高中数学 141 正弦函数余弦函数的图象教案 新人教A版必修4.docx
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高中数学141正弦函数余弦函数的图象教案新人教A版必修4
2019-2020年高中数学1.4.1正弦函数、余弦函数的图象教案新人教A版必修4
教学分析
研究函数的性质常常以图象直观为基础,这点学生已经有些经验,通过观察函数的图象,从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想的应用.正弦函数、余弦函数的教学也是如此.先研究它们的图象,在此基础上再利用图象来研究它们的性质.显然,加强数形结合是深入研究函数性质的基本要求.
由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质,那么它的性质也就完全清楚了,因此,教科书把对周期性的研究放在了首位.另外,教科书通过“旁白”,指出研究三角函数性质“就是要研究这类函数具有的共同特点”,这是对数学思考方向的一种引导.
由于正弦线、余弦线已经从“形”的角度描述了三角函数,因此利用单位圆中的三角函数线画正弦函数图象是一个自然的想法.当然,我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图,从画出的图形中观察得出五个关键点,得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图.
三维目标
1.通过实验演示,让学生经历图象画法的过程及方法,通过对图象的感知,形成正弦曲线的初步认识,进而探索正弦曲线准确的作法,养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新问题时善于调动所学过的知识,较好地运用新旧知识之间的联系,提高分析问题、解决问题的能力.
2.通过本节学习,理解正弦函数、余弦函数图象的画法.借助图象变换,了解函数之间的内在联系.通过三角函数图象的三种画法:
描点法、几何法、五点法,体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图象.
3.通过本节的学习,让学生体会数学中的图形美,体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦.渗透由抽象到具体的思想,加深数形结合思想的认识,理解动与静的辩证关系,树立科学的辩证唯物主义观.
重点难点
教学重点:
正弦函数、余弦函数的图象.
教学难点:
将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余弦函数图象间的关系.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.（复习导入）遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图象,观察图象的形状,看看有什么特殊点,并借助图象研究它的性质,如:
值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等.我们也很自然的想知道y=sinx与y=cosx的图象是怎样的呢?
回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么?
是如何画出它们图象的（列表描点法:
列表、描点、连线）?
进而引导学生通过取值,画出当x∈［0,2π］时,y=sinx的图象.
思路2.（情境导入）请学生动手做一做章头图表示的“简谐运动”实验.教师指导学生将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆.在漏斗下方放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况.
有了上述实验,你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一个直观的印象?
画函数的图象,最基本的方法是我们以前熟知的列表描点法,但不够精确.下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图象.
推进新课
新知探究
提出问题
问题①:
作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,由于对一般角的三角函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长（或用有向线段数值）表示x角的三角函数值?
怎样得到函数图象上点的两个坐标的准确数据呢?
简单地说,就是如何得到y=sinx,x∈［0,2π］的精确图象呢?
问题②:
如何得到y=sinx,x∈R时的图象?
活动:
教师先让学生阅读教材、思考讨论,对于程度较弱的学生,教师指导他们查阅课本上的正弦线.此处的难点在于为什么要用正弦线来作正弦函数的图象,怎样在x轴上标横坐标?
为什么将单位圆分成12份?
学生思考探索仍不得要领时,教师可进行适时的点拨.只要解决了y=sinx,x∈［0,2π］的图象,就很容易得到y=sinx,x∈R时的图象了.
对问题①,第一步,可以想象把单位圆圆周剪开并12等分,再把x轴上从0到2π这一段分成12等份.由于单位圆周长是2π,这样就解决了横坐标问题.过⊙O1上的各分点作x轴的垂线,就可以得到对应于0、、、、、…、2π等角的正弦线,这样就解决了纵坐标问题（相当于“列表”）.第二步,把角x的正弦线向右平移,使它的起点与x轴上的点x重合,这就得到了函数对（x,y）（相当于“描点”）.第三步,再把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来,我们就得到函数y=sinx在［0,2π］上的一段光滑曲线（相当于“连线”）.如图1所示（这一过程用课件演示,让学生仔细观察怎样平移和连线过程.然后让学生动手作图,形成对正弦函数图象的感知）.这是本节的难点,教师要和学生共同探讨.
图1
对问题②,因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数y=sinx在x∈[2kπ,2（k+1）π],k∈Z且k≠0上的图象与函数y=sinx在x∈[0,2π]上的图象的形状完全一致,只是位置不同.于是我们只要将函数y=sinx,x∈[0,2π］的图象向左、右平行移动（每次2π个单位长度）,就可以得到正弦函数y=sinx,x∈R的图象.（这一过程用课件处理,让同学们仔细观察整个图的形成过程,感知周期性）
图2
讨论结果:
①利用正弦线,通过等分单位圆及平移即可得到y=sinx,x∈［0,2π］的图象.
②左、右平移,每次2π个长度单位即可.
提出问题
如何画出余弦函数y=cosx,x∈R的图象?
你能从正弦函数与余弦函数的关系出发,利用正弦函数图象得到余弦函数图象吗?
活动:
如果再用余弦线作余弦函数的图象那太麻烦了,根据已学的知识,教师引导学生观察诱导公式,思考探究两个函数之间的关系,通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象?
让学生从函数解析式之间的关系思考,进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法.让学生动手做一做,体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同,感知两个函数的整体形状,为下一步学习正弦函数、余弦函数的性质打下基础.
讨论结果:
把正弦函数y=sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度即可得到余弦函数图象.如图3.
图3
正弦函数y=sinx,x∈R的图象和余弦函数y=cosx,x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线点.
提出问题
问题①:
以上方法作图,虽然精确,但不太实用,自然我们想寻求快捷地画出正弦函数图象的方法.你认为哪些点是关键性的点?
问题②:
你能确定余弦函数图象的关键点,并作出它在［0,2π］上的图象吗?
活动:
对问题①,教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象,发现在［0,2π］上有五个点起关键作用,只要描出这五个点后,函数y=sinx在［0,2π］上的图象的形状就基本上确定了.这五点如下:
（0,0）,（,1）,（π,0）,（,-1）,（2π,0）.
因此,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连接起来,就可快速得到函数的简图.这种近似的“五点（画图）法”是非常实用的,要求熟练掌握.
对问题②,引导学生通过类比,很容易确定在［0,2π］上起关键作用的五个点,并指导学生通过描这五个点作出在［0,2π］上的图象.
讨论结果:
①略.
②关键点也有五个,它们是:
（0,1）,（,0）,（π,-1）,（,0）,（2π,1）.
应用示例
思路1
例1画出下列函数的简图
（1）y=1+sinx,x∈[0,2π];
（2）y=-cosx,x∈[0,2π].
活动:
本例的目的是让学生在教师的指导下会用“五点法”画图,并通过独立完成课后练习1领悟画正弦、余弦函数图象的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,“五点法”画图易学却难掌握,学生需练好扎实的基本功.可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完成.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生操作中指导一一纠正,这对以后学习大有好处.
解:
（1）按五个关键点列表:
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
-1
0
1+sinx
1
2
1
0
1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来（图4）.
图4
（2）按五个关键点列表:
x
0
π
2π
cosx
1
0
-1
0
1
-cosx
-1
0
1
0
-1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来（图5）.
图5
点评:
“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法,本例是最简单的变化.本例的目的是让学生熟悉“五点法”.如果是多媒体教学,要突破课件教学的互动性,多留给学生一些动手操作的时间,或者增加图象纠错的环节,效果将会令人满意,切不可教师画图学生看.完成本例后,让学生阅读本例下面的“思考”,并回答如何通过图象变换得出要画的图象,让学生从另一个角度熟悉函数作图的方法.
变式训练
xx山东临沂一摸统考17
（1）在给定的直角坐标系如图6中,作出函数f（x）=cos（2x+）在区间[0,π]上的图象.
解:
列表取点如下:
x
0
π
π
2π
f（x）
1
0
0
1
描点连线作出函数f（x）=cos（2x+）在区间[0,π]上的图象如图7所示.
图6图7
思路2
例1画出函数y=|sinx|,x∈R的简图.
活动:
教师引导学生观察探究y=sinx的图象并思考｜sinx｜的意义,发现只要将其x轴下方的图象翻上去即可.进一步探究发现,只要画出y=|sinx|,x∈[0,π]的图象,然后左、右平移（每次π个单位）就可以得到y=|sinx|,x∈R的图象.让学生尝试寻找在[0,π]上哪些点起关键作用,易看出起关键作用的点有三个:
（0,0）,（,1）,（π,0）.然后列表、描点、连线,让学生自己独立操作完成,对其失误的地方再予以一一纠正.
解:
按三个关键点列表:
x
0
π
sinx
0
1
0
y=｜sinx｜
0
1
0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来（图8）.
图8
点评:
通过本例,让学生更深刻地理解正弦曲线及“五点法”画图的要义,并进一步从图象变换的角度认识函数之间的关系,也为下一步将要学习的周期打下伏笔.
变式训练
1.方程sinx=的根的个数为（）
A.7B.8C.9D.10
解:
这是一个超越方程,无法直接求解,可引导学生考虑数形结合的思想方法,将其转化为函数y=的图象与y=sinx的图象的交点个数问题,借助图形直观求解.解好本题的关键是正确地画出正弦函数的图象.如
图9,从图中可看出,两个图象有7个交点.
图9
答案:
A
2.用五点法作函数y=2sin2x的图象时,首先应描出的五点横坐标可以是（）
A.0,,,2πB.0,,,,π
C.0,π,2π,3π,4πD.0,,,,
答案:
B
知能训练
课本本节练习
解答:
1.可以用单位圆中的三角函数线作出它们的图象,也可以用“五点法”作出它们的图象,还可以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象.两条曲线形状相同,位置不同,例如函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象,可以通过将函数y=cosx,x∈[,]的图象向右平行移动个单位长度而得到（图10）.
图10
点评:
在同一个直角坐标系中画出两个函数图象,利于对它们进行对比,可以加强正弦函数与余弦函数的联系.通过多种方法画图,渗透数形结合思想,强化学生对数学概念本质的认识.
2.两个函数的图象相同.
点评:
先用“五点法”画出余弦函数的图象,再通过对比函数解析式发现另一函数的图象的变化规律,最后变换余弦曲线得到另一函数的图象（图11）.
图11
课堂小结
以提问的方式,先由学生反思学习内容并回答,教师再作补充完善.
1.怎样利用“周而复始”的特点,把区间［0,2π］上的图象扩展到整个定义域的?
2.如何利用图象变换从正弦曲线得到余弦曲线?
这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法.除了它们共同的代数描点法、几何描点法之外,余弦函数图象还可由平移交换法得到.“五点法”作图是比较方便、实用的方法,应熟练掌握.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.
作业
1.课本习题1.4A组1.
2.预习下一节:
正弦函数、余弦函数的性质.
设计感想
1.本节课操作性强,学生活动量较大.新课从实验演示入手,形成图象的感知后,升级问题,探索正弦曲线准确的作法,形成理性认识.问题设置层层深入,引导学生发现问题,解决问题,并对方法进行归纳总结,体现了新课标“以学生为主体,教师为主导”的课堂教学理念.如用多媒体课件,则可生动地表现出函数图象的变化过程,更好地突破难点.
2.本节课所画的图象较多,能迅速准确地画出函数图象对初学者来说是一个较高的要求,重在学生动手操作,不要怕学生出错.通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力.开始时要慢些,尤其是“五点法”,每个点都要能准确地找到,然后迅速画出图象.
3.本小节设置的“探究”“思考”较多,还提供了“探究与发现”“信息技术应用”等拓展性栏目.教学时,应留给学生一定的时间思考、探究这些问题.
2019-2020年高中数学1.4.1《全称量词与存在量词
（一）量词》教案新人教选修2-1
教学目标：
了解量词在日常生活中和数学命题中的作用，正确区分全称量词和存在量词的概念，并能准确使用和理解两类量词。
教学重点：
理解全称量词、存在量词的概念区别；
教学难点：
正确使用全称命题、存在性命题；
课型：
新授课
教学手段：
多媒体
教学过程：
一、创设情境
在前面的学习过程中，我们曾经遇到过一类重要的问题：
给含有“至多、至少、有一个┅┅”等量词的命题进行否定，确定它们的非命题。
大家都曾感到困惑和无助，今天我们将专门学习和讨论这类问题，以解心中的郁结。
问题1：
请你给下列划横线的地方填上适当的词
①一纸；②一牛；③一狗；④一马；⑤一人家；⑥一小船
①张②头③条④匹⑤户⑥叶
什么是量词？
这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。
汉语的物量词纷繁复杂，又有兼表形象特征的作用，选用时主要应该讲求形象性，同时要遵从习惯性，并注意灵活性。
不遵守量词使用的这些原则，就会闹出“一匹牛”“一头狗”“一只鱼”的笑话来。
二、活动尝试
所有已知人类语言都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言，量词是人们相互交往的重要词语。
我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题，而是更多的给予它数学的意境。
问题2：
下列命题中含有哪些量词？
（1）对所有的实数x，都有x2≥0；
（2）存在实数x，满足x2≥0；
（3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立；
（4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立；
（5）对于任何自然数n，有一个自然数s使得s=n×n；
（6）有一个自然数s使得对于所有自然数n，有s=n×n；
上述命题中含有：
“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词。
三、师生探究
命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词。
命题的量词，表示的是主词数量的概念。
在谓词逻辑中，量词被分为两类：
一类是全称量词，另一类是存在量词。
全称量词：
如“所有”、“任何”、“一切”等。
其表达的逻辑为：
“对宇宙间的所有事物x来说，x都是F。
”例句：
“所有的鱼都会游泳。
”
存在量词：
如“有”、“有的”、“有些”等。
其表达的逻辑为：
“宇宙间至少有一个事物x，x是F。
”例句：
“有的工程师是工人出身。
”
含有量词的命题通常包括单称命题、特称命题和全称命题三种。
单称命题：
其公式为“（这个）S是P”。
例句：
“这件事是我经办的。
”单称命题表示个体，一般不需要量词标志，有时会用“这个”“某个”等。
在三段论中是作为全称命题来处理的。
全称命题：
其公式为“所有S是P”。
例句：
“所有产品都是一等品”。
全称命题，可以用全称量词，也可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达，甚至有时可以没有任何的量词标志，如“人类是有智慧的。
”
特称命题：
其公式为“有的S是P”。
例句：
“大多数学生星期天休息”。
特称命题使用存在量词，如“有些”、“很少”等，也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等。
含有存在性量词的命题也称存在性命题。
问题3：
判断下列命题是全称命题，还是存在性命题？
（1）方程2x=5只有一解；
（2）凡是质数都是奇数；
（3）方程2x2＋1=0有实数根；
（4）没有一个无理数不是实数；
（5）如果两直线不相交，则这两条直线平行；
（6）集合A∩B是集合A的子集；
分析：
（1）存在性命题；
（2）全称命题；（3）存在性命题；（4）全称命题；（5）全称命题；（6）全称命题；
四、数学理论
1．开语句：
语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的．这种含有变量的语句叫做开语句。
如，x<2，x-5=3，（x+y）（x-y）=0.
2．表示个体常项或变项之间数量关系的词为量词。
量词可分两种：
（1）全称量词
日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量词，记作、等，表示个体域里的所有个体。
（2）存在量词
日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在量词，记作，等，表示个体域里有的个体。
3．含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题。
全称命题的格式：
“对M中的所有x，p（x）”的命题，记为:
存在性命题的格式：
“存在集合M中的元素x，q（x）”的命题，记为:
注：
全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母A，实际上就是英语"any"中的首字母。
存在量词就是“存在”、“有”，写成左右反过来的大写字母E，实际上就是英语"exist"中的首字母。
存在量词的“否”就是全称量词。
五、巩固运用
例1判断以下命题的真假：
（1）
（2）（3）（4）
分析：
（1）真；
（2）假；（3）假；（4）真；
例2指出下述推理过程的逻辑上的错误：
第一步：
设a=b，则有a2=ab
第二步：
等式两边都减去b2，得a2-b2=ab-b2
第三步：
因式分解得（a+b）（a-b）=b（a-b）
第四步：
等式两边都除以a-b得，a+b=b
第五步：
由a=b代人得，2b=b
第六步：
两边都除以b得，2=1
分析：
第四步错：
因a-b＝0，等式两边不能除以a-b
第六步错：
因b可能为0，两边不能立即除以b，需讨论。
心得：
（a+b）（a-b）=b（a-b）a+b=b是存在性命题，不是全称命题，由此得到的结论不可靠。
同理，由2b=b2=1是存在性命题，不是全称命题。
例3判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题，如果是，用量词符号表达出来。
（1）中国的所有江河都注入太平洋；
（2）0不能作除数；
（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；
（4）每一个向量都有方向；
分析：
（1）全称命题，河流x∈{中国的河流}，河流x注入太平洋；
（2）存在性命题，0∈R，0不能作除数；
（3）全称命题，x∈R，；
（4）全称命题，，有方向；
六、回顾反思
要判断一个存在性命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p（x）为真；要判断一个存在性命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p（x）为假。
要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p（x）为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p（x）为假。
即全称命题与存在性命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系。
七、课后练习
1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为（）
A．所有奇数都是质数B．
C．对每个无理数x，则x2也是无理数D．每个函数都有反函数
2．将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（）
A．，都有B．，都有
C．，都有D．，都有
3．判断下列命题的真假，其中为真命题的是
A．B．
C．D．
4．下列命题中的假命题是（）
A．存在实数α和β，使cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ
B．不存在无穷多个α和β，使cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ
C．对任意α和β，使cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ
D．不存在这样的α和β，使cos（α+β）≠cosαcosβ－sinαsinβ
5．对于下列语句
（1）
（2）
（3）（4）
其中正确的命题序号是。
（全部填上）
6．命题是全称命题吗？
如果是全称命题，请给予证明，如果不是全称命题，请补充必要的条件，使之成为全称命题。
参考答案：
1．B
2．A
3．D
4．B
5．
（2）（3）
6．不是全称命题，补充条件：
（答案不惟一）
当时,，
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