四边形难题.docx
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四边形难题
1、（06·广东省）如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．
（1）求证：
四边形AFCE是平行四边形．
（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°，上述的结论还成立吗?
若成立，请写出证明过程；
若不成立，请说明理由．
2、（06·长春市）如图，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F.
求证：
PM=QM.
3、两个全等的含
，
角的三角板
和三角板
如图所示放置，
，
，
三点在一条直线上，连结
，取
的中点
，连结
，
，试判
断
的形状，并说明理由．
4、（06·青岛市）已知：
如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：
△ADE≌△CBF；
（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？
并证明你的结论．
5、（陕西省中考）阅读下面短文：
如图①，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个：
矩形ACBD和矩形AEFB（如图②）．
（第27题图①）（第27题图②）
（第27题图③）（第27题图④）
解答问题：
（1）设图②中矩形ABCD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1_____S2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
（2）如图③，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出_____个，利用图③把它画出来．
（3）如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那符合要求的矩形可以画出____个，利用图④把它画出来．
（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？
为什么？
6、已知，如图
ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=
，对角线AC、BD交于0点，将直线AC绕点0顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F
（1）证明：
当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?
如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点0顺时针旋转的度数。
7、如图，
为正方形
边
的中点，
是
延长线上的一点，
，且交
的平分线于
．
（1）求证：
；
（2）若将上述条件中的“
为
边的中点”改为“
为
边上任意一点”，其余条件不变，则结论“
”成立吗？
如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．
1解：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°，
∴∠ADE=∠CBF=60°，
∵AE=AD，CF=CB，
∴△AED，△CFB是正三角形在ABCD中，AD=BC，DC∥=AB，
∴ED=BF，
∴ED+DC=BF+AB
即EC=AF，
又∵DC∥AB，
即EC∥AF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）上述结论还成立，
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB，AD=BC，DC∥=AB，
∴∠ADE=∠CBF，
∵AE=AD，CF=CB，
∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF，
∴∠AED=∠CFB，
又∵AD=BC，
∴△ADE≌△CBF，
∴ED=FB，
∵DC=AB，
∴ED+DC=FB+AB，
即EC=FA，
∵DC∥AB，
∴四边形EAFC是平行四边形。
2解：
在正方形ABCD中，△PBC、△QCD都是等边三角形，
∴∠QCB=∠PCD=30°．
又∵BC=CD，
∠PBC=∠QDC，
∴△EBC≌△FDC，
∴CE=CF．
又∵CQ=CD=BC=CP，
∴PF=QE，
又∵∠P=∠Q，
∠QME=∠PMF，
∴△MEQ≌△MFP，
∴PM=QM．
3解：
△EMC是等腰直角三角形；
连接AM，由题意得：
DE=AC，∠DAE+∠BAC=90°，
∴∠DAB=90°，
又∵DM=MB，
∴MA=
DB=DM，∠MAD=∠MAB=45°；
∴∠MDE=∠MAC=105°，
∴∠DMA=90°，
∴△EDM≌△CAM，
∴∠DME=∠AMC，EM=MC，
又∠DME+∠EMA=90°，
∴∠EMA+∠AMC=90°，
∴CM⊥EM，
∴△EMC是等腰直角三角形。
4
解：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠4=∠C，AD=CB，AB=CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE=
AB，CF=
CD．
∴AE=CF．
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形．
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∵AG∥BD，
∴四边形AGBD是平行四边形．
∵四边形BEDF是菱形，
∴DE=BE．
∵AE=BE，
∴AE=BE=DE．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°．
∴∠2+∠3=90°．
即∠ADB=90°．
∴四边形AGBD是矩形．
5
解：
（1）=；
（2）3，符合要求的矩形如图4所示
（3）图4中画出的矩形BCED、矩形ABFG和矩形AHIC的面积相等，
理由：
这三个矩形的面积都等于△ABC面积的2倍；
（4）以AB为边的矩形的周长最短，以BC为边的矩形的周长最长。
61.当旋转90°时，∠AOF=90°=∠BAO
∴EF∥AB（内错角相等）
又AF∥BE
∴ABEF是平行四边形
2.∵AD∥BC
∴∠FAO=∠FCO
AO=CO（平行四边形对角线互相平分）
∠AOF=∠CPE（对顶角相等）
∴△AOF≌△COE（ASA）
∴AF=CE
3.可能
∵△AOF≌△COE
∴OF=OE
∴BEDF是平行四边形（对角线互相平分）
当EF⊥BD时，BEDF是菱形（对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形）
∵AB=1，BC=√5，∠BAC=90°
∴AC=2
AO=1=AB
∴∠AOB=45°
∴∠AOF=∠BOF-∠AOB=45°
即旋转45°时四边形BEDF是菱形
7
解：
（1）证明：
取AD的中点F，连接FM．
∵∠FDM+∠DMA=∠BMN+∠DMA=90°∴∠FDM=∠BMN，
∵AF=
AD=
AB=AM=MB=DF，
∵BN平分∠CBE，
∴∠DFM=∠MBN=135°．
∵DF=MB，
在△DFM和△MBN中
∴△DFM≌△MBN．
∴DM=MN．
（2）解：
结论“DM=MN”仍成立．
证明如下：
在AD上截取AF'=AM，连接F'M．
∵DF'=AD﹣AF'，MB=AB﹣AM，AD=AB，AF'=AM，
∴DF'=MB．
∵∠F'DM+∠DMA=∠BMN+∠DMA=90°，
∴∠F'DM=∠BMN．
又∠DF'M=∠MBN=135°，
在△DF'M和△MBN中
∴△DF'M≌△MBN．
∴DM=MN．
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