等角螺线及其它详解.docx

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等角螺线及其它详解

等角螺线及其它

・何谓等角螺线

・等角螺线的方程式

・趣史一则

・等角螺线上的相似性质

・黄金分割与等角螺线

・等角螺线的弧长

・等角螺线的再生性质

・其它螺线举例

儿何学是一门源远流长的数学分支，在十七世纪以前，儿何学一词棋至可说是数学的同义词，它以往的风光可想而知。

曾儿何时，因为某些内在与外在的因素，儿何学的地位似乎已逐渐没落；在中小学的数学教材里，儿何题材一次乂一次地被删除。

这种现象使我们感到忧心，因为自然环境中隐藏着许多儿何原理，不了解这些儿何知识，不就表示我们对所生存的空间已经愈来愈不了解了吗？

笔者从事数学教育工作多年，乂是现行高中数学教科书的编者之一，对当前高中数学教材中儿何题材的过度贫乏，实在感到忧心忡忡。

在无力对教科书作大幅度修改的情况下，只好在正式教科书之外从事一些修缮工作。

基于上述想法，笔者希望能以一系列的文章来介绍一些儿何题材。

在内容方面，笔者首先选上曲线。

因为曲线的讨论不仅是儿何学中最有趣的题材之一，而且许多曲线都会在自然现象中出现，它们的性质也往往能提供重要的应用。

例如：

天文望远镜的设计，不就是根据拋物线的反射性质吗？

本文介绍等角螺线。

何谓等角螺线

在一片空旷的草地上，甲、乙、丙、丁、四只狗分别站立在一个正方形的四个顶点4、3、C、D上。

狗主人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、丙狗紧盯着丁狗、丁狗紧盯着屮狗。

一声令下，四只狗以相同的速度同时冲向1_1标。

假定每只狗在每个时刻都是正面朝向它的LI标，那么，这四只狗所跑过的路径是什么形式呢？

假设四只狗在某一时刻的位置分别为川、Bi、Ci.Di（见图一），则根据四只

□AiEiCiDi

狗的行动一致所产生的对称性，可知也是正方形，而且它的中心

也就是正方形口ABUD的中心O。

更进一步地，山于在川点的屮狗系冲向在

Bi点的乙狗，所以，屮狗在此一时刻的速度方向在向量上。

或者说，中

狗所跑的路径在Ai点的切线与直线形成45°的夹角。

同理，

乙狗所跑的路径在Bi点的切线与直线OBi形成45°的夹角等等。

一般而言，若一曲线在每个点P的切向量都与某定点O至此点P所成的向量0戸夹成一定角，且定角不是直角，则此曲线称为一等角螺线（equiangularspiral）,O点称为它的极点（pole）。

前面所提的四狗追逐问题中，每只狗所经过的路线都是一等角螺线的一部分，此

等角螺线中的定角是4（或，因为切向量可选成相反方向），而其极点是正方形口ABCJD的中心O。

等角螺线的方程式

r=>0

在坐标平面上，若极坐标方程式表示一等角螺线（），其极

OVQVqag爭（f（9）,9）

点是原点O,定角为a

（2）,则因在点的切向量为

cos9—jf（9）sdn0J，（0）sin9+f（9）cos9）

所以，可得

cosa

cos0（尸（0）cos0—f（0）sin0）+sin0（尸（3）shi0+/（0）cos9）

WWWw

朋）

vW）F+W）F

由此可得下述结果:

7W

Inf（8）

=cota

=9cota+常數Ina,（上式兩端積分）

=ae9cota

换言之，此等角螺线的极坐标方程式为

则甲、乙、

r=ae

在前而所提的四狗追逐问题中，若中心0是极点而点A的极坐标为

丙、丁四只狗所跑的路径分别在下述四等角螺线上：

r=ae（0-5\『=曲（却于）,

前面所提的r=aeffcota,就是等角螺线的极坐标方程式。

由于在导出此方程式

的过程中曾经引用了自然对数，所以，等角螺线也称为对数螺线（logarithmicspiral）o

趣史一则等角螺线的性质，笛卡儿（R.Descartes,1596〜1630）在1638年就已经考虑过，但没有获得特殊结果。

托里拆利（E.Torricelli,1608〜1647年）却在1645年发现有关等角螺线弧长的一项性质，这项性质在下文中将会介绍。

对于等角螺线的探讨,以伯努利（J.Bernoulli,1654〜1705年）的成果最为丰硕。

他发现将等角螺线作某些变换时，所得的曲线仍是全等的等角螺线。

这些变换包括：

求等角螺线的垂足曲线（pedalcurve）；求等角螺线的渐屈线（evolute）:

求等角螺线反演曲线（inversivecurve）；求等角螺线的焦线（causticcurve）:

将等角螺线以其极点为中心作伸缩变换（dilation）,由于这些变换都可以使等角螺线再生，这个现象使伯努利大为欣慰，所以，临殁遗言要将等角螺线的这些性质刻在他墓碑上，同时题上一句话:

\EademmutataresurgoJ（虽然某些状况改变了，我却保持不变）。

这是继阿基米德（纪元前三世纪）之后，另一位在墓碑上表现其成果的数学家。

等角螺线上的相似性质

根据等角螺线的方程式r=ae9c^a,可以看出：

对每个o值，都有一个对应

cotct鼻0的r值；而且不同的0值所对应的r值也不同（因为）o这种现

象表示：

从等角螺线上某个点出发，随着0值的无限制增大与无限制减小，此曲线会环绕它的极点形成无数多圈，一面是愈绕愈远，一面是愈绕愈聚集在极点cota>00——qqcota<0

附近。

若，则当时，曲线聚集在极点附近。

若，

Q—>—QQ（cotcr<0）

则当时，曲线愈绕越远。

图二是等角螺线的一部分\

图二

若辐角弘，…构成一个等差数列，则由指数的性质，对应的向径

aeeicota,aeP2cata,ae^cota,…就构成等比数列。

若令Pn表示极坐标

血总曲傀）OAOP2OPs

的点，则上述结果表示，,，…构成一个等比数

山此可知:

构成一个等比数列。

0]6203

若上述等差数列，，，…的公差是加，P|,P2,P3,…等乃是过极点的一射线与等角螺线的交点。

可见：

过极点作任意射线，则此射线与等角螺线的交点必以等比数列的形式排列在射线上。

对于一般的儿何图形，若我们选定某个点做为伸缩中心将图形放大或缩小，则可得到一个相似的图形，在等角螺线的悄形中，若伸缩中心是它的极点，则不论放大或缩小多少倍，所得的不只是相似图形而已，它是与原等角螺线全等的一个等角螺线。

为什么呢？

若以极点为伸缩中心将等角螺线r=aeffcota伸缩m倍，则所得的图形是等角螺线r=am^cotG，。

因为“弄°,所以可找到一个实数°使得m=e^cotQo于是伸缩后的图形为「=〃（日+©）8t°,这个图形其实就是等角螺线r=aeffc^a绕极点顺时针旋转"角所得，它自然与原等角螺线r=ae9cata全等。

根据前段的说明，我们可以了解：

等角螺线上的一段弧经伸缩若干倍后，必与该等角螺线上的另一弧全等。

事实上，若等角螺线经伸缩成

「="（®+0）8ta,则在等角螺线r=ae^otQ＞辐角o满足0*"'了的弧,

0+0＜0＜了+0

经伸缩后必与该等角螺线上辐角0满足-出的弧全等。

等角螺

线的这项特性，使得自然界中许多物体都呈现等角螺线的形状。

例如：

许多贝壳都很接近等角螺线的形状，因为生活在壳内的动物在成长过程中都是均匀地长大，这就像相似地放大，所以，新生的部分所栖息的空间必与原有空间形状相似。

象鼻、动物的角与毛等都呈等角螺线形。

在植物中，向日葵、菠萝与雏菊上的螺旋纹也都呈等角螺线形。

图四是鹦鹉螺的横截面，这么美的线条，令人不得不佩服造物之奇。

图四

黄金分割与等角螺线

环绕某个定点而相似地缩小，这是等角螺线在其极点附近呈现的形状。

假如我们将多边形环绕一定点而相似地缩小，是不是会与等角螺线生关联呢？

在图五中，口ABQF、口CDFH^U3EFHJ>口GHJK、OIJICL>…等是一系列的矩形，这些矩形中每两个都相似（亦即：

边的比值相等），而且后一矩形都是由其前面的矩形挖掉一个正方形而得的。

如：

口UJDFH是由

掉正方形口力而得的。

此时，上列矩形的第一个顶点A、C、E、G、I、K…等会落在一等角螺线上，此等角螺线的极点是AE.BF.CG.DH等共交的点O。

若以o为极点，射线咙为极轴，且q的极坐标为（a，7r）,则此等角螺线的极坐标方程式为

「=談呵

其中。

此等角螺线通常称为黄金螺线。

1十/

为什么会扯上2呢？

原来这个数就是上述相似矩形的长边与短边的长度之

比。

因为由口4BQF与口可得

BD.BC=BC.CD

1+（CV;BC）=BC.CD

（BC:

CD）2-（BC:

CD）-1=0

1+x/5

BC\CD=（因爲行C\CD>Y）

若线段丽上的一点c满足BD:

BC=BC:

CD,则称c点将丽黄金分割。

当

1十辺

2

c点将丽黄金分割时，丽：

而（或丽：

而）的值是，此数称为黄金分

1十皿

2

割比。

若一矩形的长边与短边的比值为，则此矩形称为黄金矩形。

山黄金矩形可引出等角螺线，将矩形改成三角形，也会有同样的结果吗?

.^ABC^BCDHCDESEF£EFG^FGH

在图中、、、、、、等

是一系列的等腰三角形，这些等腰三角形中每两个都相似，而且后一等腰三角形,

^BCD

都规定是山其前面的等腰三角形挖掉一个等腰三角形而得的。

例如：

是

△JLBC^DAB

由挖掉等腰三角形而得的。

图六

此时，上列等腰三角形的顶点A、B、C、D、E、F、G、H、……等会落在一等角螺线上，此等角螺线的极点是丽与而的交点0。

若以O为极点、射线

.（语）

为极轴、且A的极坐标为，则此等角螺线的极坐标方程式为

r=#叭

。

此等角螺线也称为黄金螺线。

1+血

此等角螺线也扯上2,其理由如下：

上述的相似等腰三角形ABC等，可证

:

=1+虫

明其顶角为36°,而底角为72°,所以，2o此种三角形称

为黄金三角形。

等角螺线的弧长

3

假定我们想计算等角螺线r=ae9cota上，辐角。

满足-那段弧的

长，利用前面所提的相似性质，我们可将区间等分成“等分，设每一等h=〈了一印必cotq,/3-|-ih

分的长为力，即'。

又令P表示极坐标（）的点,

8（或甩一。

）时的极限存在，则其极限值就是所欲求的弧长。

上述的折线长怎么计算呢？

因为

RR+i:

PqBOP]：

OP°

二二eihcotafli此可得

PdP14P1P2+'''+-fk—l-frv

=.（1+gfecota_|_e2facota_（pe（n-l）ftcota^

——E&T）COtQ-1『卄八7T、

=F0Pl-—ehcota-1—（假l®0

另一方而，利用余弦泄律可求得

—1）2+4/cotasm2

再根据微积分中的^Hospital法则，可得

lim代哙J=—=tana

/i-toehcota_2cota

由此可得

q』cota\/l4-tan2a

a/cotQseca

lim（F0F1+PiP2-\-Fn-iBt）

A—0

=（1/五％eco•（小一日）cota-1）=asecQ0心a—/®）

n3

由此可知：

在等角螺线r=aetata±t辐角满足一一那段弧的长为:

aseca^^^-e^00^）,

此值等于该狐的两端点向径之差与謂ua的乘积。

0VCt<£9—>—QQ

在2的情形中，因为当时，可得一°,所以，极点

P（"仇。

山,0）

可以看成是等角螺线的一个终极位置。

我们也因此可以问：

由点绕

—QO

回极点O的长度为多少？

这段弧是辐角0满足一，所对应的部

0—H

-2<0<^3-1

、

P（"仇。

山,0）

部分的弧长，然后相加而得。

因此，由至o的弧长等于

DO

刀aseccota-少-7cota）

7t=0

aseca・e^cotQ

OPseca

前而所得的结果，可以做一项有趣的几何解释：

过0作一直线与◎戸垂直，因为过P的切线与◎⑦不垂直，所以，上述垂直线与切线交于一点「由于LOT>T=a,于是，可得丙=OF-secao换言之，由P点绕回o点的弧长与丙的长相等，这就是托里拆利所发现的性质（见图七）。

前段所提的性质，还可作如下的解释：

设想等角螺线在直线PT±作不滑的滚动，则极点O最后会移动到八而且在滚动过程中点的运动路径就是OTo

等角螺线的再生性质

垂足曲线

设C为一曲线而O为一定点，自O向C的所有切线作垂直线，则所有垂足所成的图形称为曲线C对定点O的垂足曲线。

若C是等角螺线r=ae9cota，则C对其极点的垂足曲线是一个全等的等角

螺线，为什么呢？

在图七中，若是在切线PT±的垂足，则

0+（7i/2—a）0

r=OH=OPsma,而'是P的辐角（设）。

因此

可得

r=OPsina=（asiKQ）e^-Q+^cota

r—（asdno,）e^-Os+^^a换言之，所有H点构成等角螺线

焦线

设C为一曲线而O为一定点，将过O的所有直线都对曲线C作反射，若反射所得的所有直线都是某曲线的切线，则此曲线称为曲线C对定点O的焦线。

若C是等角螺线r=则C对其极点的焦线是一个全等的等角螺线,

我们说明如下。

设P是等角螺线C上一点,

是极点O对于过P之

法线的对称点，则直线OP对等角螺线C反射，所得的直线就是直线PR（见图七）。

显然，r=OR=2CPcosa»而且°°是点P的辐角（设

页）O因此，可得

r=2OPcosq=（2acos001Q

r=（2acosa）e

换言之，所有R点构成等角螺线。

因为此等角螺线过R点

的切线与直线OR的夹角等于g而直线PR正具有这项性质。

也就是说，直线PR就是此等角螺线在/?

点的切线。

因此，此等角螺线就是原等角螺线r=e0cota对极点0的焦线。

渐屈线

设C为一曲线，作C的所有法线，若所有法线都是某曲线的切线，则此曲线称为曲线C的渐屈线。

若c是等角螺线r=^cotQ,则c的渐屈线是一个全等的等角螺线，我们说

明如下。

设P是等角螺线c上一点,

在过P的法线上而且

丽丄科（见图七）。

显然,

ON=0Pcota,而且

是点P的辐角（设

P）O因此，可得

r—OPcota=（acotQ）e^_手）曲“

r=（acota）e^_2^004a

换言之，所有N点构成等角螺线。

因为此等角螺线过N点的

切线与直线ON的夹角等于a,而法线PN正具有这项性质。

也就是说，法线PN就是此等角螺线在N点的切线。

因此，此等角螺线就是C:

t=ae9c

曲线C的渐屈线也可定义为「曲线C的每个点的曲率中心所成的图形」。

在图七中，该等角螺线在P点的曲率中心就是N、曲率半径就是NP

<=OPesca）。

习题：

试证图七中的所有T点所成的图形仍是一个全等的等角螺线，称为原等角螺线的渐伸线（involute）。

其它螺线举例

除了等角螺线外，数学上还有许多不同形式的螺线，像阿基米徳螺线、双曲螺线（hyperbolicspiral）抛物螺线（parabolicspiral）连锁螺线（lituus）等，其中的阿基米德螺线最为有趣，我们略作介绍如下。

向径与辐角的比值是常数时，其轨迹称为阿基米得螺线。

以极坐标表示时，其方程式为m其中"是常数。

早在古希腊时代,大数学家阿基米德就对这种螺线作过研究，并写成一篇名为《Onspirals》的作品。

PQ

在图八中，PQR是一把木匠用的曲尺，其短臂的内侧之长为°,圆O的

半径也为“，A与B是圆O上两点，而且LAOB是直角。

首先，将曲尺上的

QR

P与0分别置于O与3,然后将曲尺的长臂内侧沿着圆O滚动，则在滚动过程中，P点所经过的路径就是阿基米德螺线r=M的一部份。

为什么

呢？

在图八中，已经滚动到与O相切于T点。

则二弧彷的长。

设

_TQ

LA.op=0o于是，可得r=0P=二弧的长=a.9（此处0系以胫为单位）。

因为向径与辐角成比例，所以，阿基米德螺线可用来将等角速运动转换成等速直线运动，在图九中，有一个心状的图形是山两段全等的阿基米德螺线弧所接合而成，它们的极点都是O,其上的F则连接在一个可上下移动的杆子上。

当心状图形以等角速绕O点转动时，就可带动上面的杆子作等速直线运动。

图八

将阿基米德螺线对其极点作反演变换（inversion）,所得的反演曲线是一双曲螺线，所谓反演变换，其意义如下：

设圆O的半径为而P是异于O的任意

OPOQ=k2

点。

若Q点在射线帀上且满足，则称。

是P对圆O的

反演像（inverse）<>若D是极坐标系中的极点，则上式表示P的向径，•与0的向径/•'满足rr=k\设C为一曲线，则C上每个点对圆O的反演像所成的图形，称为曲线C对圆O的反演曲线。

r—cotd

根据上述定义，等角螺线r=ae9cota对圆O的反演曲线为",

「0=与

这是一个全等的等角螺线。

阿基米德螺线厂=减的反演曲线是，这是

双曲螺线。

极坐标方程式为r2e=a2的曲线称为连锁螺线，它对圆o的反演曲线为

卢=兽日fr-a）2=b26

这曲线称为费马螺线，它是拋物螺线的特殊情形。