五年级奥数周周练 第10周 数阵 教师版答案.docx

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五年级奥数周周练第10周数阵教师版答案

第10周数阵

一、知识要点

填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。

这里，和同学们讨论一些数阵的填法。

解答数阵问题通常用两种方法：

一是待定数法，二是试验法。

待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。

试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。

把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。

二、精讲精练

【例题1】把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。

【思路导航】先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意可知：

A＋B＋C＋D＋E=35，A＋E＋B＋C＋E＋D=21×2=42。

把两式相比较可知，E=42－35=7，即中间填7。

然后再根据5＋9=6＋8便可把五个数填进方格，如图b。

练习1：

1.把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。

先把是个方格中的数用字母A、B、C、D、E、F、G、H、I、J来表示，根据题意可知：

A＋B＋C＋D＋E＋F＋G＋H＋I＋J＝55，A＋B＋C＋D＋E＋F＋G＋H＋I＋J＝60。

两式相比便可知B＝5，即中间填5，然后再根据B＋D便可知D＝7，再根据4＋8＝3＋9＝10＋2＝12便可把4、8，3、9，10、2分别填入E、F，G、H，I、J中，然后把剩下的数字1和6分别填入A和C中，如下图所示：

2.把1——9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。

3.将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。

【例题2】将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。

【思路导航】

设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1＋2＋3＋……＋10＋a＋b=30×2，即55＋a＋b=60，a＋b=5。

在1——10这十个数中1＋4=5，2＋3=5。

当a和b是1和4时，每个大圆上另外四个数分别是（2，6，8，9）和（3，5，7，10）；当a和b是2和3时，每个大圆上另外四个数分别为（1，5，9，10）和（4，6，7，8）。

练习2：

1.把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。

（1）

（2）（3）

（1）每个大圆上五个○内数的和是20；

（2）每个大圆上五个○内数的和是21；

（3）每个大圆上五个○内数的和是22。

【答案不唯一】

2.把1——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。

设横着中间的两个的圆圈的数是a、b，四边形顶点上的○内四个数之和是k，则：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+a+b=3k，55+a+b=3k，k=[（55+a+b）]÷3，要使k的值最大且为整数，a+b=17，这时k=24，由此再确定其它各个圆圈中的数。

如果a+b=8+9=17，则

如果a+b=7+10=17，则

【答案不唯一】

3.将1——8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。

把1——8分为1和8、2和7、3和6、4和5共4对填入即可。

【例题3】将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。

【思路导航】设中间三个圆内的数是a、b、c。

因为计算三条线上的和时，a、b、c都被计算了两次，根据题意可知：

1＋2＋3＋4＋5＋6＋（a＋b＋c）除以3没有余数。

1＋2＋3＋4＋5＋6=21，21÷3=7没有余数，那么a＋b＋c的和除以3也应该没有余数。

在1——6六个数中，只有4＋5＋6的和最大，且除以3没有余数，因此a、b、c分别为4、5、6。

（1＋2＋3＋4＋5＋6＋4＋5＋6）÷3=12，所以有下面的填法：

练习3：

1.将1——6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。

（1）把4、5、6填入三个顶点，这时三边的和为4+5=9，4+6=10，5+6=11，和正好相差1，3、2、1也正好相差1，因此把3、2、1分别填入即可，这时三个数的和最大是12。

如图：

（2）同理，把1、2、3填入三个顶点，这时三边的和为1+2=3，1+3=4，2+3=5，和正好相差1，6、5、4也正好相差1，因此把6、5、4分别填入即可，这时三个数的和最小是9，如图：

【答案不唯一】

2.将1——9九个数分别填入下图○内，使每边上四个○内数的和都是17。

三边：

1+5+9+2=2+4+8+3=1+6+7+3=17

3.将1——8八个数分别填入下图的○内，使每条边上三个数的和相等。

设四个角上的数是a、b、c、d，每条边上三个数的和是k，则：

1+2+3+4+5+6+7+8+a+b+c+d=4k，36+a+b+c+d=4k，9+（a+b+c+d）÷4=k，k是整数，所以四个角上的数的和是4的倍数。

如果a+b+c+d=1+2+3+6=12，k=9+3=12，其他四个数4、5、7、8，1+3+8=12，2+3+7=12，1+6+5=12，2+4+6=12，成立。

如图：

如果a+b+c+d=1+4+7+8=20，k=9+5=14，其他四个数2、3、5、6，1+5+8=14，1+6+7=14，3+4+7=14，2+4+8=14，成立。

如图：

【答案不唯一】

【例题4】将1——7分别填入下图的7个○内，使每条线段上三个○内数的和相等。

【思路导航】首先要确定中心圆内的数，设中心○内的数是a，那么，三条线段上的总和是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a=28＋2a，由于三条线段上的和相等，所以（28＋2a）除以3应该没有余数。

由于28÷3=9……1，那么2a除以3应该余2，因此，a可以为1、4或7。

当a=1时，（28＋2×1）÷3－1=9，即每条线段上其他两数的和是9，因此，有这样的填法。

练习4：

1.将1——9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。

因为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，25×2-45=5，所以，中间数填5。

2.将1——11这十一个数分别填进下图的○里，使每条线上3个○内的数的和相等。

设中间的数是a，每条线上三个数的和是k，则：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+4a=5k，66+4a=5k，当a=1时，k=（66+4）÷5=14；当a=2、3、4、5、时，k不是整数；当a=6时，k=（66+24）÷5=18；当a=7、8、9、10时，k不是整数；当a=11时，k=（66+44）÷5=22。

所以一共有3种不同的和。

如图：

3.将1——8这八个数分别填入下图○内，使外圆四个数的和，内圆四个数的和以及横行、竖行上四个数的和都等于18。

【例题5】如下图（a）四个小三角形的顶点处有六个圆圈。

如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数的和相等。

问这六个质数的积是多少？

【思路导航】设每个小三角形三个顶点处○内数的和为x。

因为中间的小三角形顶点处的数在求和时都用了三次，所以，四个小三角形顶点处数的总和是4x=20＋2x，解方程得x=10。

由此可知，每个小三角形顶点处的三个质数的和是10，这三个质数只能是2、3、5。

因此这6个质数的积是2×2×3×3×5×5=900。

如图（b）。

练习5：

1.将九个不同的自然数填入下面方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的积都相等。

设这9个数的平均数是2的不同次方值，如25，这样，每一行、每一列以及两条对角线（左上角到右下角，右上角到左下角）上的三个数的乘积都相等，是215，本题就变为了幂的和相等。

如图：

24×29×22=215，23×25×27=215，28×21×26=215，24×23×28=215，29×25×21=215，22×27×26=215，24×25×26=215，22×25×28=215，符合题意。

如图：

同理，任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等是12，15位置交换，也能成立。

底数是3、4、……，都可以。

如图：

【答案不唯一】

2.将1——9九个自然数分别填入下图的九个小三角形中，使靠近大三角形每条边上五个数的和相等，并且尽可能大。

这五个数之和最大是多少？

设每条边上的五个小三角形内的数的和都为m，其中中间三个三角形内的数字a、b、c只用到1次（如图），其他数字都用到了2次，则有（1+2+3+…+9）×2-（a+b+c）=3m，90-（a+b+c）=3m，则m=[90−（a+b+c）]÷3=30-（a+b+c）÷3，a+b+c必须能被3整除。

要使各边的5个小三角形内的数的和最大，a、b、c的值应该最小，所以a、b、c的值可以分别是1、2、3，则m=30-（1+2+3）÷3=28，据此可得到：

9+5+1+6+7=28；9+5+2+4+8=28；7+6+3+4+8=28。

如图：

另：

要使各边的5个小三角形内的数的和最小，a、b、c的值应该最大，所以a、b、c的值可以分别是7、8、9，则m=30-（7+8+9）÷3=22，据此可得到：

3+5+7+6+1=22；3+5+8+4+2=22；1+6+9+4+2=22。

如图：

3.将1——9九个数分别填入下图○内，使外三角形边上○内数之和等于里面三角形边上○内数之和。

【答案不唯一】