常用数学软件教程 032 第3章 MATLAB使用基础 第2节 数值矩阵Word文档下载推荐.docx
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A=[-100;
010];
%逗号和空格等价
A
A=
-100
010
键入命令后，按回车键，不输出结果，“%…”为注释语句，不参与运算。
键入命令后，按回车键。
输出结果。
例3.2.2利用例3.2.1中的矩阵
创建一个矩阵
。
解新
中的前两行与例3.2.1中的
相同，故键入：
clear%清除内存变量
A=[A;
00i]
-1.000000
01.00000
000+1.0000i
创建复数矩阵时，除了上述方法外也可以用实数矩阵和复数矩阵相加的方法，如对于本例的矩阵，也可键入：
clear
A=[A;
000]+[000;
000;
2.创建特殊数值矩阵的指令输入法
对于某些特殊矩阵，MATLAB中设有直接的专用指令，这给它们的创建、运算，特别是给编程带来很多方便。
表3-2列出了一些创建特殊矩阵的专用指令：
表3-2
指令格式
功能
zeros（n）
zeros（m，n）
ones（n）
ones（m，n）
eye（n）
diag（a，k）
rand（n）
rand（m，n）
randn（n）
rsndn（m，n）
magic（n）
tril（a）（或triu（a））
输出n阶全零方阵
输出m×
n全零方阵
输出n阶全1方阵
n全1方阵
输出n阶单位方阵，n=1时可以省略
输出矩阵a主对角线右移k列时其元素构成的列向量，k=0时可省略
输出n阶均匀分布的随机方阵
n阶均匀分布的随机方阵
输出n阶正态分布的随机方阵
n阶正态分布的随机方阵
输出n阶魔方阵（各行、列元素及两主对角线元素的和均为（n3+n）/2）
输出矩阵a主对角线下（上）方元素构成的下（上）三角矩阵
例3.2.3创建一个3×
5阶的全零矩阵。
解键入：
zeros（3,5）
ans=
00000
例3.2.4创建一个3×
5阶的随机矩阵（元素取值在[0，1]但却无法事先确定的矩阵）。
rm=rand（3,5）
rm=
0.95010.48600.45650.44470.9218
0.23110.89130.01850.61540.7382
0.60680.76210.82140.79190.1763
矩阵赋值，变量名为rm，键入命令后，按回车键。
如果紧接着再一次键入rm=rand（3,5），得出的矩阵未必和它相同。
例3.2.5创建一个5阶魔方矩阵。
magic（5）
17241815
23571416
46132022
101219213
11182529
该方阵的各行、列元素及两主对角线元素的和都等于（n3+n）/2=（53+5）/2=65
3.变换矩阵结构的指令输入法
在编写程序和一些特殊的计算中，经常需要对已输入的矩阵结构作某种变换，即不改变矩阵中元素的总数和各元素的取值，仅使其位置发生变化，如使矩阵整体发生旋转、翻转等变换，则称为变换矩阵结构。
现将常用的几个变换矩阵结构指令列在表3-3中：
表3-3
flipud（A）
fliplr（A）
rot90（A）
rot90（A，k）
reshape（A，m，n）
输出矩阵A上下翻转后的矩阵
输出矩阵A左右翻转后的矩阵
输出矩阵A逆时针旋转
后的矩阵
输出矩阵A沿逆时针旋转k个
后的矩阵，k为正负整数
输出一个m×
n阶矩阵，它是由矩阵A的m×
n个元素重新排列构成的矩阵，重排后各元素在矩阵中的序号不变
例3.2.6使5阶魔方矩阵左右翻转。
a=fliplr（magic（5））
a=
15812417
16147523
22201364
321191210
92251811
例3.2.7将例3.2.4中的3×
5阶矩阵rm变成5×
3矩阵。
0.40570.41030.35290.13890.6038
0.93550.89360.81320.20280.2722
0.91690.05790.00990.19870.1988
reshape（rm,5,3）
0.40570.05790.2028
0.93550.35290.1987
0.91690.81320.6038
0.41030.00990.2722
0.89360.13890.1988
元素总数和各元素在矩阵中的序号（按先列后行排列的顺序号），变换前后不变。
b=[1112131415;
2122232425;
3132333435]
b=
1112131415
2122232425
3132333435
reshape（b,5,3）
113224
211334
312315
123325
221435
4.一些特殊向量（行矩阵）的创建
行（列）矩阵即向量，是矩阵的一个特例，它的创建方法和矩阵完全一样。
但是，如果它的各元素取值有一定的规律可循，这时可用下述的简便方法创建。
（1）等差数列型向量的创建。
若向量各元素的取值构成一个等差数列，有下述两种简便的创建方法。
a）增量输入法。
输入格式为：
●t=a：
h：
b或t=[a：
b]，t=（a：
b）
①输入参数a为初值，b为终值，h为公差（步长，增量），中间用冒号间隔。
②公差h可正可负，省略时，默认h=1。
③输出量t为一个等差数列：
a，a+h，a+2h，…，b*-h，b*（b*≤b且b-b*≤h）。
如键入：
t1=0:
0.2:
2.1
t1=
Columns1through7
00.20000.40000.60000.80001.00001.2000
Columns8through11
1.40001.60001.80002.0000
键入命令后，按回车键
又如键入：
t2=1:
8
t2=
12345678
输出结果
b）指令输入法。
调用格式为：
●t=linspace（a，b，n）
①输入参数a，b分别为初值和终值，即向量的第一分量和最末分量。
②输入参数n是等分（b-a）的节点数（含两端点），省略n时默认n=100。
③输入参数间的逗号不能省略。
④输出参数t为一个等差数列：
t3=linspace（1,8.5,8）
t3=
1.00002.07143.14294.21435.28576.35717.4286
Column8
8.5000
（2）等比数列型向量的创建。
下拉的各分量的取值构成等比数列时，可用对数等分指令logspace创建，调用格式为：
●q=logspace（log10（a），log10（b），n）或q=logspace（as，bf，n）
①输入参数a为等比数列的初值，b为终值，n为等按等比数列划分时的节点数。
②输出参数q是一个初值为a，终值为b的等比数列（注意，初终值不是as和bf），共有n项，公比为
③省略n时默认n=100。
④as=log10（a），bf=log10（b），log10（a）是以10为底、a的对数lga在MATLAB中的表达式。
logspace（0,1,5）
1.00001.77833.16235.623410.0000
或键入；
logspace（log10
（1）,log10（10）,5）
后项与前项的比值均等：
当矩阵各元素取值之间构成等差或等比数列时，可以把上述特殊向量的创建方法与变换矩阵结构指令结合起来使用，这给某些特殊元素较多的矩阵的输入带来很大方便。
下面的例题就用了这种方法，它的元素并不多，只是为了说明运用这种方法的原理。
例3.2.8创建矩阵
解变换矩阵d中各元素的位置可以构成一个等差数列，反过来可以先输入一个等差数列向量，通过改变结构达到要求。
据此原理键入：
rot90（reshape（1:
8,4,2）,-1）
4321
8765
8,4,2）,3）
5.创建n个分量都等于1的向量
键入g1=linspace（1，1，n），logspace（0，0，n）或ones（1，n），均可创建一个各项数值都是1的n维向量，这在绘图、编程和某些特殊计算中经常用到。
linspace（1,1,6）
111111
logspace（0,0,6）
ones（1,6）
111111
6.常数变量的赋值
常数可以看作一行一列的矩阵，也可以看作是点向量，它的赋值可以选用下述任何一种方法。
假设给变量a2，b2，c2分别赋值4，3，6，则可键入：
a2=4,b2=（3）,c2=[6]
a2=
4
b2=
3
c2=
6
3.2.3 数值矩阵元素的编辑
用一个符号代表已输入数值的矩阵的单个元素或部分元素，称为矩阵元素的标识，元素的基本标识方法如下所述。
1.矩阵元素的标识方法
（1）用符号a（p）标识已输入矩阵a中序号为p（正整数）的元素，矩阵中元素的序号是把所有元素按“先列后行”排列是的顺序号。
如3×
3矩阵元素的序号排列方法为：
147
258
369
用冒号代替p时，即a（：
）表示矩阵a中所有元素按上述规定顺序排列成的列阵。
（2）a（m，n）表示矩阵a中第m行、第n列的一个元素（m和n均为正整数），则：
a）若用冒号“：
”代替a（m，n）中的行号m（或列号n）时表示a的第n列（或第m行）所有元素构成的列阵（或行阵）。
b）若把a（m，n）中的m换成一个行阵，如m=[p，q，r]（p，q，r均为正整数），则a（m，n）=a（[p，q，r]，n）表示矩阵a中第p，q，r行、第n列元素构成的列阵。
c）若把a（m，n）中的n换成一个行阵，如n=[p，q，r]（p，q，r均为正整数），则a（m，n）=a（m，[p，q，r]）表示矩阵a中第m行、第p，q，r列元素构成的行阵。
d）若把a（m，n）中的m（或n）换成“p：
q”（p≤q），则a（p：
q，n）（或a（m，p：
q））表示矩阵a中第p到q行（或列）、第n列（或第m行）的所有元素构成的列阵（或行阵）。
e）若把a（m，n）中的m和n都换成行阵，则a（m，n）=a（[p，q，r]，[w，s]）（w，s为正整数）表示由矩阵a中第p，q，r行、第w，s列交点上元素构成的矩阵。
（3）对于三维矩阵A（相当于若干个平面矩阵一页一页的叠合，每一页表示一个平面矩阵），用A（：
，：
，n）表示第n页的平面矩阵。
例3.2.9已知
，那么变量d1=A（：
，1），d2=A（2：
3，：
），d3=A（[2，3]，[1，3]）各表示什么样的矩阵。
010;
00i];
d1=A（:
1）,d2=A（2:
3,:
）,d3=A（[2,3],[1,3]）
d1=
-1
0
d2=
d3=
00
00+1.0000i
例3.2.10已知A=reshape（1:
8.5,2,4），
，如何用A组合成B。
A=reshape（1:
8.5,2,4）
1357
2468
比较A和B可知，B的第1～4列前两行正好等于A，而后两行是把A左右翻转得到的。
B的最后一列取自A的不同元素。
据此分析可知，键入：
B=[A,[A（3）;
A
（2）];
fliplr（A）,[A
（1）;
A（4）]]
B=
13573
24682
75311
86424
2.数值矩阵的增删修改
要想对已输入矩阵的某个元素或部分元素进行修改，首先将欲修改部分加以标识，然后再对被标识部分重新赋值。
因此矩阵的增删修改，实际上就是对被修改部分元素的标识和重新赋值。
例3.2.11把例3.2.9中矩阵A增加一个第4行，其数值为1，-1，-1。
clear
A（4,:
）=[1-1-1]
1.0000-1.0000-1.0000
例3.2.12使例3.2.11中矩阵A的第2行元素全部消失。
）=[1-1-1];
A（2,:
）=[]
注意空矩阵不是零矩阵
例3.2.13使例3.2.12中矩阵A的第2列改为246，并增加一个第4列：
其数值是3，5，7。
A（4,:
）=[];
A（:
2）=[2;
4;
6];
A（:
4）=[3;
5;
7]
-1.00002.000003.0000
04.00000+1.0000i5.0000
1.00006.0000-1.00007.0000
3.2.4 数值矩阵的运算法则
（1）
MATLB对数值矩阵提供了两种不同的运算方法：
矩阵算法和数组算法。
所谓“矩阵算法”就是把每一个矩阵都看作一个整体，各种运算完全按照线性代数中的矩阵运算法则进行，运算的书写形式和元素符号都与矩阵理论中几乎完全一样。
所谓“数组算法”就是把每一个矩阵看作由其元素构成的一组数据（数组），运算是在参与运算矩阵的对应元素之间进行的数与数的运算。
这种算法方便于对大批数据的处理和一次求出多个函数值。
这里只介绍数值矩阵的“矩阵算法”，3.2.5节将介绍数值矩阵的“数组算法”。
1.数值矩阵维数的查验和矩阵的转置
（1）查验矩阵维数指令。
进行矩阵运算之前，经常要考虑矩阵的维数，所以应知道如何用指令查验矩阵的维数。
查验矩阵维数指令size的使用格式为：
size（a）或size（a，r）
a）输入参数为待查的已输入矩阵或向量。
b）输入参数r可取1或2。
当r=1时输出a的行数；
当r=2时输出a的列数。
c）省略输入参数r、仅有参数a时，输出二维向量（m，n），表示矩阵a是m×
n维。
例如，欲查验例3.2.10中矩阵B的维数，可以在指令窗中键入：
8.5,2,4）;
B=[A,[A（3）;
A（4）]];
size（B）
45
结果表明B是一个4行5列的矩阵。
若键入：
size（B（3,3））
11
这表明B（3，3）是一个一行一列的矩阵，即一个数。
（2）求矩阵共轭转置的指令。
a）使矩阵转置的指令是“’”，使用格式为A’，输出矩阵A的转置矩阵AT。
b）使矩阵变成其共轭的指令是conj，使用格式为conj（A），输出矩阵A的共轭矩阵
c）利用上述两个指令使矩阵仅发生转置的方法有以下两种：
●如果为实数矩阵，用“’”就可得到它的转置矩阵，即用A’就得出AT。
●如果为复数矩阵，用conj（A’）或conj（A）’可得出AT。
例3.2.14已知
，求
的共轭矩阵和共轭转置矩阵。
解令
，则在指令窗中键入：
a=[1i3;
9i2-i8;
748+i];
a1=conj（a）,a2=a'
a1=
1.00000-1.0000i3.0000
0-9.0000i2.0000+1.0000i8.0000
7.00004.00008.0000-1.0000i
1.00000-9.0000i7.0000
0-1.0000i2.0000+1.0000i4.0000
3.00008.00008.0000-1.0000i
※注；
在标准键盘（大键盘）中，英文格式下，按分号键“；
”右边的“‘”即可输出符号“’”
2.矩阵的加法、减法和乘法运算指令
矩阵进行加减法、乘法运算时，其运算符号分别为“+”、“-”和“*”，用这些符号把参与运算的矩阵连接起来，回车便可得出计算结果。
（1）矩阵进行加减法运算时，它们的维数必须相同，即行数、列数分别相等。
（2）两个矩阵相乘时它们的内维数必须相等，即左矩阵的列数必须等于右矩阵的行数，用a*b或指令mtimes（a，b）。
（3）进行方阵a的n次幂an运算时，输入a^n或mpower（a，n）。
这时，若整数n>
0，则输出方阵等于n个a相乘的结果；
若整数n<
0，则输出的方阵等于n个a连乘后的逆阵；
若n非整数，其数学意义属“矩阵分析”的范畴。
（4）矩阵与一个常数进行加减法运算在线性代数中是没有意义的，但在MATLAB中有如下规定：
若a为矩阵，d为常数，作a±
b的运算意义为：
a±
b*ones（size（a））
即相当于矩阵a的每一个元素都与数d进行一次加减法运算。
例3.2.15已知矩阵
，求：
a=[123;
541;
259];
b=[35;
61;
29];
c=[612;
528;
471];
...
a1=a+c,a2=a*b,a3=a*c,a4=c*a%"
..."
为续行号，表示换行
735
1069
61210
2134
4138
5496
a3=
282621
542043
737553
a4=
152637
315889
414128
例3.2.16已知
，计算方阵
的幂乘：
和
a=[1
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