于差分方程X（=4XH—4Xj，其通解形式为
16.
16.上面左图为自相关系数，右图为偏自相关系数，由此绐出初步的模型识别
（a）MA
（1）（b）ARMA（1,1）
（c）AR
（2）（d）ARMA（2.1）
一得分一
十三、填空题（每小题2分，共计20分）
1.在下列表中填上选择的的模型类别
自相关系数
偏白相关系数
选择模型
拖尾
P阶截尾
q阶截尾
拖尾
拖尾
拖尾
AR（p）,MA（q）,ARMA
2.时间序列模型建立后，将要对模型进行显著性检验，那么检验的对象为_残差序列，
检验的假设是—残差序列是白噪声—O
3.时间序列模型参数的显著性检验的目的是—模型的有效性（提取的信息是否充分）o
4.根据下表，利用AIC和BIC准则评判两个模型的相对优劣，你认为一一模型优于一X1A
（2）模型。
AIC
SBC
MA
（2）
536.4556
545.2011
AR
（1）
535.7896
540.2866
得分
十四、
5.时间序列预处理常进行两种检验，即为检验和检验。
（10分）设匕｝为正态白噪声序列，£G）=OM"G）=b\
时间序列｛X」来自
xt=°・8X_]+哲-殆
问模型是否平稳？
为什么？
X*=°・8X_]+爲_0・6.]
其中Xig=0.3,^1（X）=0.01。
（3）给出未来3期的预测值；（10分）
（4）给出未来3期的预测值的95%的预测区间（如加5=1・96）。
（10分）
一得分一
十六、（20分）下列样本的自相关系数和偏自相关系数是基于零均值的平稳序列样本量为500计算得到的（样本方差为2.997）
ACF：
0/340；0/321；0:
370；0/106；0/139；0/171；0/081；0/049；0.-124；0:
088；0.-009；
0/077
PACF：
0/340；0/494；0/058；0/086；0；040；0；008；0；063；0/025；0/030；0/032；0/038；
0/030
根据所给的信息，给出模型的初步确定，并且根据自己得到的模型给出相应的参数估计，要求写出计算过程。
一得分一
十七.（10分）设｛X」服从AR
（2）模型：
X，=eX_+Q2Xi+£其中运｝为正态白噪声序列，E（^）=O,W/r（£t）=cr2，假设模型是平稳的,
证明其偏自相关系数满足
血=<
k=2
k>3
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