最新高中数学理高考一轮复习教案28 函数与方程.docx
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最新高中数学理高考一轮复习教案28函数与方程
第八节 函数与方程
函数的零点与方程的根
（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
知识点一 函数的零点
1．函数的零点
（1）定义
对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．
（2）函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系．
方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．
（3）函数零点的判定（零点存在性定理）
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象
与x轴的交点
（x1,0），（x2,0）
（x1,0）
无交点
零点个数
2
1
0
易误提醒
1．函数y＝f（x）的零点即方程f（x）＝0的实根，易误为函数点．
2．由函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f（a）·f（b）＜0，如图所示．
所以f（a）·f（b）＜0是y＝f（x）在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
必记结论 有关函数零点的结论
（1）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点．
（2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
（3）连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
[自测练习]
1．函数y＝|log2x|－
x的零点个数是（ ）
A．0 B．1
C．2D．4
解析：
令y＝|log2x|－
x＝0，即|log2x|＝
x，在同一坐标系下作出y＝|log2x|和y＝
x的图象（图略），易知两图象有2个交点，即函数有2个零点．
答案：
C
2．（2016·东城期末）函数f（x）＝ex＋
x－2的零点所在的区间是（ ）
A.
B.
C．（1,2）D．（2,3）
解析：
∵f′（x）＝ex＋
＞0，∴f（x）在R上单调递增，又f
＝
－
＜
－
＜0，f
（1）＝e－
＞0，∴零点在区间
上．
答案：
B
知识点二 二分法
二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法．
必备方法 用二分法求函数零点的方法
用二分法求零点近似值的口诀为：
定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？
精确度上来判断．
[自测练习]
3．根据下面表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为（ ）
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
A.（1,2）B．（0,1）
C．（－1,0）D．（2,3）
解析：
本题考查二分法的应用．令f（x）＝ex－x－2，则由表中数据可得f
（1）＝2.72－3＜0，f
（2）＝7.39－4＞0，所以函数f（x）的一个零点在（1,2）上，即原方程的一个根在区间（1,2）上．
答案：
A、
考点一 判定函数零点所在区间|
1．已知函数f（x）＝
－log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（ ）
A．（0,1） B．（1,2）
C．（2,4）D．（4，＋∞）
解析：
因为f
（1）＝6－log21＝6>0，f
（2）＝3－log22＝2>0，f（4）＝
－log24＝－
<0，所以函数f（x）的零点所在区间为（2,4）．
答案 C
2．（2015·上海二模）若函数f（x）＝ax＋1在区间（－1,1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，＋∞）B．（－∞，1）
C．（－∞，－1）∪（1，＋∞）D．（－1,1）
解析：
由题意知f（－1）f
（1）＜0，即（1－a）（1＋a）＜0，解得a＜－1或a＞1.
答案：
C
3．（2015·温州十校联考）设f（x）＝lnx＋x－2，则函数f（x）的零点所在的区间为（ ）
A．（0,1）B．（1,2）
C．（2,3）D．（3,4）
解析：
法一：
∵f
（1）＝ln1＋1－2＝－1＜0，f
（2）＝ln2＞0，
∴f
（1）·f
（2）＜0，
∵函数f（x）＝lnx＋x－2的图象是连续的，
∴函数f（x）的零点所在的区间是（1,2）．
法二：
函数f（x）的零点所在的区间转化为函数g（x）＝lnx，h（x）＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，
可知f（x）的零点所在的区间为（1,2）．
答案：
B
确定函数f（x）的零点所在区间的两种常用方法
（1）利用函数零点的存在性定理：
首先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f（a）·f（b）＜0.若有，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内必有零点．
（2）数形结合法：
通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
考点二 判断函数零点个数|
（1）（2015·高考天津卷）已知函数f（x）＝
函数g（x）＝3－f（2－x），则函数y＝f（x）－g（x）的零点个数为（ ）
A．2 B．3
C．4D．5
[解析] 分别画出函数f（x），g（x）的草图，观察发现有2个交点，故选A.
[答案] A
（2）已知符号函数sgn（x）＝
则函数f（x）＝sgn（lnx）－ln2x的零点个数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
[解析] 本题考查新定义创新能力、函数零点的个数．①当lnx＞0，即x＞1时，f（x）＝1－ln2x，令1－ln2x＝0，得x＝e，即此时有一个零点；②当lnx＝0，即x＝1时，f（x）＝－ln2x，令－ln2x＝0，得x＝1，此时也有一个零点；③当lnx＜0，即0＜x＜1时，f（x）＝－1－ln2x，令－1－ln2x＝0，无解，即当0＜x＜1时，函数f（x）＝sgn（lnx）－ln2x没有零点．综上，函数f（x）＝sgn（lnx）－ln2x的零点个数为2.故选B.
[答案] B
函数零点个数的三种判断方法
（1）直接求零点：
令f（x）＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：
利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）＜0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：
画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
1．（2015·辽宁三校联考）已知函数f（x）＝2x＋x，g（x）＝log3x＋x，h（x）＝x－
的零点依次为a，b，c，则（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜a
C．c＜a＜bD．b＜a＜c
解析：
在同一坐标系下分别画出函数y＝2x，y＝log3x，y＝－
的图象，如图，观察它们与直线y＝－x的交点情况可知a＜b＜c.
答案：
A
考点三 函数零点的应用|
（2015·高考北京卷）设函数f（x）＝
（1）若a＝1，则f（x）的最小值为________；
（2）若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．
[解析]
（1）若a＝1，则f（x）＝
作出函数f（x）的图象如图所示．由图可得f（x）的最小值为－1.
（2）当a≥1时，要使f（x）恰有2个零点，需满足21－a≤0，即a≥2，所以a≥2；当a＜1时，要使f（x）恰有2个零点，需满足
，解得
≤a＜1.
综上，实数a的取值范围为
∪[2，＋∞）．
[答案]
（1）－1
（2）[
，1）∪[2，＋∞）
已知函数有零点（方程有根）求参数取值范围的三种常用的方法：
（1）直接法：
直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
（2）分离参数法：
先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
（3）数形结合法：
先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
2．已知f（x）＝|x2－1|＋x2＋kx，若关于x的方程f（x）＝0在（0,2）上有两个不相等的实根，则k的取值范围是（ ）
A．（－1,0）
B.
C.
∪（－1，＋∞）
D.
解析：
本题考查函数零点及函数与方程的关系．当x∈（0,1]时，f（x）＝1－x2＋x2＋kx＝kx＋1，此时方程f（x）＝0有一个零点－
；当x∈（1,2）时，f（x）＝g（x）＝x2－1＋x2＋kx＝2x2＋kx－1.∵g（x）＝2x2＋kx－1＝0必有一正根、一负根，∴正根一定位于区间（1,2）上，即
解得－
＜k＜－1，故选D.
答案：
D
7.转化法求解二次方程根的分布问题
【典例】 （2015·烟台莱州一中月考）若方程x2－2mx＋4＝0的两根满足一根大于2，一根小于1，则m的取值范围是________．
[思路点拨] 由条件知，构造f（x）＝x2－2mx＋4问题转化为二次函数f（x）的零点问题，数形结合写出条件可求解．
[解析] 令函数f（x）＝x2－2mx＋4，由题意可知
即
所以
即m＞
.
[答案] （
，＋∞）
[方法点评] 二次方程实数根的分布问题主要是构造二次函数之后，数形结合，从判别式Δ，对称轴与区间关系及区间端点值符号三个方面得出条件，解决时要注意逐一方面进行验证．
[跟踪练习] 方程x2－2ax＋4＝0的一根在（0,1）内，另一个根在（6,8）内，则实数a的取值范围是________．
解析：
设f（x）＝x2－2ax＋4，则
解得
＜a＜
.
答案：
A组 考点能力演练
1．f（x）是R上的偶函数，f（x＋2）＝f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x2，则函数y＝f（x）－|log5x|的零点个数为（ ）
A．4 B．5
C．8D．10
解析：
由零点的定义可得f（x）＝|log5x|，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点．
答案：
B
2．（2015·长沙模拟）若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x－a）（x－b）＋（x－b）（x－c）＋（x－c）（x－a）的两个零点分别位于区间（ ）
A．（a，b）和（b，c）内
B．（－∞，a）和（a，b）内
C．（b，c）和（c，＋∞）内
D．（－∞，a）和（c，＋∞）内
解析：
本题考查零点的存在性定理．依题意得f（a）＝（a－b）（a－c）＞0，f（b）＝（b－c）（b－a）＜0，f（c）＝（c－b）（c－a）＞0，因此由零点的存在性定理知f（x）的零点位于区间（a，b）和（b，c）内，故选A.
答案：
A
3．设函数f（x）＝ex＋2x－4，g（x）＝lnx＋2x2－5，若实数a，b分别是f（x），g（x）的零点，则（ ）
A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）
C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0
解析：
依题意，f（0）＝－3＜0，f
（1）＝e－2＞0，且函数f（x）是增函数，因此函数f（x）的零点在区间（0,1）内，即0＜a＜1.g
（1）＝－3＜0，g
（2）＝ln2＋3＞0，函数g（x）的零点在区间（1,2）内，即1＜b＜2，于是有f（b）＞f
（1）＞0.又函数g（x）在（0,1）内是增函数，因此有g（a）＜g
（1）＜0，g（a）＜0＜f（b）．选A.
答案：
A
4．若函数f（x）＝ax－x－a（a＞0且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（2，＋∞）B.
C．（1，＋∞）D．（0,1）
解析：
函数f（x）＝ax－x－a（a＞0且a≠1）有两个零点，就是函数y＝ax（a＞0且a≠1）与函数y＝x＋a（a>0且a≠1）的图象有两个交点，由图1知，当0＜a＜1时，两函数的图象只有一个交点，不符合题意；由图2知，当a＞1时，因为函数y＝ax（a＞1）的图象与y轴交于点（0,1），而直线y＝x＋a与y轴的交点一定在点（0,1）的上方，所以两函数的图象一定有两个交点，所以实数a的取值范围是a＞1.
答案：
C
5．（2015·武汉调研）设a1，a2，a3均为正数，λ1＜λ2＜λ3，则函数f（x）＝
＋
＋
的两个零点分别位于区间（ ）
A．（－∞，λ1）和（λ1，λ2）内
B．（λ1，λ2）和（λ2，λ3）内
C．（λ2，λ3）和（λ3，＋∞）内
D．（－∞，λ1）和（λ3，＋∞）内
解析：
本题考查函数与方程．利用零点存在定理求解．当x∈（λ1，λ2）时，函数图象连续，且x→λ1，f（x）→＋∞，x→λ2，f（x）→－∞，所以函数f（x）在（λ1，λ2）上一定存在零点；同理当x∈（λ2，λ3）时，函数图象连续，且x→λ2，f（x）→＋∞，x→λ3，f（x）→－∞，所以函数f（x）在（λ2，λ3）上一定存在零点，故选B.
答案：
B
6．若f（x）＝
则函数g（x）＝f（x）－x的零点为________．
解析：
求函数g（x）＝f（x）－x的零点，即求f（x）＝x的根，
∴
或
解得x＝1＋
或x＝1.
∴g（x）的零点为1＋
，1.
答案：
1＋
，1
7．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间为________．
解析：
令f（x）＝x3－2x－5，则f
（2）＝－1＜0，
f（2.5）＝2.53－10＞0.
从而下一个有根的区间为（2,2.5）．
答案：
（2,2.5）
8．已知函数f（x）＝lnx＋3x－8的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＋b＝________.
解析：
∵f
（2）＝ln2＋6－8＝ln2－2＜0，
f（3）＝ln3＋9－8＝ln3＋1＞0，
且函数f（x）＝lnx＋3x－8在（0，＋∞）上为增函数，
∴x0∈[2,3]，即a＝2，b＝3.
∴a＋b＝5.
答案：
5
9．关于x的方程mx2＋2（m＋3）x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m的取值范围．
解：
令f（x）＝mx2＋2（m＋3）x＋2m＋14，
依题意得
或
即
或
解得－
即实数m的取值范围是
.
10．设函数f（x）＝x2＋2bx＋c（c＜b＜1）的一个零点是1，且函数g（x）＝f（x）＋1也有零点．
（1）证明：
－3＜c≤－1，且b≥0；
（2）若m是函数g（x）的一个零点，试判断f（m－4）的正负并加以证明．
解：
（1）证明：
由f
（1）＝0，得b＝－
.又c＜b＜1，故c＜－
＜1，∴－3＜c＜－
.
方程f（x）＋1＝0有实根，
即方程x2＋2bx＋c＋1＝0有实根，
故Δ＝4b2－4（c＋1）≥0，即c2－2c－3≥0.
∴c≥3，或c≤－1，又－3＜c＜－
，
所以－3＜c≤－1.
又b＝－
，∴b≥0.
（2）∵f（x）＝x2＋2bx＋c＝（x－c）（x－1），且m是函数g（x）＝f（x）＋1的一个零点，
∴f（m）＝－1＜0，故c＜m＜1.
∴c－4＜m－4＜－3＜c.
∴f（m－4）＝（m－4－c）（m－4－1）＞0，
所以f（m－4）的符号为正．
B组 高考题型专练
1．（2015·高考安徽卷）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A．y＝cosxB．y＝sinx
C．y＝lnxD．y＝x2＋1
解析：
y＝cosx是偶函数，且存在零点；y＝sinx是奇函数；y＝lnx既不是奇函数又不是偶函数；y＝x2＋1是偶函数，但不存在零点．故选A.
答案：
A
2．（2015·高考天津卷）已知函数f（x）＝
函数g（x）＝b－f（2－x），其中b∈R.若函数y＝f（x）－g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
函数y＝f（x）－g（x）恰有4个零点，即方程f（x）－g（x）＝0，即b＝f（x）＋f（2－x）有4个不同的实数根，即直线y＝b与函数y＝f（x）＋f（2－x）的图象有4个不同的交点．又y＝f（x）＋f（2－x）＝
作出该函数的图象如图所示，由图可得，当
＜b＜2时，直线y＝b与函数y＝f（x）＋f（2－x）有4个交点，故选D.
答案：
D
3．（2015·高考湖北卷）函数f（x）＝4cos2
cos
－2sinx－|ln（x＋1）|的零点个数为________．
解析：
因为f（x）＝4cos2
cos
－2sinx－|ln（x＋1）|＝2（1＋cosx）sinx－2sinx－|ln（x＋1）|＝sin2x－|ln（x＋1）|，所以函数f（x）的零点个数为函数y＝sin2x与y＝|ln（x＋1）|图象的交点的个数．函数y＝sin2x与y＝|ln（x＋1）|的图象如图所示，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f（x）有2个零点．
答案：
2
4．（2015·高考湖南卷）已知函数f（x）＝
若存在实数b，使函数g（x）＝f（x）－b有两个零点，则a的取值范围是________．
解析：
令φ（x）＝x3（x≤a），h（x）＝x2（x＞a），函数g（x）＝f（x）－b有两个零点，即函数y＝f（x）的图象与直线y＝b有两个交点，结合图象（图略）可得a＜0或φ（a）＞h（a），即a＜0或a3＞a2，解得a＜0或a＞1，故a∈（－∞，0）∪（1，＋∞）．
答案：
（－∞，0）∪（1，＋∞）
5．（2014·高考江苏卷）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3）时，f（x）＝
.若函数y＝f（x）－a在区间[－3,4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是________．
解析：
当x∈[0,3）时，f（x）＝
＝
，由f（x）是周期为3的函数，作出f（x）在[－3,4]上的图象，如图．
由题意知方程a＝f（x）在[－3,4]上有10个不同的根．由图可知a∈
.
答案：
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