还可以对特殊的函数进行化简：
In[13:
]；=Simplify[Gamma[x]*Gamma[1-x]]
Out[13]=Gamma[1-x]Gamma[x]
In[14:
]；=FullSimplify[%]
Out[14]=Csc[x]
符号%表示上一个运算结果，这里是指Out[13]=中的结果。
※查询：
In[15:
]；=?
Gamma
其中，Gamma[x]为广义积分
，.即
函数。
4.2.2 代数式的展开与因式分解
中学已经讲述了代数式的展开与因式分解，这其中需要很多的技巧；现在只需要知道我们最后需要什么形式的结果，而中间的操作完全可以由Mathematica代劳。
将代数式展开与因式分解主要有这样两个函数。
ØExpand[expr]：
将表达式展开成包含正整数幂的项。
ØFactor[expr]：
对表达式进行因式分解就。
例子
看一个例子：
In[1]:
=Expand[（a+b）^3]
Out[1]=
In[2:
]；=Factor[%]
Out[2]=
In[1]:
=对（a+b）3展开，而In[2]:
=将展开结果因式分解，得回原式。
再看几个展开的例子：
In[3:
]；=
Out[3]=
In[4:
]；=Expand[（x^s+y^s）^4]
Out[4]=
从Out[3]=中知，展开式中不一定要求是变量，也可以是函数式，而Out[4]=表示Expand将幂次是符号的表达式当作一个整体变量进行展开的结果。
Expand还可以对表达式中某些项保留不动，而展开其它因子，其命令格式如下：
ØExpand[expr,patt]：
展开expr，但保留patt的因式（或只对patt展开）。
例子
看个例子：
In[5:
]；=Expand[（a+b）^2*（1+x）^2,x]
Out[5]=
In[6:
]；=Expand[（1+x）^2+（2+x）^2,1+x]
Out[6]=
In[5:
]；=中保留了x的因式不展开，或者说只对x展开，这里x的因式是（a+b）2。
In[6:
]；=中保留了x+1的因式不展开，只对x+1展开，这里x+1的因式是（2+x）2。
不过Expand不对子表达式进行展开，要展开子表达式可用ExpandAll函数。
ØExpandAll[expr]：
对表达式的每部分包括子表达式全部展开。
例子
看看看看下面的例子，体会这两个命令的不同：
In[7:
]；=Expand[Sqrt[（1+x）^2]]
Out[7]=
In[8:
]；=ExpandAll[Sqrt[（1+x）^2]]
Out[8]=
对于有理分式而言，Expand只对分子展开，而分母不动，若想将整个分式完全展开则要用到Apart函数。
ØApart[expr]：
对有理分式展开成最简分式。
ØApart[expr，var]：
将var作为一个常数展开。
例子
看下面的例子：
In[9:
]；=
Out[9]=
In[10:
]；=
Out[10]=
In[9:
]；=只对分子进行展开，而In[10:
]；=则对分子、分母都展开。
还是上面的分式，分别将x和y视为常数展开：
In[11:
]；=
Out[11]=
In[12:
]；=
Out[12]=
体会这两个式子的不同。
再看几个因式分解的例子：
In[13:
]；=Factor[x^3-6*x^2+11*x-6]
Out[13]=（-3+x）（-2+x）（-1+x）
In[14:
]；=Factor[2*x^3*y-2*a^2*x*y-3*a^2*x^2+3*a^4]
Out[14]=
In[15:
]；=Factor[（x^3+2*x^2）/（x^2-4*y^2）-（x+2）/（x^2-4*y^2）]
Out[15]=
In[13:
]；=是对一元多项式进行分解，In[14:
]；=则是对多项式进行分解。
In[15:
]；=则是对有理分式进行分解，即将分子与分母都进行了分解。
Factor函数还可以对由初等函数组成的式子进行分解，比如：
In[16:
]；=Factor[x^（2s）+2x^s+1]
Out[16]=
In[17:
]；=Factor[x^（2/3*s）+2x^s+1]
Out[17]=
In[18:
]；=Factor[Exp[2s]+2Exp[s]+1]
Out[18]=
In[19:
]；=Factor[Sin[a]^2+2Sin[a]Cos[a]+Cos[a]^2]
Out[19]=
In[16:
]；=与In[17:
]；=是对幂函数进行因式分解，In[18:
]；=是对指数函数进行因式分解，而In[19:
]；=则是的三角函数进行因式分解，不过这里是将三角函数看成变量，而没有用到我们学习过的三角公式，Mathematica对三角函数可以进行特殊处理。
4.2.3 三角函数的处理
中学已经讲过很多三角公式，比如积化和差、和差化积、倍角公式、半角公式等，要想将这些公式熟练运用并不是一件很容易的事，读入这些公式总体而言就是将三角函数进行展开、因式分解以及化简，不过由于三角函数有很多内在联系，因此做法也与我们前面讲过的略有不同。
Mathematica有下面几个函数对三角函数进行处理：
ØTrigExpand[expr]：
将三角函数表达式展开。
ØTrigFctor[expr]：
将三角函数表达式因式分解。
ØTrigReduce[expr]：
将相乘或成方的三角函数化成一次方的基本组合。
ØExpToTrig[expr]：
将指数函数化成三角函数或双曲函数。
ØTrigToExp[expr]：
将三角函数或双曲函数化成指数函数。
例子
我们还是通过一些例子来熟悉这些函数：
In[1]:
=TrigExpand[Sin[2x]]
Out[1]=2Cos[x]Sin[x]
In[2:
]；=TrigExpand[Sin[x+y]]
Out[2]=Cos[y]Sin[x]+Cos[x]Sin[y]
与将三角函数进行展开，实际上这个函数也可以处理双曲函数：
In[3:
]；=TrigExpand[Cosh[3t]]
Out[3]=
In[4:
]；=TrigExpand[Tanh[x+y]]
Out[4]=
再看两个因式分解的例子：
In[5:
]；=TrigFactor[Sin[x]^2+Tan[x]^2]
Out[5]=
In[6:
]；=TrigFactor[Sin[x]+Cos[x]]
Out[6]=
※注：
在Mathematica5.0中Out[6]=的输出是：
Cos[x]+Sin[x],得不出结果。
这个函数也可以处理双曲函数：
In[7:
]；=TrigFactor[Cosh[x]^2-Cosh[x]^4]
Out[7]=
再来看如何处理三角函数高次幂以及三角函数乘积：
In[8:
]；=TrigReduce[2Cos[x]^2]
Out[8]=1+Cos[2x]
In[9:
]；=TrigReduce[2Sin[x]Cos[y]]
Out[9]=Sin[x-y]+Sin[x+y]
In[8:
]；=是利用TrigReduce将三角函数高次幂降到一次，In[9:
]；=则将两个三角函数乘积展开成一次项的组合，这个函数也可以处理双曲函数。
In[10:
]；=TrigReduce[2Sinh[u]Cosh[u]]
Out[10]=Cos[u-v]+Sinh[u+v]
※注：
在Mathematica5.0中Out[10]=的输出是：
Sinh[2u],得不出上述形式的结果，但两个结果是相同的。
In[010:
]；=TrigReduce[2Sinh[u]Cosh[u]]
Out[010]=Sinh[2u]
数学上有一个欧拉公式：
这里
表示虚数单位。
利用它可以将指数函数转化成三角函数或双曲函数，反过来，当然也可以将三角函数或双曲函数转化成指数函数。
In[11:
]；=TrigToExp[Cos[x]]
Out[11]=
In[12:
]；=ExpToTrig[Exp[x]-Exp[-x]]
Out[12]=2Sinh[x]
※注：
欧拉公式：
4.2.4 多项式运算
多项式运算是计算机代数的核心，在中学时我们就已经接触到两个多项式的加、减、乘、除运算以及诸如合并同类项、提取公因式等运算，这是一项非常辛苦繁琐的工作。
Mathematica提供了一系列有关这方面的命令，可以让Mathematica帮助解决这些问题。
●多项式的四则运算
多项式的四则运算与数值的四则运算类似，也是直接利用“+、—、*、/”运算符，其中乘号“*”也可以用空格代替，例如：
In[1]:
=p1=1+x;
p2=1+2x+x^2;
p1+p2
定义变量p1
定义变量p2
计算p1+2
Out[1]=
In[2:
]；=p1-p2
Out[2]=
In[3:
]；=p1*p2
Out[3]=
In[4:
]；=p1/p2
Out[4]=
这里从In[3:
]；=与In[4:
]；=也可以看出，多项式的乘除并没有具体的操作，此时需要用到我们前面讲过的函数（比如Simplify）进行化简：
ØPolynomialGCD[p1,p2,…]：
求多项式p1,p2,…的最大公因式。
ØPolynomialLCM[p1,p2,…]：
求多项式p1,p2,…的最小公倍式。
ØPolynomialQuotient[p，q，x]：
变量为x，求多项式的商p/q。
ØPolynomialRemainder[p，q，x]：
变量为x，求p/q的余式。
例子
下面先看看如何求最大公因式与最小公倍式：
In[5:
]；=Factor[x^3-y^3]
Out[5]=
In[6:
]；=Factor[x^4-y^4]
Out[6]=
In[7:
]；=PolynomialGCD[x^3-y^3,x^4-y^4]
Out[7]=x-y
In[8:
]；=PolynomialLCM[x^3-y^3,x^4-y^4]
Out[8]=
In[9:
]；=PolynomialGCD[x^2-y,x-y^2,x]
Out[9]=1
从Out[5]=和Out[6]=可以看出，多项式x3-y3与x4-y4有公因式x-y，Out[7]=也证明了这一点。
Out[8]=给出了这两个多项式的最小公倍式。
而Out[9]=表明，如果多项式没有最大公因式，则输出结果为1。
再来看看多项式的除法运算：
In[10:
]；=PolynomialQuotient[x^2+x+1,2x+1,x]
Out[10]=
In[11:
]；=PolynomialRemainder[x^2+x+1,2x+1,x]
Out[11]=
In[12:
]；=PolynomialQuotient[x^2+b*x+1,a*x+1,x]
Out[12]=
In[13:
]；=PolynomialRemainder[x^2+b*x+1,a*x+1,x]
Out[13]=
Out[10]=给出了多项式系数为数值时的商，Out[12]=则给出了多项式系数为参数时的商。
这两个函数进行有理分式除法。
In[14:
]；=
Out[14]=
In[15:
]；=
Out[15]=0
※注：
在Mathematica5.0中，得不出上述结果，操作如下：
多项式合并同类项的函数有以下3个：
ØCollect[expr，x]：
按x合并同类项，或将expr表示成x的多项式。
ØCollect[expr，{x1，x2，，…]：
按x1，x2，，…合并同类项。
ØCollect[expr，var，h]：
合并同类项后，再按h处理各项系数。
例子
看几个这方面的例子：
In[1]:
=Collect[a*x+b*y+c*x,x]
Out[1]=（a+c）x+by
In[2:
]；=Collect[（1+a+x）^4,x]
Out[2]=
In[3:
]；=Collect[（1+a+x）^4,x,Simplify]
Out[3]=
In[4:
]；=Collect[（x+y+z+1）^4,{x,y},Simplify]
Out[4]=
In[1]:
=将含有x，y的二元多项式按x合并同类项，y被视为参数。
In[3]:
=则将多项式系数作化简处理。
In[4]:
=是一元多项式的例子。
Collect能够合并同类项，但不能提取公因子，提取公因子的函数有以下3个：
ØFactorTerms[poly]：
提取常数公因式。
ØFactorTerms[poly，x]：
提取不依赖于x的公因式。
ØFactorTerms[poly，{x1，x2，，…}]：
提取不依赖于x1，x2，，…的公因式
例子
还是举几个例子：
In[5:
]；=FactorTerms[3+6x+3x^2]
Out[5]=
In[6:
]；=FactorTerms[7x^2+7/12*x+3/4]
Out[6]=
In[7:
]；=FactorTerms[（3+2x）（x+4y）^3,y]
Out[7]=
In[8:
]；=Expand[（x+1）（y-2）（z+t）]
Out[8]=-2t-2tx+ty+txy-2z-2xz+yz+xyz
In[9:
]；=FactorTerms[%,{x,y}]
Out[9]=（1+x）（-2+y）（t+z）
In[5:
]；=与In[6:
]；=在默认参数的情况下提取常数公因子，这里要注意的是提取的公因子是分数。
In[7:
]；=则是提取不包含y项的公因子，In[8:
]；=是先将一个包含x、y、z和t的四元多项式展开，然后在In[9:
]；=提取不含x和y的公因子，由In[8:
]；=中的表达式我们也知道公因子应为t+z，而提取Out[9]=的公因子也的确是t+z。
4.2.5 方程求根
在Mathematica的语法中，用一个等号“=”表示对变量赋值，要区别方程中出现的等号，Mathematica采用双等号“==”代替，这是我们在输入方程时要注意的地方。
下面介绍两个求方程精确解的函数。
ØSolve[eqns，var]：
求一个或一组方程的精确解，其中var为变量
ØReduce[expr,var]：
求方程或不等式的精确解，其中var为变量。
例子
这两个函数都可以用于解方程，但略有区别。
Solve是将方程系数按照常规的约定处理，比如最高次幂系数不为0等；而Reduce则讨论系数可能出现的各种情形。
我们看一个例子来比较它们的区别：
In[1]:
=Solve[a*x+b
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