精品第二章数学模型与建模.docx
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精品第二章数学模型与建模
第一、二章数学模型与建模
数学模型是架于数学与实际问题之间的桥梁
在数学发展的进程中无时无刻不留下数学模型的印记。
一.模型
为了一定的目的,人们对原型的一个抽象
例如:
航空模型对飞机的一个抽象,城市交通图对交通系统的一个抽象
二.数学模型
用数学语言,对实际问题的一个近似描述,以便于人们用数学方法研究实际问题。
例1:
牛顿定律
假设:
1.物体为质量为m的质点,忽略物体的大小和形状。
2.没有阻力、摩擦力及其他外力,只有沿物体运动方向的作用力F。
引入变量x(t)表示在t时刻物体的位置,则受力物体满足如下运动规律,
这就是牛顿定律的数学模型。
例2:
哥尼斯堡七桥问题
问题:
能否从某地出发,
通过每座桥恰好一次,回到原地?
由4个结点7条边组成的图构成解决这个问题的数学模型。
三.数学模型的特征
1.实践性:
有实际背景,有针对性。
接受实践的检验。
2.应用性:
注意实际问题的要求。
强调模型的实用价值。
3.综合性:
数学与其他学科知识的综合。
四.建模举例
数学建模(Mathematicalmodelling)是一种数学的思考方法,用数学的语言和方法,通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的强有力的数学工具。
下面给出几个数学建模的例子,重点说明:
如何做出合理的、简化的假设;
如何选择参数、变量,用数学语言确切的表述实际问题;
如何分析模型的结果,解决或解释实际问题,或根据实际情况改进模型。
例1.管道包扎
问题:
用带子包扎管道,使带子全部包住管道,且用料最省。
假设:
1.直圆管,粗细一致。
2.带子等宽,无弹性。
3.带宽小于圆管截面周长。
4.为省工,用缠绕的方法包扎管道.
参量、变量:
W:
带宽,C:
圆管截面周长,:
倾斜角
(倾斜角)包扎模型
(截口)包扎模型
进一步问,如果知道直圆管道的长度,用缠绕的方法包扎管道,需用多长的带子?
设管道长L,圆管截面周长C,带子宽W,带子长M.
带长模型
问题:
1.若L=30m,C=50cm,W=30cm,则最少要用多长的带子才能将管道缠绕包扎上?
2.现有带长M1=51m,计划将这条带子全部用来缠绕包扎上面的管道。
缠绕时允许带子互相重叠一部分。
应该如何包扎这个管道?
(计算结果精确到0.001)
例2.桌子摆放
问题:
在起伏不平的地面上能不能让桌子的四个脚同时着地?
建模证实,在一定条件下能在起伏不平的地面上放稳桌子,即能让桌子的四个脚同时着地。
假设:
1.桌子的四条腿等长,四脚连线呈平面正方形ABCD。
2.地面的起伏是连续变化的。
3地面相对平坦,使得桌子在任何位置至少有三个脚同时着地。
参数,变量。
1.如何描述“桌子的四个脚同时着地”?
记xA,xB、xC、xD分别为脚A,B,C,D与地面的距离。
则当xA=xB=xC=xD=0时,桌子的四个脚同时着地。
2.如何用数学的语言描述让桌子的四脚着地?
定位:
方桌的对称中心O位于平面坐标原点
移动:
桌子围绕中心转动。
记为AC与X轴的夹角,则可用表示桌子移动的位置。
0.于是桌子转动时,4个桌脚与地面的距离是è的函数。
由中心对称性知,只需两个距离函数表示桌子的状态。
令f()=xA()+xC(),g()=xB()+xD()
如果在位置*桌子四脚落地,则有f(*)=g(*)=0.
根据假设2知f()和g()是连续函数,
根据假设3有f()g()0,.
根据假设1有f
(1)=g(0)和g
(1)=f(0),其中1=0+900
模型:
已知f()和g()是连续函数,f()g()0,.
若f(0)=0,g(0)>0,则存在*使得f(*)=g(*)=0。
证明:
因为f
(1)=g(0)>0,g
(1)=f(0)=0,
令h()=f()-g(),则h()连续且h(0)<0,h
(1)>0.所以,根据连续函数的介值定理知,存在*,0*1,使得f(*)=g(*)=0。
问题:
1.将例4的假设1改为“桌子的四条腿等长,四脚连线呈平面长方形ABCD”,试构造数学模型证实结论同样成立。
2.小王早上8:
00从A城出发于下午5:
00到达B城。
次日早上8:
00他又从B城出发沿原路返回并于下午5:
00准时到达A城。
试用数学模型说明A、B城之间定有一个位置,小王在往返A、B二城的途中于相同的时间到达该位置。
例3:
交通路口红绿灯
十字路口绿灯亮30秒,最多可以通过多少辆汽车?
假设
1.车辆相同,从静止开始做匀加速运动。
2.车距相同,启动延迟时间相等。
3.直行,不拐弯,单侧,单车道。
4.秩序良好,不堵车。
参数,变量:
车长L,车距D,加速度a,启动延迟T,在时刻t第n辆车的位置Sn(t)
用数轴表示车辆行驶道路,数轴的正向为汽车行驶方向,数轴原点为红绿灯的位置。
于是,当Sn(30)>0时,表明在第30秒第n辆车已通过红绿灯,否则,结论相反。
模型
1.停车位模型:
Sn(0)=–(n-1)(L+D)
2.启动时间模型:
tn=(n-1)T
3.行驶模型:
Sn(t)=Sn(0)+1/2a(t-tn)2,t>tn
参数估计L=5m,D=2m,T=1s,a=2m/s
解:
Sn(30)=-7(n-1)+(30-(n-1))2>0得n19且t19=18<30=t成立。
答案:
最多19辆车通过路口.
改进:
考虑到城市车辆的限速,在匀加速运动启动后,达到最高限速后,停止加速,按最高限速运动穿过路口。
最高限速:
校园内v*=15公里/小时=4米/秒,长安街上v*=40公里/小时=11米/秒,环城路上v*=60公里/小时=17米/秒
取最高限速v*=11m/s,达到最高限速时间tn*=v*/a+tn=5.5+n-1
限速行驶模型:
Sn(t)=Sn(0)+1/2a(tn*–tn)2+v*(t-tn*),t>tn*
=Sn(0)+1/2a(t-tn)2,tn*>t>tn
=Sn(0)tn>t
解:
Sn(30)=-7(n-1)+(5.5)2+11(30-5.5-(n-1))>0得n17且t17*=5.5+16=21.5<30=t成立。
结论:
该路口最多通过17辆汽车.
问题
1.调查一个路口有关红绿灯的数据验证模型是否正确。
10.调查的位置,走向,车道数,时间。
调查数据(至少三次):
绿灯时间,通过的车数。
分析数据不同的原因。
20.分析模型的假设与实际是否一致;模型的参数与实际是否一致。
30.分析模型的计算结果与观测结果是否一致?
为什么?
不一致时,如何修改模型。
2.分析绿灯亮后,汽车开始以最高限速穿过路口的时间。
3.给出穿过路口汽车的数量n随时间t变化的数学模型。
例4:
人员疏散
建模分析意外事件发生时建筑物内的人员疏散所用的时间。
假设
1.有一排k间教室,走道只有一个出口。
2.人员撤离时,有序、单行、(间隔)均匀、匀速。
3.室内人员排成一队列的时间不计,第一个人到达教室门口的时间不计(t0=0)。
参数:
第k间教室人数为nk+1,教室距离为Lk,门宽为D,行进速度为v,人体间隔为d。
如果只有第k间教室有人需要撤离,第k间教室疏散时间为Tk
模型
K=1情形:
T1=(n1d+L1)/v
K=2情形:
当第二间教室人不需等待时,即(L2+D)(n1+1)d,T12=T2=(n2d+L1+L2+D)/v,
当第二间教室人需要等待时,即(L2+D)<(n1+1)d,等待时间T=(n1+1)d/v-(L2+D)/v,
T12=T2+T=[(n1+n2+1)d+L1]/v,
讨论
模型:
T=(nd+L)/v,
分析:
v↗,则T↘;d↗,则T↗.
令d=0,则有T=L/v。
疏散时间与人数无关!
?
假设中忽略了人体的厚度!
!
补充假设4.人体厚度相同w
模型T=(n(d+w)+L)/v,
分析若d=0,则T=(nw+L)/v合理吗?
继续补充假设5.速度与间隔有关v=v(d)
模型T=[n(d+w)+L]/v(d),
其中v=v(d)应满足v(d)是d的单调非减函数,v(0)=0且当d充分大时,v=vmax.
结论:
存在间隔d*和相应的速度v*,使得疏散的时间最短。
讨论:
1.给出函数v(d)应满足的一个充分条件,保证存在唯一的间隔d*,使得疏散的时间最短。
2.通过实验观测给出函数v(d).
观测数据:
间隔d(厘米)—运动速度v(米/秒)
拟合函数
问题
1.如果n=400,L=30m,w=0.2m,求最短的疏散时间。
2.给出当K=3时的人员疏散模型.
五.建模要点
1.明确研究目标,力图从实际问题中归纳出所采用的假设和解题线索;
2.用假设简化问题,在实际与数学简化之间选择恰当的平衡点,这是建模成功与否的关键,体现了建模工作的想象力和创造力;
3.进行正确的推理,在无法进行严格的数学推导时,可以使用“不严格”的数学,代之以对问题的分析,归纳,类比,猜测,尝试,事后检验;
4.尽量使用实际资料检验数学结果,并用恰当的学科语言表达数学结果。
5.在建模中,数学决不仅仅是工具,要从所作的数学推导和所得到的数学结论中指出所包含的更一般的、更深刻的内在规律。
数学建模绝不仅仅以应用数学解决一个实际问题为目标,我们更希望揭示基本自然规律,产生新的数学思想和方法。
六.建模过程流程