等角螺线及其它.docx

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等角螺线及其它

等角螺线及其它

▪何谓等角螺线

▪等角螺线的方程式

▪趣史一则

▪等角螺线上的相似性质

▪黄金分割与等角螺线

▪等角螺线的弧长

▪等角螺线的再生性质

▪其它螺线举例

几何学是一门源远流长的数学分支，在十七世纪以前，几何学一词甚至可说是数学的同义词，它以往的风光可想而知。

曾几何时，因为某些在与外在的因素，几何学的地位似乎已逐渐没落；在中小学的数学教材里，几何题材一次又一次地被删除。

这种现象使我们感到忧心，因为自然环境中隐藏着许多几何原理，不了解这些几何知识，不就表示我们对所生存的空间已经愈来愈不了解了吗？

笔者从事数学教育工作多年，又是现行高中数学教科书的编者之一，对当前高中数学教材中几何题材的过度贫乏，实在感到忧心忡忡。

在无力对教科书作大幅度修改的情况下，只好在正式教科书之外从事一些修缮工作。

基于上述想法，笔者希望能以一系列的文章来介绍一些几何题材。

在容方面，笔者首先选上曲线。

因为曲线的讨论不仅是几何学中最有趣的题材之一，而且许多曲线都会在自然现象中出现，它们的性质也往往能提供重要的应用。

例如：

天文望远镜的设计，不就是根据拋物线的反射性质吗？

本文介绍等角螺线。

何谓等角螺线

在一片空旷的草地上，甲、乙、丙、丁、四只狗分别站立在一个正方形的四个顶点A、B、C、D上。

狗主人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、丙狗紧盯着丁狗、丁狗紧盯着甲狗。

一声令下，四只狗以相同的速度同时冲向目标。

假定每只狗在每个时刻都是正面朝向它的目标，那么，这四只狗所跑过的路径是什么形式呢？

假设四只狗在某一时刻的位置分别为A1、B1、C1、D1（见图一），则根据四只狗的行动一致所产生的对称性，可知

也是正方形，而且它的中心也就是正方形

的中心O。

更进一步地，由于在A1点的甲狗系冲向在B1点的乙狗，所以，甲狗在此一时刻的速度方向在向量

上。

或者说，甲狗所跑的路径在A1点的切线与直线OA1形成45°的夹角。

同理，

图一

乙狗所跑的路径在B1点的切线与直线OB1形成45°的夹角等等。

一般而言，若一曲线在每个点P的切向量都与某定点O至此点P所成的向量

夹成一定角，且定角不是直角，则此曲线称为一等角螺线（equiangularspiral），O点称为它的极点（pole）。

前面所提的四狗追逐问题中，每只狗所经过的路线都是一等角螺线的一部分，此等角螺线中的定角是

（或

，因为切向量可选成相反方向），而其极点是正方形

的中心O。

等角螺线的方程式

在坐标平面上，若极坐标方程式

表示一等角螺线（

），其极点是原点O，定角为α（

），则因在点

的切向量为

所以，可得

即

由此可得下述结果：

换言之，此等角螺线的极坐标方程式为

在前面所提的四狗追逐问题中，若中心O是极点而点A的极坐标为

，则甲、乙、丙、丁四只狗所跑的路径分别在下述四等角螺线上：

前面所提的

，就是等角螺线的极坐标方程式。

由于在导出此方程式的过程中曾经引用了自然对数，所以，等角螺线也称为对数螺线（logarithmicspiral）。

趣史一则

等角螺线的性质，笛卡儿（R.Descartes,1596～1650）在1638年就已经考虑过，但没有获得特殊结果。

托里拆利（E.Torricelli,1608～1647年）却在1645年发现有关等角螺线弧长的一项性质，这项性质在下文中将会介绍。

对于等角螺线的探讨，以伯努利（J.Bernoulli,1654～1705年）的成果最为丰硕。

他发现将等角螺线作某些变换时，所得的曲线仍是全等的等角螺线。

这些变换包括：

求等角螺线的垂足曲线（pedalcurve）；求等角螺线的渐屈线（evolute）；求等角螺线反演曲线（inversivecurve）；求等角螺线的焦线（causticcurve）；将等角螺线以其极点为中心作伸缩变换（dilation），由于这些变换都可以使等角螺线再生，这个现象使伯努利大为欣慰，所以，临殁遗言要将等角螺线的这些性质刻在他墓碑上，同时题上一句话：

「Eademmutataresurgo」（虽然某些状况改变了，我却保持不变）。

这是继阿基米德（纪元前三世纪）之后，另一位在墓碑上表现其成果的数学家。

等角螺线上的相似性质

根据等角螺线的方程式

，可以看出：

对每个θ值，都有一个对应的r值；而且不同的θ值所对应的r值也不同（因为

）。

这种现象表示：

从等角螺线上某个点出发，随着θ值的无限制增大与无限制减小，此曲线会环绕它的极点形成无数多圈，一面是愈绕愈远，一面是愈绕愈聚集在极点附近。

若

，则当

时，曲线聚集在极点附近。

若

，则当

时，曲线愈绕越远。

图二是等角螺线的一部分

。

图二

图三

若辐角

…构成一个等差数列，则由指数的性质，对应的向径

，

，

，…就构成等比数列。

若令Pn表示极坐标

的点，则上述结果表示

…构成一个等比数列。

又因

，所以可知

与

相似。

由此可知：

构成一个等比数列。

若上述等差数列

…的公差是

，P1,P2,P3,…等乃是过极点的一射线与等角螺线的交点。

可见：

过极点作任意射线，则此射线与等角螺线的交点必以等比数列的形式排列在射线上。

对于一般的几何图形，若我们选定某个点做为伸缩中心将图形放大或缩小，则可得到一个相似的图形，在等角螺线的情形中，若伸缩中心是它的极点，则不论放大或缩小多少倍，所得的不只是相似图形而已，它是与原等角螺线全等的一个等角螺线。

为什么呢？

若以极点为伸缩中心将等角螺线

伸缩m倍，则所得的图形是等角螺线

。

因为

，所以可找到一个实数

使得

。

于是伸缩后的图形为

，这个图形其实就是等角螺线

绕极点顺时针旋转

角所得，它自然与原等角螺线

全等。

根据前段的说明，我们可以了解：

等角螺线上的一段弧经伸缩若干倍后，必与该等角螺线上的另一弧全等。

事实上，若等角螺线

经伸缩成

，则在等角螺线

，辐角θ满足

的弧，经伸缩后必与该等角螺线上辐角θ满足

的弧全等。

等角螺线的这项特性，使得自然界中许多物体都呈现等角螺线的形状。

例如：

许多贝壳都很接近等角螺线的形状，因为生活在壳的动物在成长过程中都是均匀地长大，这就像相似地放大，所以，新生的部分所栖息的空间必与原有空间形状相似。

象鼻、动物的角与毛等都呈等角螺线形。

在植物中，向日葵、菠萝与雏菊上的螺旋纹也都呈等角螺线形。

图四是鹦鹉螺的横截面，这么美的线条，令人不得不佩服造物之奇。

图四

黄金分割与等角螺线

环绕某个定点而相似地缩小，这是等角螺线在其极点附近呈现的形状。

假如我们将多边形环绕一定点而相似地缩小，是不是会与等角螺线生关联呢？

图五

在图五中，

、

、

、

、

、…等是一系列的矩形，这些矩形中每两个都相似（亦即：

边的比值相等），而且后一矩形都是由其前面的矩形挖掉一个正方形而得的。

如：

是由

挖掉正方形

而得的。

此时，上列矩形的第一个顶点A、C、E、G、I、K…等会落在一等角螺线上，此等角螺线的极点是

、

、

、

等共交的点O。

若以O为极点，射线

为极轴，且A的极坐标为

，则此等角螺线的极坐标方程式为

其中

。

此等角螺线通常称为黄金螺线。

为什么会扯上

呢？

原来这个数就是上述相似矩形的长边与短边的长度之比。

因为由

与

可得

若线段

上的一点C满足

，则称C点将

黄金分割。

当C点将

黄金分割时，

（或

）的值是

，此数称为黄金分割比。

若一矩形的长边与短边的比值为

，则此矩形称为黄金矩形。

由黄金矩形可引出等角螺线，将矩形改成三角形，也会有同样的结果吗？

在图六中

、

、

、

、

、

、……等是一系列的等腰三角形，这些等腰三角形中每两个都相似，而且后一等腰三角形，都规定是由其前面的等腰三角形挖掉一个等腰三角形而得的。

例如：

是由

挖掉等腰三角形

而得的。

图六

此时，上列等腰三角形的顶点A、B、C、D、E、F、G、H、……等会落在一等角螺线上，此等角螺线的极点是

与

的交点O。

若以O为极点、射线

为极轴、且A的极坐标为

，则此等角螺线的极坐标方程式为

其

。

此等角螺线也称为黄金螺线。

此等角螺线也扯上

，其理由如下：

上述的相似等腰三角形ABC等，可证明其顶角为36°，而底角为72°，所以，

。

此种三角形称为黄金三角形。

等角螺线的弧长

假定我们想计算等角螺线

上，辐角θ满足

那段弧的长，利用前面所提的相似性质，我们可将区间

等分成n等分，设每一等分的长为h，即

。

又令Pi表示极坐标（

）的点，i=0,1,2,…,n，先考虑所得折线的长

+

+…+

。

若这个和在

（或

）时的极限存在，则其极限值就是所欲求的弧长。

上述的折线长怎么计算呢？

因为

与

相似，所以

=

=

由此可得

另一方面，利用余弦定律可求得

再根据微积分中的L'Hospital法则，可得

由此可得

由此可知：

在等角螺线

上，辐角θ满足

那段弧的长为：

此值等于该弧的两端点向径之差与

的乘积。

在

的情形中，因为当

时，可得

，所以，极点可以看成是等角螺线的一个终极位置。

我们也因此可以问：

由点

绕回极点O的长度为多少？

这段弧是辐角θ满足

所对应的部分，它的长度可以分别考虑θ满足

、

、…等部分的弧长，然后相加而得。

因此，由

至O的弧长等于

前面所得的结果，可以做一项有趣的几何解释：

过O作一直线与

垂直，因为过P的切线与

不垂直，所以，上述垂直线与切线交于一点T。

由于

，于是，可得

。

换言之，由P点绕回O点的弧长与

的长相等，这就是托里拆利所发现的性质（见图七）。

图七

前段所提的性质，还可作如下的解释：

设想等角螺线在直线PT上作不滑的滚动，则极点O最后会移动到T，而且在滚动过程中，O点的运动路径就是

。

等角螺线的再生性质

垂足曲线

设C为一曲线而O为一定点，自O向C的所有切线作垂直线，则所有垂足所成的图形称为曲线C对定点O的垂足曲线。

若C是等角螺线

，则C对其极点的垂足曲线是一个全等的等角螺线，为什么呢？

在图七中，若

是在切线PT上的垂足，则

，而

是P的辐角（设

）。

因此，可得

换言之，所有H点构成等角螺线

。

焦线

设C为一曲线而O为一定点，将过O的所有直线都对曲线C作反射，若反射所得的所有直线都是某曲线的切线，则此曲线称为曲线C对定点O的焦线。

若C是等角螺线

，则C对其极点的焦线是一个全等的等角螺线，我们说明如下。

设P是等角螺线C上一点，

是极点O对于过P之法线的对称点，则直线OP对等角螺线C反射，所得的直线就是直线PR（见图七）。

显然，

，而且

是点P的辐角（设

）。

因此，可得

换言之，所有R点构成等角螺线

。

因为此等角螺线过R点的切线与直线OR的夹角等于α，而直线PR正具有这项性质。

也就是说，直线PR就是此等角螺线在R点的切线。

因此，此等角螺线就是原等角螺线

对极点O的焦线。

渐屈线

设C为一曲线，作C的所有法线，若所有法线都是某曲线的切线，则此曲线称为曲线C的渐屈线。

若C是等角螺线

，则C的渐屈线是一个全等的等角螺线，我们说明如下。

设P是等角螺线C上一点，

在过P的法线上而且

（见图七）。

显然，

，而且

是点P的辐角（设

）。

因此，可得

换言之，所有N点构成等角螺线

。

因为此等角螺线过N点的切线与直线ON的夹角等于α，而法线PN正具有这项性质。

也就是说，法线PN就是此等角螺线在N点的切线。

因此，此等角螺线就是

的渐屈线。

曲线C的渐屈线也可定义为「曲线C的每个点的曲率中心所成的图形」。

在图七中，该等角螺线在P点的曲率中心就是N、曲率半径就是

（

）。

习题：

试证图七中的所有T点所成的图形仍是一个全等的等角螺线，称为原等角螺线的渐伸线（involute）。

其它螺线举例

除了等角螺线外，数学上还有许多不同形式的螺线，像阿基米德螺线、双曲螺线（hyperbolicspiral）、拋物螺线（parabolicspiral）、连锁螺线（lituus）等，其中的阿基米德螺线最为有趣，我们略作介绍如下。

向径与辐角的比值是常数时，其轨迹称为阿基米得螺线。

以极坐标表示时，其方程式为

，其中a是常数。

早在古希腊时代，大数学家阿基米德就对这种螺线作过研究，并写成一篇名为《Onspirals》的作品。

在图八中，PQR是一把木匠用的曲尺，其短臂的侧

之长为a，圆O的半径也为a，A与B是圆O上两点，而且

是直角。

首先，将曲尺上的P与Q分别置于O与B，然后将曲尺的长臂侧

沿着圆O滚动，则在滚动过程中，P点所经过的路径就是阿基米德螺线

的一部份。

为什么呢？

在图八中，

已经滚动到与O相切于T点。

则

=弧TB的长。

设

。

于是，可得

=

=弧TB的长=

（此处θ系以弪为单位）。

因为向径与辐角成比例，所以，阿基米德螺线可用来将等角速运动转换成等速直线运动，在图九中，有一个心状的图形是由两段全等的阿基米德螺线弧所接合而成，它们的极点都是O，其上的F则连接在一个可上下移动的杆子上。

当心状图形以等角速绕O点转动时，就可带动上面的杆子作等速直线运动。

图八

将阿基米德螺线对其极点作反演变换（inversion），所得的反演曲线是一双曲螺线，所谓反演变换，其意义如下：

设圆O的半径为k，而P是异于O的任意点。

若Q点在射线

上且满足

，则称Q是P对圆O的反演像（inverse）。

若D是极坐标系中的极点，则上式表示P的向径r与Q的向径r'满足rr'=k2。

设C为一曲线，则C上每个点对圆O的反演像所成的图形，称为曲线C对圆O的反演曲线。

根据上述定义，等角螺线

对圆O的反演曲线为

，这是一个全等的等角螺线。

阿基米德螺线

的反演曲线是

，这是双曲螺线。

极坐标方程式为

的曲线称为连锁螺线，它对圆O的反演曲线为

，这曲线称为费马螺线，它是拋物螺线

的特殊情形。