人教版高中数学选修21第一章常用逻辑语 同步复习教案1提高.docx

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人教版高中数学选修21第一章常用逻辑语同步复习教案1提高

常用逻辑语辅导教案

学生姓名

性别

年级

学科

数学

授课教师

上课时间

年月日

第（）次课

共（）次课

课时：

2课时

教学课题

人教版选修2-1第一章常用逻辑语同步复习教案1（提高）

教学目标

知识目标：

命题的概念和命题的构成、原命题、逆命题、否命题、逆否命题、充分条件、必要条件的概念

能力目标：

理解命题的概念和命题的构成、了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念

情感态度价值观：

激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力

教学重点与难点

1、分清命题的条件、结论和判断命题的真假

2、分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假

3、判断命题的充分条件、必要条件

教学过程

（一）命题及其关系

知识梳理

一、命题的概念与构成

1．复习回顾

初中已学过命题的知识，回顾：

什么叫做命题？

2．思考、分析

下列语句的表述形式有什么特点？

你能判断他们的真假吗？

（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点．

（2）2+4=7．

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．

（４）若x2=1,则x=1．

（５）两个全等三角形的面积相等．

（６）３能被２整除．

3．讨论、判断

总结：

所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。

其中

（1）（3）（5）的判断为真，

（2）（4）（6）的判断为假。

分析：

所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。

4．抽象、归纳

定义：

一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．

命题的定义的要点：

能判断真假的陈述句．

在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．

巩固训练

判断下列语句是否为命题？

（１）空集是任何集合的子集．

（２）若整数a是素数，则是a奇数．

（３）指数函数是增函数吗？

（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．

（５）x＞１５．

引申：

我们之前学习了很多定理、推论，这些定理、推论是否是命题？

可否举出一些定理、推论的例子来看看？

一个定理或推论都是由条件和结论两部分构成（结合所举定理和推论的例子，分辨定理和推论条件和结论，明确所有的定理、推论都是由条件和结论两部分构成）。

命题是否也是由条件和结论两部分构成呢？

5.命题的构成――条件和结论

定义：

从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”或者“如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论．

巩固训练

指出下列命题中的条件p和结论q，并判断各命题的真假．

（１）若整数a能被２整除，则a是偶数．

（２）若四边行是菱形，则它的对角线互相垂直平分．

（３）若a＞0，b＞0，则a+b＞0．

（４）若a＞0，b＞0，则a+b＜0．

（５）垂直于同一条直线的两个平面平行．

我们可以看到命题的两种情况，即有些命题的结论是正确的，而有些命题的结论是错误的，那么我们就有了对命题的一种分类：

真命题和假命题．

6．命题的分类――真命题、假命题的定义．

真命题：

如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做真命题．

假命题：

如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做假命题．

强调：

　（１）注意命题与假命题的区别．如：

“作直线AB”．这本身不是命题．也更不是假命题．

（２）命题是一个判断，判断的结果就有对错之分．因此就要引入真命题、假命题的的概念，强调真假命题的大前提，首先是命题。

7．怎样判断一个数学命题的真假？

　　（１）数学中判定一个命题是真命题，要经过证明．

（２）要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可．

巩固训练

把下列命题写成“若P，则q”的形式，并判断是真命题还是假命题：

（1）面积相等的两个三角形全等。

（2）负数的立方是负数。

（3）对顶角相等。

巩固训练

一、选择题

1．语句“若a>b，则a－c>b－2c”是（　　）

A．不是命题　B．真命题C．假命题D．不能判断真假

2．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是（　　）

A.a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0

C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c

3．设α、β、γ为两两不重合的平面，c、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：

①如果α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；

②如果m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；

③如果α∥β，c⊂α，则c∥β；

④如果α∩β＝c，β∩γ＝m，γ∩α＝n，c∥γ，则m∥n.

其中真命题个数是（　　）

A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个

二、填空题

4．下面是关于四棱柱的四个命题：

①如果有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

②如果两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

③如果四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；

④如果四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．

其中，真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）．

5．已知命题“若x1

>

”是假命题，则a满足的条件是________．

三、解答题

6．已知命题p：

|x2－x|≥6，q：

x∈Z，若p假q真，求x的值．

※7．把下列命题改写成“若p，则q”的形式．

（1）ac>bc⇒a>b；

（2）当m>

时，mx2－x＋1＝0无实根；

（3）当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0.

（4）方程x2－2x－3＝0的解为x＝3或x＝－1.

※※8、

（1）已知下列命题是真命题，求a、b满足的条件．

方程ax2＋bx＋1＝0有解．

（2）已知下列命题是假命题，若x1

>

，求a满足的条件

二、四种命题与四种命题的相互关系

1．思考、分析

问题1：

下列四个命题中，命题

（1）与命题

（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？

（1）若f（x）是正弦函数，则f（x）是周期函数．

（2）若f（x）是周期函数，则f（x）是正弦函数．

（3）若f（x）不是正弦函数，则f（x）不是周期函数．

（4）若f（x）不是周期函数，则f（x）不是正弦函数．

2．归纳总结

问题一通过分析、讨论可以得到正确结论．

紧接结合此例给出四个命题的概念，（１）和（２）这样的两个命题叫做互逆命题，（１）和（３）这样的两个命题叫做互否命题，（１）和（４）这样的两个命题叫做互为逆否命题。

3．抽象概括

定义１：

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．

举一些互逆命题的例子。

定义２：

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．

举一些互否命题的例子。

定义３：

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．

举一些互为逆否命题的例子。

小结：

（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：

（2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；

（3）交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．

强调：

原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。

4．四种命题的形式

让学生结合所举例子，思考：

若原命题为“若P，则q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？

学生通过思考、分析、比较，总结如下：

原命题：

若P，则q．则：

逆命题：

若q，则P．

否命题：

若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：

符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p）

逆否命题：

若￢q，则￢P．

巩固训练

写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假：

（1）若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；

（2）若一个整数的末位数字是０，则这个整数能被５整除；

（3）若x2=1,则x=1；

（4）若整数a是素数，则是a奇数。

5．思考、分析

结合以上练习思考：

原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？

通过此问，学生将发现：

①原命题为真，它的逆命题不一定为真。

②原命题为真，它的否命题不一定为真。

③原命题为真，它的逆否命题一定为真。

原命题为假时类似。

例题：

结合以上练习完成下列表格：

原命题

逆命题

否命题

逆否命题

真

真

假

真

假

真

假

假

由表格学生可以发现：

原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．

由此会引起我们的思考：

一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢？

让学生结合所做练习分析原命题与它的逆命题、否命题与逆否命题四种命题间的关系．

学生通过分析，将发现四种命题间的关系如下图所示：

6．总结归纳

若P，则q．

若q，则P．

原命题

互逆

逆命题

互

否

互

为

否

逆

互

否

为

互

逆

否

否命题

逆否命题

互逆

若￢P，则￢q．

若￢q，则￢P．

由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

例题精讲

【例4】证明：

若p2＋q2＝2，则p＋q≤2．

分析：

如果直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明。

将“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”视为原命题，要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题“若p+q＞2，则p2+q2≠2”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的．

证明：

若p＋q＞2，则

　　p2＋q2　　＝

［（p－q）2＋（p＋q）2］≥

（p＋q）2＞

×２２＝２

所以p2＋q2≠2．

这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。

巩固训练：

证明：

若a2－b2＋２a－４b－３≠０，则a－b≠１．

巩固训练

一、选择题

1．已知命题：

“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（　　）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

2．给出以下4个命题：

①若ab≤0，则a≤0或b≤0；②若a>b，则am2>bm2；③在△ABC中，若sinA＝sinB，则A＝B；④在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是（　　）

A．①　　　　B．②　　　　C．③　　　　D．④

3．命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是（　　）

A．若A∪B≠A，则A∩B≠B

B．若A∩B＝B，则A∪B＝A

C．若A∩B≠B，则A∪B≠A

D．若A∪B≠A，则A∩B＝B

二、填空题

4．命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是____________________；否命题是__________________，逆否命题是____________________．

5．原命题：

在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线．其逆命题为________（真、假）．

三解答题

6．写出下列命题的否定和否命题．

（1）正n（n≥3）边形的n个内角全相等；

（2）0的平方等于0.

（二）充分条件与必要条件

一、充分条件与必要条件

1．练习与思考

写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？

（1）若x＞a2+b2，则x＞2ab,

（2）若ab＝0，则a＝0.

容易得出结论；命题

（1）为真命题，命题（２）为假命题．

置疑：

对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？

答：

看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．

2．给出定义

　　命题“若p，则q”为真命题，是指由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立．换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条件p是q成立的充分条件．

　　一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可推出q，记作：

pq．

定义：

如果命题“若p，则q”为真命题，即pq,那么我们就说p是q的充分条件；q是p必要条件．

上面的命题

（1）为真命题，即

x＞a2+b2　　x＞2ab，

所以“x＞a2+b2　”是“x＞2ab”的充分条件，“x＞2ab”是“x＞a2+b2”　＂的必要条件．

例题精讲

【例1】下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？

（1）若x＝1，则x2－4x＋3＝0；

（2）若f（x）＝x，则f（x）为增函数；

（3）若x为无理数，则x2为无理数．

分析：

要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q．

【例2】下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件?

（1）若x＝y，则x2＝y2；

（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；

（3）若a＞b,则ac＞bc．

分析：

要判断q是否是p的必要条件，就要看p能否推出q．

巩固训练

一、选择题

1．b2＝ac是

＝

成立的（　　）

A．充分而不必要条件B．充要条件

C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件

2．设0

，则“xsin2x<1”是“xsinx<1”的（　　）

A．充分而不必要条件　　　B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

3．已知p：

α为第二象限角，q：

sinα>cosα，则p是q成立的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．已知a、b、c为同一平面内的非零向量，甲：

a·b＝a·c，乙：

b＝c，则（　　）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

5．设a、b是两条直线，α、β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（　　）

A．a⊥α，b∥β，α⊥β　　　B．a⊥α，b⊥β，α∥β

C．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β

二、填空题

6．若x∈R，则函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）的值恒为正的充要条件是______，恒为负的充要条件是______．

7．已知数列{an}，那么“对任意的n∈N＋，点Pn（n，an），都在直线y＝2x＋1上”是“{an}为等差数列”的________条件．

三、解答题

8．方程mx2＋（2m＋3）x＋1－m＝0有一个正根和一个负根的充要条件是什么？

※9.已知条件p：

A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，条件q：

B＝{x|x2－3（a＋1）x＋2（3a＋1）≤0}．若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．

二、充要条件

1.思考、分析

已知p：

整数a是2的倍数；q：

整数a是偶数.

请判断：

p是q的充分条件吗？

p是q的必要条件吗？

分析：

要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．

易知：

pq，故p是q的充分条件；

又qp，故p是q的必要条件．

此时,我们说,p是q的充分必要条件

2.类比归纳

一般地,如果既有pq，又有qp就记作

pq.

此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.

概括地说,如果pq,那么p与q互为充要条件.

例题精讲

【例1】下列各题中，哪些p是q的充要条件？

（1）p:

b＝0,q:

函数f（x）＝ax2＋bx＋c是偶函数；

（2）p:

x＞0,y＞0,q:

xy＞0；

（3）p:

a＞b,q:

a+c＞b+c；

（4）p:

x＞5,,q:

x＞10

（5）p:

a＞b,q:

a2＞b2

分析：

要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p．

解：

命题（１）和（３）中，pq，且qp，即pq，故p是q的充要条件；

命题（２）中，pq,但q　　p，故p不是q的充要条件；

命题（４）中，pq，但qp，故p不是q的充要条件；

命题（５）中，pq，且qp，故p不是q的充要条件；

3．类比定义

一般地，

若pq,但q　　p，则称p是q的充分但不必要条件；

若pq，但q　　p，则称p是q的必要但不充分条件；

若pq，且q　　p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：

　　①若pq,但q　　p，则p是q的充分但不必要条件；

　　②若qp，但p　　q，则p是q的必要但不充分条件；

　　③若pq，且qp，则p是q的充要条件；

　　④若p　　q，且q　　p，则p是q的既不充分也不必要条件．

4．例题分析

【例1】已知：

⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：

d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．

分析：

设p：

d＝r，q：

直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性（pq）和必要性（qp）即可．

【例2】设p是r的充分而不必要条件，q是r的充分条件，r成立，则s成立．s是q的充分条件，问

（1）s是r的什么条件？

（2）p是q的什么条件？

巩固训练

一、选择题

1．若非空集合A、B、C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则（　　）

A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件

B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件

C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件

D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件，也不是“x∈A”的必要条件

2．“m＝

”是“直线（m＋2）x＋3my＋1＝0与直线（m－2）x＋（m＋2）y－3＝0互相垂直”的（　　）

A．充分必要条件B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件

3．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是（　　）

A．α，β都平行于直线l，m

B．α内有三个不共线的点到β的距离相等

C．l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥β

D．l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β

4．“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的（　　）

A．必要不充分条件B．充分不必要条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

5．条件p：

“直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的两倍”；条件q：

“直线l的斜率为－2”，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

二、填空题

6．已知三条直线l1：

x－y＝0，l2：

x＋y－2＝0，l3：

5x－ky－15＝0，则l1、l2、l3构不成三角形的充要条件是k∈集合________．

7．k>4，b<5是一次函数y＝（k－4）x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴的____________条件．

三、解答题

8．已知命题p：

|x－8|≤2，q：

>0，r：

x2－3ax＋2a2<0（a>0）．若命题r是命题p的必要不充分条件，且r是q的充分不必要条件，试求a的取值范围．

课后作业

【基础巩固】

1．设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则

①（a·b）c＝（c·a）b；②|a|－|b|>|a－b|；

③（b·c）a－（c·a）b与c垂直；④（3a＋2b）·（3a－2b）＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的有（　　）A．①②　　　B．②③　　　C．③④　　　D．②④

2．已知命题p：

“若a>b>0，则log

a

b＋1”，则命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为（　　）

A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．4

3．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

5．方程y＝a|x|与y＝x＋a（a>0）所确定的曲线有两个交点的充要条件是什么？

参考答案：

5、练习、深化

判断一个语句是不是命题，关键看两点：

第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．

（1）是

（2）是（3）不是（4）是（5）是

7、练习、深化

（1）p:

整数a能被２整除q：

a是偶数真

（2）p：

四边行是菱形q：

它的对角线互相垂直平分真

（3）p：

a＞0，b＞0q：

a+b＞0真

（4）p：

a＞0，b＞0q：

a+b＜0假

（5）p：

垂直于同一条直线的两个平面q：

这两个平面平行真

10、练习、深化

（1）若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等假

（2）若将一个负数立方，则立方后也为负数真

（3）若两个角是对顶角，则这两个角相等真

课堂练习一答案：

一、选择题

　C　B　B　

二、填空题

4　②④5　a≤0

三、解答题

6．[解析]　∵p假q真，

∴

，即

⇒

故x的取值为－1,0,1,2.

7、[解析]　

（1）若ac>bc，则a>b.

（2）若m>

，则mx2－x＋1＝0无实根

（3）若abc＝0，则a＝0或b＝0或c＝0

（4）若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1.

8、解析：

（1）∵ax2＋bx＋1＝0有解．

∴当a＝0时，bx＋1＝0有解，只有b≠0时，

方程有解x＝－

.

当a≠0时，方程为一元二次方程，有解的条件为

Δ＝b2－4a≥0.

综上，当a＝0，b≠0或a≠0，b2－4a≥0时，方程ax2＋bx＋1＝0有解．

（2）∵命题当x1

>

为假命题，

∴应有当x1

≤

.

即

≤0.

∵x1

∴x2－x1>0，x1