算理和算法.docx
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算理和算法
算理和算法概述之一
撰写时间：
2010年11月12日10:
31
计算的算理是指计算的理论依据，通俗地讲就是计算的道理。
算理一般由数学概念、定律、性质等构成，用来说明计算过程的合理性和科学性。
计算的算法是计算的基本程序或方法，是算理指导下的一些人为规定，用来说明计算过程中的规则和逻辑顺序。
算理和算法既有联系，又有区别。
算理是客观存在的规律，主要回答“为什么这样算”的问题；算法是人为规定的操作方法，主要解决“怎样计算”的问题。
算理是计算的依据，是算法的基础，而算法则是依据算理提炼出来的计算方法和规则，它是算理的具体体现。
算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和可行性；算法为计算提供了便捷的操作程序和方法，保证了计算的正确性和快速性。
算理和算法是计算教学中相辅相成、缺一不可的两个方面。
处理好算理与算法的关系对于突出计算教学核心，抓住计算教学关键具有重要的作用。
当前，计算教学中“走极端”的现象实质上是没有正确处理好算理与算法之间关系的结果。
一些教师受传统教学思想、教学方法的支配，计算教学只注重计算结果和计算速度，一味强化算法演练，忽视算理的推导，教学方式“以练代想”，学生“知其然，不知其所以然”，导致教学偏向“重算法、轻算理”的极端。
与此相反，一些教师片面理解了新课程理念和新教材，他们把过多的时间用在形式化的情境创设、动手操作、自主探索、合作交流上，在理解算理上大做文章，过分强调为什么这样算，还可以怎样算，却缺少对算法的提炼与巩固，造成学生理解算理过繁，掌握算法过软，形成技能过难，教学走向“重算理、轻算法”的另一极端。
如何正确处理算理与算法的关系，防止“走极端”的现象，广大数学教师在教学实践中进行了有益的探索，取得了许多成功经验。
比如，“计算教学要寻求算理与算法的平衡，使计算教学‘既重算理，又重算法”“把算理与算法有机融合，避免算理与算法的‘硬性对接’”“引导学生在理解算理的基础上自主地生成算法，在算法形成与巩固的过程中进一步明晰算理”“计算教学要让学生探究并领悟算理，及时抽象并掌握算法，力求形成技能并学会运用”等等，这些观点对于计算教学少走弯路、提高计算教学质量具有重要作用。
对此，笔者认为，处理计算教学中算理与算法的关系还应注意以下五点：
一是算理与算法是计算教学中有机统一的整体，形式上可分，实质上不可分，重算法必须重算理，重算理也要重算法；二是计算教学的问题情境既为引出新知服务，体现“学以致用”，也为理解算理、提炼算法服务，教学要注意在“学用结合”的基础上，以理解算理，掌握算法，形成技能为主；三是算理教学需借助直观，引导学生经历自主探索、充分感悟的过程，但要把握好算法提炼的时机和教学的“度”，为算法形成与巩固提供必要的练习保证；四是算法形成不能依赖形式上的模仿，而要依靠算理的透彻理解，只有在真正理解算理的基础上掌握算法、形成计算技能，才能算是找到了算理与算法的平衡点；五是要防止算理与算法之间出现断痕或硬性对接，要充分利用例题或“试一试”中的“可以怎样算？
”“在小组里说一说，计算时要注意什么？
”等问题，指导学生提炼算法，为算理与算法的有效衔接服务。
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磨课，让教学更完美
撰写时间：
2010年11月17日14:
40
磨课，让教学更完美
王永生
近两年来，“磨课”一词出现在网络上的频率越来越高。
出于培训工作的需要，我们教师进修学校组织了磨课、磨题、磨文章的“三磨”研修班，取得了令人意想不到的成果。
在“三磨”研修班结业典礼上，学员们满怀激情地说：
“磨课让我们学会了交流，学会了借鉴别人的长处，学会了如何发挥学生的主观能动性。
”
“磨课使我感触颇深，受益匪浅，有一种豁然开朗的感觉。
”
磨即研磨，磨课是教师在先进教学理念的指导下，梳理教材，设计方案，共同探讨，反复推敲，最终生成好课的过程。
具体来讲，磨课以教师及其群体为主体，以教学要素为内容，以体验过程和生成好课为目的，让教师在研磨过程中发生思维的碰撞，使研修成为教学活动的有机组成部分，最终实现教师的专业成长。
当然，磨课也可以是教师的个体行为，是教师自觉开展教学研究、实现专业成长的有效途径。
磨课通常包括以下九个基本程序：
选定磨课课题——开展备课分析，编制教学方案——在备课组说课，集体讨论修改——观看名师教学录像，对比研讨，二次修改方案——组织同伴听课试教，三改教学方案——二次试教，录像回放，四改教学方案——如此反复，直到满意为止，形成终结教案——撰写磨课体会——磨课教案结集共享。
有效磨课还必须遵守以下四个基本要求：
一是磨课活动要以五六人异质同组为宜。
这样，易于发现不同问题，提出不同观点。
因为，教师只有在不同的思想观念、教学方法的交流与冲突中才能对各种观点作进一步的比较与鉴别，才能获得对问题更为本质、全面的认识，才能实现共同提高。
二是遵循磨课程序，实实在在地按序推进。
一次磨课活动中，我发现参与磨课的教师不进行备课分析，而是直接编制教案，便问：
你们编制这个教案的基础是什么？
课标、教材还是学生？
教师却回答：
经验。
缺乏课标和学情基础的教学设计是教师的一相情愿，这种固守经验、本末倒置的做法违背了磨课的本意——教师在生成好课的过程中获取知识与技能，实现专业成长。
三是反复但不重复。
反复是不断地推敲，是质量的螺旋上升，而非简单机械地重复。
教学是具有创造性的艺术，磨课正是这种创造性呈现的过程。
磨课可以使我们在推敲中产生新方法、新理念，促使教学更加完美，这才是反复的价值。
三是经常化和制度化。
要坚持每课必磨，周有小结，月有精品课。
习以为常，我们的教学工作才更具艺术气息，我们的专业水平才能迅速提高。
我们要拿出十年磨一课的毅力，让自己的一生在磨课中不断成长。
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把握基本矛盾走向有效教学——“数的运算”备课解读与难点透视
撰写时间：
2010年11月19日0:
03
课改前，关于“数的运算”教学议论很多：
——中国学生的计算能力全球最高，为什么要进行改革?
——计算教学过于形式化、技巧化，严重脱离学生生活实际；
——计算教学的训练单调枯燥，严重挫伤了学生的学习热情；
——过分强调精确计算，忽视了估算能力的培养；
……
课改后，关于“数的运算”教学仍然议论很多：
——学生的计算能力（口算能力和笔算能力）严重下降；
——在计算目标（速度和正确率）方面两极分化现象严重；
——计算器的引入干扰了学生计算能力的形成；
——“算法多样化”影响了课堂教学的效率；
……
如何应对“数的运算”教学改革中的问题?
本文试从数的运算的重要意义与价值、教学内容和目标的变化出发，针对目前数的运算教学中普遍存在的基本矛盾进行分析并提出解决策略。
一、“数的运算”的重要意义和价值。
“数的运算”在整个小学阶段的学习内容中占有相当大的比重。
正确认识计算在数学教学中的作用，准确了解计算的内在思想和方法，能使我们的计算教学更加科学有效。
数的运算是人们在日常生活中应用最多的数学知识，因此它历来是小学数学教学的基本内容，培养小学生的计算能力也一直是小学数学教学的主要目标之一。
计算教学直接关系着学生对数学基础知识与基本技能的掌握，关系着学生观察、记忆、思维等能力的发展，关系着学生学习习惯、情感、意志等非智力因素的培养。
一定的计算能力是每个公民都应具备的基本素养。
1．在日常生活中有广泛的应用。
数的运算是人们认识客观世界和周围事物的重要工具之一。
从抽象的观点看，客观世界的表现形式可以概括为：
数量、空间和时间及相互之间的关系。
从数学的角度看，主要表现在数、量、形三个方面，而计量是离不开数的运算的，空间形式及其关系要量化也离不开数与计算。
任何学科规律归结为公式后基本上都要运用四则混合运算来计算。
2．对培养学生的思维能力有重要作用。
学习数的运算的过程就是发展逻辑思维能力的过程。
数的运算的概念、性质、法则、公式之间都有内在联系，存在着严密的逻辑性。
每个概念、性质、法则、公式的引入与建立，都要经过抽象、概括、判断、推理的思维过程。
学生学习、理解和掌握这些概念、性质、法则、公式，都要经过从具体到抽象、从感性到理性的过程。
学生把这些应用到实际中去，还要经过由一般到特殊的演绎过程。
因此，数的运算的学习有利于发展学生的思维能力。
3．有利于渗透数学思想方法的教育。
数的运算是在人类的生产、生活中产生和发展起来的，由低级到高级、从简单到复杂。
而数的运算中又有很多相互依存、对立统一的概念和计算方法。
如整数与分数、约数与倍数，加与减、乘与除、通分与约分，等等。
教学中阐明这些相互依存的概念与概念、计算方法与计算方法之间的关系，有利于渗透数学思想方法的教育。
二、内容变化解读。
随着科学技术的发展，尤其是计算机和计算器的普及，“数的运算”中哪些知识是大多数人最常用和最基础的，也在发生着变化。
了解和研究这种变化，重新审视相应的教学内容和要求，是小学数学课程教材改革研究的任务之一。
1．加强的内容。
（1）注重计算与日常生活的联系。
过去一提到计算，常常和“抽象”、“单调”、“枯燥”等词语联系在一起，计算教学陷入了一些误区。
与传统的计算相比，《数学课程标准（实验稿）》注重了通过实际情境使学生体验、感受和理解运算的意义。
《标准》中提出：
“经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。
”“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。
”
诚然，计算本身具有较强的抽象性，但其反映的内容又常常是现实的，与人们的生活、生产有着十分密切的联系。
新课程注重计算的现实意义，适当让学生经历一些现实情境，使学生通过活动体验、感受和理解运算的意义、来源、现实背景和本质。
（2）加强计算器的运用。
计算器的运用一直是小学数学教学讨论的焦点。
《标准》中强调：
“数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。
”
借助计算器不仅有利于学生进行较复杂的运算，解决实际问题，而且还可以培养学生探索数学规律的能力。
一方面，学生可以用它进行大数目的加、减、乘、除四则运算，节约时间，提高计算的速度；另一方面，借助计算器可以引导学生探索一些复杂的、更为现实的应用问题。
计算器进入课堂，能逐步把学生从繁琐的技巧性计算中解放出来，以学习更多有用的数学内容。
当然，计算器的引入是一种新的改革和试验，需要我们深入研究，防止简单化处理，特别是在低年级学生形成基本计算能力的时候要慎用，在高年级学生学习中也要注意不能养成完全依赖计算器的习惯。
（3）强化估算的作用。
估算是人们在日常生活、工作和生产中，对一些无法或没有必要进行精确测量和计算的数量所进行的近似或粗略估计的一种方法。
如今，复杂的计算都可以由计算机或计算器来完成，与此同时，日常生活和工作中估算的作用也越来越突出。
如，人们在使用工具进行计算时，由于操作上的失误会使计算结果有很大的误差，这就要求人们具有一定的估算能力，能对计算结果的合理性进行判断，并对其合理性作出解释。
另外，估算还可以用于平时的计算，在计算前对结果进行估算，可以使学生合理、灵活地用多种方法去思考问题；在计算后对结果进行估算，可以使学生获得一种最有价值的检验结果的方法。
所以估算能力是现代化社会生活的需要，是衡量人们计算能力的一个重要标准。
重视、加强估算已成为一个世界性的潮流。
标准》中明确提出要培养估算能力。
在第一学段中强调“能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程”，在第二学段中强调“在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算的习惯”。
2．削弱的内容。
（1）删减珠算的内容。
珠算作为我国传统的计算工具，在历史上发挥了重要的作用，同时，珠算教学的形象性对于学生智力开发也有很大的促进作用。
但是随着计算机的不断普及，人们基本上已经不采用珠算计算的方法。
因此《标准》中基本不介绍珠算，取而代之的是计算器。
（2）删减繁琐的运算步骤。
在整数运算方面，《标准》明确提出：
“进行简单的整数四则混合运算（以两步为主，不超过三步）。
”而在这里“简单”运算的含义具体包括：
“加、减法以两三位为主”，“乘法是三位数乘两位数”，“除法是三位数除以两位数”。
在小数、分数运算方面，《标准》提出：
“会分别进行简单的小数，分数（不含带分数）加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）。
”
（3）删减运算的数目要求。
在口算方面，《标准》提出：
“会口算百以内一位数乘、除两位数。
”在笔算方面，提出：
“能笔算三位数乘两位数的乘法，三位数除以两位数的除法。
”
我们知道，同一类计算题目，数目较大的运算比数目较小的运算错误率有成倍的增长。
因此降低计算中的数目要求，也就降低了学生的错误率，减轻了学生负担。
三、教学要点。
第一学段总体要求：
“应重视口算，加强估算，提倡算法多样化；应减少单纯的技能性训练，避免繁杂计算和程式化地叙述‘算理’。
”
第二学段总体要求：
“应重视口算，加强估算，鼓励算法多样化；应使学生经历从实际问题中抽象出数量关系，并运用所学知识解决问题的过程；应避免繁杂的运算，避免将运算与应用割裂开来，避免对应用题进行机械的程式化训练。
”
在实际的教学中，要特别注意如下问题的解决。
1．如何建立四则运算概念?
首先，应注重在具体情境中体会运算意义。
四则运算是小学数学最基础的知识。
一般对加法的定义是：
“把两个数合并成一个数的运算。
”减法的定义是：
“已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。
”乘法的定义是：
“求相同加数的和的简便运算。
”除法的定义是：
“已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
”这些运算定义虽然在表述上已经比较直观，但对于低年级的小学生来说，仍是十分抽象的。
心理学研究表明，当一个数的运算与所代表的情境中的物体相联系时，才能在学生的头脑中获得真正的意义。
情境可以赋予数以意义，从而使抽象的数成为具体的物体。
因此《标准》提出“结合具体情境”的要求。
案例1：
“加法”（一上）
教材创设了学生熟悉的活动情境图“折纸游戏”：
已经折了1只红色的纸鸟，2只蓝色的纸鸟。
教学时，可以组织学生观察并述说：
红色纸鸟的只数可以用“1”表示，蓝色纸鸟可以用“2”表示，一共折的纸鸟只数可以用“3”表示；要求一共有多少只纸鸟，可以把“1”和“2”合并起来，在数学上把这种运算叫做“加法”，写成“1+2=3”；然后让学生联系情境说一说“1”，“2”，“3”和“+”各表示什么含义；最后再通过小朋友把两只手里的气球合并以及让学生动手摆学具等活动，逐步形成对加法意义的认识。
这样，学生对加法含义的理解是建立在丰富的感性积累基础之上，在头脑中形成鲜明的动态表象，从而获得关于加法运算意义的准确理解。
案例2：
“乘法”（一下）
教材通过情境图，首先让学生在具体活动中感知“几个几”：
兔有3个2，鸡有4个3；再让学生用已经学过的连加进行计算：
2+2+2=6，3+3+3+3=12。
接着通过操作学具和观察花片活动，使学生进一步体验“几个几”：
3个5可以写成5+5+5=15，5个3可以写成3+3+3+3+3=15。
然后通过计算桌子上电脑的台数：
2+2+2+2=8，讲述——“4个2相加，可以写成2×4=8或4×2=8”。
同时结合教学乘号、乘数、积等名称和乘法算式的读法。
这样的编排和教学，改变了过去强调“相同加数”、“相同加数的个数”、“每份数”、“份数”、“被乘数”、“乘数”等过分形式化的概念以及所谓被乘数和乘数不能换位置的人为障碍，强化了乘法的本质——同数相加。
学生认识乘法的过程，成了快乐的学习体验过程，成了理解数学概念本质的过程。
2．如何重视口算教学?
口算也称心算，是一种不借助计算工具，仅依靠记忆与思维，直接算出结果的计算方式。
口算基于个人对数的基本性质和算术运算的理解，它不仅仅是笔算的基础，而且也是运算中独立的一部分，同时口算在日常生活中有着很高的应用价值。
口算还是数感发展过程中的一个重要部分。
在教学中具体落实“重视口算”的目标，应注重如下两点：
（1）在数形结合中理解口算原理。
数的运算，其实质是对现实生活中物体的个数进行运算，可以说小学阶段的每个算式都可以在生活中找到实例。
在让学生理解口算的算理时，除了要与实际情境相结合，还要逐步过渡为数学的语言符号。
案例3：
“整百数加、减整百数”（二下）
首先创设“买电器”的情境：
洗衣机500元，电冰箱1200元，电视机800元，电风扇160元。
提出问题：
“爸爸买一台洗衣机和一台电视机共花多少钱?
”列式：
500+800。
接着通过具体的人民币（都是百元面值）的呈现，引发学生思考：
5加8等于13，500+800=1300。
然后通过计数器演示：
5个百加8个百是13个百，也就是1300。
最后让学生说说自己的思考和计算过程。
这样，由具体实物（百元人民币形象地表示计数单位“百”）的操作过渡到半形象半抽象的计数器（百位上算珠操作）演示，再通过学生在头脑中的表象运演，使学生逐步理解口算的算理（5个百加8个百是13个百，就是1300）。
这样的教学符合学生的思维发展规律：
直观动作思维→具体形象思维→抽象逻辑思维。
（2）科学合理地训练，强化基本口算。
在小学的口算内容中，两个一位数相加与其相对应的减法、表内乘法与其相对应的除法是四则运算中的基本口算，俗称“四张九九表”，这“四表”是一切计算的基础，务必使学生达到“脱口而出”的熟练程度。
为此，在口算教学中，除了让学生理解算理、掌握算法，还要注重口算训练的科学合理性。
笔者调查了当前小学生基本口算能力的现状和错误分布情况，发现在低年级阶段有些老师过分提高口算的速度要求（每分钟算30道甚至50道），而中高年级则忽视基本口算训练，过分依赖笔算。
要强化基本口算，首先应重视基本口算方法的教学。
小学生口算的方法一般有三个层次：
逐一重新计数→借数数加算或减算→按数群运算。
在教学基本口算时，要重视让学生逐步掌握按数群运算的方法。
所谓数群，是指学生在计数时能将最后说出的数作为所数过的一群对象的总体来把握。
所谓按群计数，就是计数时不以某个物体为单位，而是以数群为单位，如两个两个地数、五个五个地数，等等。
同时我们还应该注意，在教学初期，为了达到算法指导下的正确计算，可不做计算速度的要求。
其次，应注重退位减法与表内除法的思路教学。
小学生正处于“具体运算阶段”，思维的可逆性刚刚出现，只能进行初步的逻辑推理。
而20以内退位减法和表内除法口算在很大程度上依赖于学生的逆向思维。
因此教学口算方法时，要特别强化退位减法和表内除法的基本计算思路（算减想加、算除想乘）的教学，以帮助学生掌握基本方法，同时有意识地培养学生的逆向思维能力。
再次，应注意口算训练的科学性。
要提供训练材料，选择训练时机，注意训练方法，考虑训练周期，做到适时、适量、适度。
具体说来，一要注意加强课堂练习，采用讲练结合的方式及时巩固所学口算内容；二要注意练习的针对性，抓住难点反复练习，不能平均用力；三要注意练习形式的多样化，提高学生口算的积极性，避免简单的机械重复。
3．如何加强估算意识?
估算具有重要的应用价值，是学生应该具备的重要的计算技能。
随着计算技术的进一步发展，大量的计算并不要求进行精确的计算，一个人在日常生活中进行估算的次数，远比精确计算的次数多得多。
在小学阶段的计算教学中，与估算相关的内容很多，如估计商的近似值、试商、估计小数乘法的结果、用估算进行验算，等等。
要体现《标准》中“加强估算”的要求，可以着力于以下两方面：
（1）培养数感是打好估算的基础。
数感是对数和数的关系的一种良好的直觉。
在估算中数感主要表现为能在具体情境中把握数的相对大小关系，能为解决问题而选择适当的算法，能对结果的合理性作出解释。
估算可以发展学生对数的认识，培养数感；同时，良好的数感又是学生进行估算的必要基础。
除了在数的认识时要加强数感的培养，在数的运算过程中更应结合具体计算培养学生的数感。
（2）掌握估算方法，养成估算习惯。
有研究表明，小学生最常使用的估算方法主要有三种：
简约、转换和补偿。
所谓“简约”，是指学生在估算时先把数简化成比较简单的形式。
例如估算“495+310”，把495看作500，把310看作300，这样估算时只要想比较简单的形式“500+300”，即可。
所谓“转换”，是指学生在估算时把一种问题转换成另一种问题来思考。
例如，估算加法问题“602+597+589”，把加法问题转换为乘法问题：
“600乘3是1800，所以答案差不多是1800左右。
”而所谓“补偿”，则是学生在进行简约或转换时，进行一些调整，以补偿前面运算中的不足，使估算比较准确。
例如，“602+597+589”这一问题，学生在转换时可能会进一步想：
“答案大约是1800，而且会稍小于1800，因为我在将每一个数都简化成600时，用加的部分比用减的更多一些。
”
我们在教学中也常常发现，有些学生在计算时会出现一些莫名其妙的错误。
对此，我们应让学生养成及时估算检查的习惯，每做完一道题目，可以先估计一下数值，然后与实际计算所得的答案比较，及时觉察出错误并加以更正。
案例4：
（三上）
一个同学说“我有一串五色珠子，共98颗，每种颜色颗数都相等。
”另一位同学经过估算指出“这是不可能的”。
这里，后一位同学就是用估算进行了判断。
他可能用乘法的思路：
5乘一个数的得数个位要么是0要么是5，不可能是8。
也可能是用除法的思路：
98除以5，是有余数的。
可见，养成了估算的良好习惯，能解释结果的合理性，验证计算的精确度。
4．如何体现算法多样化?
《标准》中指出：
“由于学生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多样的，教师应尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡计算方法的多样化。
”要体现“算法多样化”的思想，应注重以下三方面：
（1）理解算法多样化的内涵。
所谓算法就是指解决各种数学问题的程序与方法，具体包括运算的方法与解题策略。
这两者都由一定的程序与规则组成，因此运算方法与解题策略有共性也有区别。
前者更偏重于技能，可以通过练习获得，并进而成为技巧，而后者虽然也可进行训练，但由于信息复杂，更多要依靠思维能力。
两者无本质区别，只有层次之差。
（2）找准算法多样化的前提。
现代学习心理学研究表明，实施算法多样化也是有前提的，各种不同算法要建立在思维等价的基础上，否则多样化就会导致泛化。
以学生思维凭借的依据看，可以分为基于动作的思维、基于形象的思维、基于符号与逻辑的思维。
显然这三种思维并不在同一层次上，不在同一层次上的算法就应该提倡优化，而且必须优化，只是优化的过程应是学生不断体验与感悟的过程，而不是教师强制规定和主观臆断的过程，应让学生逐步找到适合自己的最优算法。
（3）把握算法优化的标准。
过去我们仅仅用成人认为唯一合理的方法作为基本算法教给学生。
现在我们认为的基本算法是什么呢?
其实，基本算法并不是唯一算法，基本算法应该是指同一思维层次上的方法群。
以此为基础，这里提出判定基本算法的三个维度：
一是从心理学维度看，多数学生喜欢的方法；二是从教育学维度看，教师易教、学生易学的方法；三是从学科维度看，对后续知识的掌握有价值的方法。
理想的基本算法是三位一体的。
在小学阶段，随着年级的升高对学科维度要求会逐渐增强。
四、当前计算教学存在的基本矛层和处理策略。
依据笔者的调查和分析，课程改革之后计算教学中出现了一些亟须解决的基本矛盾。
现分别
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