区级联考江苏省南京市雨花台区届九年级上期末数学试题.docx
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区级联考江苏省南京市雨花台区届九年级上期末数学试题
【区级联考】江苏省南京市雨花台区2018届九年级（上）期末数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．下列哪个方程是一元二次方程（ ）
A．2x+y=1B．x2+1=2xyC．x2+
=3D．x2=2x﹣3
2．函数y＝3（x﹣2）2＋4的图像的顶点坐标是（ ）
A．（3，4）B．（﹣2，4）C．（2，4）D．（2，﹣4）
3．八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：
80分，85分，95分，95分，95分，100分，则该同学这6次成绩的众数和中位数分别是（）
A．95分，95分B．95分，90分C．90分，95分D．95分，85分
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=ADB．BC=CDC．
D．∠BCA=∠DCA
5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）
A．（―1，2）
B．（―9，18）
C．（―9，18）或（9，―18）
D．（―1，2）或（1，―2）
6．一组数据1，2，3，3，4，5．若添加一个数据3，则下列统计量中，发生变化的是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
二、填空题
7．若
，则
＝______．
8．若⊙O的直径是4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是_________．
9．若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是____．
10．若方程x2＋2x－11＝0的两根分别为m、n，则mn（m＋n）＝______．
11．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则AP＝_____．
12．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的侧面面积为_____cm2（结果保留π）．
13．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：
AB=4：
9，则S△ADE：
S△ABC=．
14．如图，已知矩形ABCD的顶点A、D分别落在x轴、y轴，OD＝2OA＝6，AD：
AB＝3：
1．则点B的坐标是_____．
15．如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED=_______°．
16．如图，已知函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的对称轴经过点（2，0），且与x轴的一个交点坐标为（4，0）．下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②当x＜2时，y随x增大而增大；③抛物线过原点;④当0＜x＜4时，y＜0．其中结论正确的是____．（填序号）
三、解答题
17．解方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）x（x+1）＝2（x+1）．
18．如图，已知AD•AC＝AB•AE．求证：
△ADE∽△ABC．
19．已知抛物线的顶点坐标是（1，－4），且经过点（0，－3），求与该抛物线相应的二次函数表达式．
20．初三
（1）班要从2男2女共4名同学中选人做晨会的升旗手．
（1）若从这4人中随机选1人，则所选的同学性别为男生的概率是 ．
（2）若从这4人中随机选2人，求这2名同学性别相同的概率．
21．某市射击队甲、乙两名队员在相同的条件下各射耙10次，每次射耙的成绩情况如图所示：
平均数
方差
中位数
甲
7
①.
7
乙
②.
5.4
③.
（1）请将右上表补充完整：
（参考公式：
方差
）
（2）请从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看，__________的成绩好些；②从平均数和中位数相结合看，___________的成绩好些；
（3）若其他队选手最好成绩在9环左右，现要选一人参赛，你认为选谁参加，并说明理由．
22．如图，大圆的弦AB、AC分别切小圆于点M、N．
（1）求证：
AB=AC；
（2）若AB＝8，求圆环的面积．
23．如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米．你能利用小明测量的数据算出电线杆AB的高吗？
24．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：
CD平分∠ACE；
（2）若AC=9，CE=3，求CD的长．
25．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加____件，每件商品，盈利______元（用含x的代数式表示）；
（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
26．对于实数a，b，我们可以用min{a，b}表示a，b两数中较小的数，例如min{3，﹣1}＝﹣1，min{2，2}＝2．类似地，若函数y1、y2都是x的函数，则y＝min{y1，y2}表示函数y1和y2的“取小函数”．
（1）设y1＝x，y2＝
，则函数y＝min{x，
}的图象应该是 中的实线部分．
（2）请在图1中用粗实线描出函数y＝min{（x﹣2）2，（x+2）2}的图象，并写出该图象的三条不同性质：
① ；② ；③ ；
（3）函数y＝min{（x﹣4）2，（x+2）2}的图象关于 对称．
27．如图，在△ABC中，AB=AC=10，∠B=30°，O是线段AB上的一个动点，以O为圆心，OB为半径作⊙O交BC于点D，过点D作直线AC的垂线，垂足为E．
（1）求证：
DE是⊙O的切线；
（2）设OB=x，求∠ODE的内部与△ABC重合部分的面积y的最大值．
参考答案
1．D
【分析】
方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程，根据定义判断即可．
【详解】
A.2x＋y＝1是二元一次方程，故不正确；
B.x2＋1＝2xy是二元二次方程，故不正确；
C.x2＋
＝3是分式方程，故不正确；
D.x2＝2x－3是一元二次方程，故正确；
故选：
D
2．C
【详解】
函数y＝3（x﹣2）2＋4的图像的顶点坐标是（2，4）
故选C.
3．A
【详解】
这组数据中95出现了3次，次数最多，为众数；中位数为第3和第4两个数的平均数为95，
故选A.
4．B
【分析】
根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．
【详解】
A. ∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；
B. ∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本选项正确；
C. ∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定,∴
与
不一定相等，故本选项错误；
D. ∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误。
故选B.
【点睛】
本题考查圆心角、弧、弦、弦心距的关系，解题的关键是掌握圆心角、弧、弦、弦心距的关系.
5．D
【详解】
试题分析：
方法一：
∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ABO∽△A′B′O且
＝
.∴
＝
＝
.∴A′E＝
AD＝2，OE＝
OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）.
方法二：
∵点A（―3，6）且相似比为
，∴点A的对应点A′的坐标是（―3×
，6×
），∴A′（－1,2）.
∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,―2）.
故答案选D.
考点：
位似变换.
6．D
【解析】
A.∵原平均数是：
（1+2+3+3+4+5）÷6=3;
添加一个数据3后的平均数是：
（1+2+3+3+4+5+3）÷7=3;
∴平均数不发生变化.
B.∵原众数是：
3；
添加一个数据3后的众数是：
3；
∴众数不发生变化；
C.∵原中位数是：
3；
添加一个数据3后的中位数是：
3；
∴中位数不发生变化；
D.∵原方差是：
；
添加一个数据3后的方差是：
；
∴方差发生了变化.
故选D.
点睛：
本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数的，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
7．
【详解】
设x=2k.y=3k，（k≠0）
∴原式=
.
故答案是：
8．相离
【解析】
r=2,d=3,则直线l与⊙O的位置关系是相离
9．k≤5
【详解】
解：
由题意得，42-4×1×（k-1）≥0,
解之得
k≤5.
点睛:
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：
当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△<0时，一元二次方程没有实数根.
10．22
【分析】
【详解】
∵方程x2＋2x－11＝0的两根分别为m、n，
∴m+n=-2,mn=-11,
∴mn（m＋n）＝（-11）×（-2）=22.
故答案是：
22
11．
-1
【详解】
解：
如果一点为线段的黄金分割点，那么被分割的较短的边比较大的边等于较大的边比上这一线段的长=
≈0.618.
∵AB=2，AP﹥BP,
∴AP:
AB=
×2=
-1.
故答案是：
-1
12．3π
【详解】
．
故答案为：
．
13．16：
81
【分析】
由DE∥BC，证出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：
S△ABC=（）2=，
故答案为16：
81．
14．（5，1）
【分析】
过B作BE⊥x轴于E，根据矩形的性质得到∠DAB=90°，根据余角的性质得到∠ADO=∠BAE，根据相似三角形的性质得到AE=
OD=2，DE=
OA=1，于是得到结论．
【详解】
解：
过B作BE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADO+∠OAD=∠OAD+∠BAE=90°，
∴∠ADO=∠BAE，
∴△OAD∽△EBA，
∴OD：
AE=OA：
BE=AD：
AB
∵OD=2OA=6，
∴OA=3
∵AD：
AB=3：
1，
∴AE=
OD=2，BE=
OA=1，
∴OE=3+2=5，
∴B（5，1）
故答案为：
（5，1）
【点睛】
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线并证明△OAD∽△EBA是解题的关键．
15．45°
【详解】
∵正六边形ADHGFE的内角为120°，
正方形ABCD的内角为90°，
∴∠BAE=360°-90°-120°=150°，
∵AB=AE，
∴∠BEA=（180°-150°）÷2=15°，
∵∠DAE=120°，AD=AE，
∴∠AED=（180°-120°）÷2=30°，
∴∠BED=15°+30°=45°．
16．①③④
【分析】
根据二次函数的基本性质进行分析即可.
【详解】
由图知图像知与x轴有2个交点，故①正确；
由图知图像知当x＜2时，y随x增大而减小，故②错误；
由对称性知抛物线过原点，故③正确；
由图知图像知当0＜x＜4时，y＜0，故④正确；
∴正确的有①③④.
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析五条结论的正误即可得到结论．
17．
（1）x1＝－3，x2＝1；
（2）x1＝－1，x2＝2
【分析】
（1）利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解；又可以利用公式法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【详解】
（1）解一：
（x+3）（x﹣1）=0
解得：
x1=﹣3，x2=1
解二：
a=1，b=2，c=﹣3
x=
解得：
x=
即x1=﹣3，x2=1．
（2）x（x+1）﹣2（x+1）=0
（x+1）（x﹣2）=0
x1=﹣1，x2=2
点睛:
本题主要考查了因式分解法和公式法解一元二次方程的知识，解题的关键是掌握因式分解法解方程的步骤以及熟记求根公式．
18．证明见解析.
【分析】
由AD•AC＝AE•AB，可得
从而根据“两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似”可证明结论成立.
【详解】
试题分析：
证明：
∵AD•AC＝AE•AB，
∴
＝
在△ABC与△ADE中
∵
＝
，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADE
19．y=x2－2x－3
【分析】
由于知道了顶点坐标是（1，－4），所以可设顶点式求解，即设y=a（x－1）2－4，然后把点（0，－3）代入即可求出系数a，从而求出解析式.
【详解】
解：
设y=a（x－1）2－4，
∵经过点（0，－3），
∴－3=a（0－1）2－4，
解得a=1
∴二次函数表达式为y=x2－2x－3
20．
（1）
；
（2）P（这2名同学性别相同）=
．
【分析】
（1）用男生人数2除以总人数4即可得出答案；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案.
【详解】
解：
（1）
；
（2）从4人中随机选2人，所有可能出现的结果有：
（男1，男2）、（男1，女1）、（男1，女2）、（男2，男1）、（男2，女1）、（男2，女2）、（女1，男1）、（女1，男2）、（女1，女2）、（女2，男1）、（女2，男2）、（女2，女1），共有12种，它们出现的可能性相同，满足“这2名同学性别相同”（记为事件A）的结果有4种，
所以P（A）=
．
21．
（1）①1.2；②7；③7.5；
（2）①甲；②乙；（3）乙，理由见解析
【分析】
（1）根据方差公式直接计算即可得出甲的方差，然后根据折线图信息进一步分析即可求出乙的平均数以及中位数；
（2）①甲乙平均数相同，而甲的方差要小，所以甲的成绩更加稳定，从而得出甲的成绩好一些；②甲乙平均数相同，而乙的中位数较大，即乙的成绩的中间量较大，所以得出乙的成绩好一些；
（3）根据甲乙二人成绩的相关数据结合实际进一步分析比较即可.
【详解】
（1）①甲的方差为：
，
②乙的平均数为：
，
③乙的中位数为：
，
故答案为：
①1.2；②7；③7.5；
（2）①甲乙平均数相同，而甲的方差要小，所以甲的成绩更加稳定，从而得出甲的成绩好一些；②甲乙平均数相同，而乙的中位数较大，即乙的成绩的中间量较大，所以得出乙的成绩好一些；
故答案为：
①甲；②乙；
（3）选乙，理由如下：
综合看，甲发挥更稳定，但射击精准度差；乙发挥虽然不稳定，但击中高靶环次数更多，成绩逐步上升，提高潜力大，更具有培养价值，所以应选乙．
【点睛】
本题考查了折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，折线统计图能清楚地看出数据的变化情况．
22．
（1）证明见解析；
（2）S圆环＝16π
【解析】
试题分析：
（1）连结OM、ON、OA由切线长定理可得AM=AN，由垂径定理可得AM＝BM，AN=NC，从而可得AB=AC.
（2）由垂径定理可得AM＝BM=4，由勾股定理得OA2－OM2＝AM2＝16，代入圆环的面积公式求解即可.
（1）证明：
连结OM、ON、OA
∵AB、AC分别切小圆于点M、N．
∴AM=AN，OM⊥AB，ON⊥AC，
∴AM＝BM，AN=NC，
∴AB=AC
（2）解：
∵弦AB切与小圆⊙O相切于点M
∴OM⊥AB
∴AM＝BM＝4
∴在Rt△AOM中，OA2－OM2＝AM2＝16
∴S圆环＝πOA2－πOM2＝πAM2＝16π
23．电线杆AB的高为8米
【解析】
试题分析：
过C点作CG⊥AB于点G，把直角梯形ABCD分割成一个直角三角形和一个矩形，由于太阳光线是平行的，就可以构造出相似三角形，根据相似三角形的性质解答即可．
试题解析：
过C点作CG⊥AB于点G，∴GC＝BD＝3米，GB＝CD＝2米，∵∠NMF＝∠AGC＝90°，NF∥AC，∴∠NFM＝∠ACG，∴△NMF∽△AGC，∴
，∴AG＝
＝6，∴AB＝AG＋GB＝6＋2＝8（米），故电线杆AB的高为8米
24．
（1）证明见解析；
（2）
【解析】
分析:
（1）根据圆内接四边形的性质得到∠DCE=∠BAD，根据圆周角定理得到∠DCE=∠BAD，证明即可；
（2）证明△DCE∽△ACD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
详解:
（1）证明：
∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠BAD，
∵
=
，
∴∠BAD=∠ACD，
∴∠DCE=∠ACD，
∴CD平分∠ACE；
（2）解：
∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
∴∠DEC=∠ADC，
∵∠DCE=∠ACD，
∴△DCE∽△ACD，
∴
=
，即
=
，
∴CD=3
．
点睛:
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
25．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元；
（2）2x；50﹣x．
（3）每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．
【分析】
（1）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可得出结论；
（2）根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来没见盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额；
（3）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值．
【详解】
（1）当天盈利：
（50-3）×（30+2×3）=1692（元）．
答：
若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元．
（2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利（50-x）元．
故答案为2x；50-x．
（3）根据题意，得：
（50-x）×（30+2x）=2000，
整理，得：
x2-35x+250=0，
解得：
x1=10，x2=25，
∵商城要尽快减少库存，
∴x=25．
答：
每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．
【点睛】
考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找出数量关系列出一元二次方程（或算式）．
26．
（1）B,
（2）对称轴为y轴；x＜﹣2时y随x的增大而减小；最小值为0；（3）x=1．
【分析】
（1）依据函数解析式，可得当x≤-1时，x≤
；当-1＜x＜0时，x＞
；当0＜x＜1时，x≤
；当x≥1时，x＞
；进而得到函数y=min{x，
}的图象；
（2）依据函数y=（x-2）2和y=（x+2）2的图象与性质，即可得到函数y=min{（x-2）2，（x+2）2}的图象及其性质；
（3）令（x-4）2=（x+2）2，则x=1，进而得到函数y=min{（x-4）2，（x+2）2}的图象的对称轴．
【详解】
（1）当x≤﹣1时，x≤
；当﹣1＜x＜0时，x＞
；当0＜x＜1时，x≤
；当x≥1时，x＞
；
∴函数y=min{x，
}的图象应该是
故选B；
（2）函数y=min{（x﹣2）2，（x+2）2}的图象如图中粗实线所示：
性质为：
对称轴为y轴；x＜﹣2时y随x的增大而减小；最小值为0．
故答案为对称轴为y轴；x＜﹣2时y随x的增大而减小；最小值为0；
（3）令（x﹣4）2=（x+2）2，则x=1，
故函数y=min{（x﹣4）2，（x+2）2}的图象的对称轴为：
直线x=1．
故答案为直线x=1．
【点睛】
本题主要考查的是反比例函数以及二次函数图象与性质的综合应用，本题通过列表、描点、连线画出函数的图象，然后找出其中的规律，通过画图发现函数图象的特点是解题的关键．
27．
（1）证明见解析；
（2）
【分析】
（1）由等腰三角形的性质可得∠C=∠B，∠ODB=∠C，从而∠ODB=∠C，根据同位角相等两直线平行可证OD∥AC，进而可证明结论；
（2）①当点E在CA的延长线上时，设DE与AB交于点F，围成的图形为△ODF;②当点E在线段AC上时，围成的图形为梯形AODE.根据三角形和梯形的面积公式列出函数关系式，利用二次函数的性质求解.
【详解】
证明：
（1）连接OD，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B．
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠B
∴∠ODB=∠C
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
（2）①当点E在CA的延长线上时，设DE与AB交于点F，围成的图形为△ODF．
∵OD=OB=x，∠B=30°，
∴∠FOD=60°，
∵∠ODE=90°，
∴DF=
x，
∴S△ODF=
x·
x=
，（0＜x≤
）
当x=
时，S△ODF最大，最大值为
；
②当点E在线段AC上时，围成的图形为梯形AODE．
∵AB=AC=10，∠B=30°，
∴BC=10
，
作OH⊥BC，
∵OD=OB=x，∠B=30°，
∴BD=2BH=
x，
∴CD=10
－
x，
∵∠C=30°，∠DEC=90°，
∴DE=
（10
－
x），CE=
（10
－
x）=15－
x，
∴AE=
x－5，
∴S梯形AODE=
（
x－5+x）·
（10
－
x）=
（－
+12x－20）（
＜x＜10）
当x=6时，S梯形AODE最大，最大值为10
；
综上所述，当x=6时，重合部分的面积最大，最大值为10
．
点睛：
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，切线的判定，解直角三角形，三角形和梯形的面积公式，二次函数的性质，知识点比较多，难度比较大.熟练掌握切线的判定方法及二次函数的性质是解答本题的关键.
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