∴∴1≤m≤2.
答案：
[1,2]
三、解答题
8．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
（1）正数的平方根不等于0；
（2）当x＝2时，x2＋x－6＝0；
（3）对顶角相等．
解：
（1）原命题：
“若a是正数，则a的平方根不等于0”．
逆命题：
“若a的平方根不等于0，则a是正数”．
否命题：
“若a不是正数，则a的平方根等于0”．
逆否命题：
“若a的平方根等于0，则a不是正数”．
（2）原命题：
“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．
逆命题：
“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．
否命题：
“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．
逆否命题：
“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．
（3）原命题：
“若两个角是对顶角，则它们相等”．
逆命题：
“若两个角相等，则它们是对顶角”．
否命题：
“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．
逆否命题：
“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．
9．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．
（1）垂直于同一个平面的两直线平行．
（2）若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根．
（3）若ab＝0，则a＝0或b＝0.
解：
（1）逆命题：
如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面；假命题．
否命题：
如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行；假命题．
逆否命题：
如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面；真命题．
（2）逆命题：
若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0；假命题．
否命题：
若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根；假命题．
逆否命题：
若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0；真命题．
（3）逆命题：
若a＝0或b＝0，则ab＝0；真命题．
否命题：
若ab≠0，则a≠0且b≠0；真命题．
逆否命题：
若a≠0且b≠0，则ab≠0；真命题．
第一章 1.1 课时作业3
一、选择题
1．命题“若¬p，则q”是真命题，则下列命题一定是真命题的是（ ）
A．若p，则¬q B．若q，则¬p
C．若¬q，则p D．若¬q，则¬p
解析：
命题“若¬p，则q”的逆否命题为“若¬q，则p”．
答案：
C
2．有下列四个命题：
①“若x2＋y2＝0，则xy＝0”的否命题；
②“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；
③“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；
④“对顶角相等”的逆命题
其中真命题的个数是（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
解析：
（1）
假
该命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若xy＝0，则x2＋y2＝0”，为假命题．
（2）
假
该命题与其逆否命题具有相同的真假性．而该命题为假命题（如x＝0，y＝－1），故其逆否命题为假命题．
（3）
假
该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题．
（4）
假
该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题.
答案：
A
3．下列说法中正确的是（ ）
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价
C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
解析：
利用四种命题真假性关系可知D正确．
答案：
D
4．[2014·济南教学质量检测]下列有关命题的说法正确的是（ ）
A.命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：
“若xy＝0，则x≠0”
B.“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题
C.命题“任意的x∈R，都有2x2－1<0成立”为真命题
D.命题“若cosx＝cosy，则x＝y”的逆否命题为真命题
解析：
A不正确，命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：
“若xy≠0，则x≠0”；
B正确，命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然成立；
C不正确，当x＝1时，2x2－1<0不成立；
D不正确，因为命题“若cosx＝cosy，则x＝y”是假命题，所以其逆否命题也是假命题．
答案：
B
二、填空题
5．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．
解析：
原命题为真命题，其逆命题为“若A∩B≠A则A∪B≠B”，
否命题为“若A∪B＝B则A∩B＝A”，
逆否命题为“若A∩B＝A则A∪B＝B”，全为真命题．
答案：
4
6．下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；
③正方形的四条边相等；
④圆内接四边形对角互补；
⑤对角不互补的四边形不内接于圆；
⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有__________；互为否命题的有__________；互为逆否命题的有__________．
解析：
命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系，便不难判断．
答案：
③和⑥，②和④ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤
7．在空间中，①若四点不共面，则这四点中的任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________（把符合要求的命题序号都填上）．
解析：
①中的逆命题是若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体ABCD－A1B1C1D1做模型来观察：
上底面A1B1C1D1中任何三点都不共线，但A1、B1、C1、D1四点共面，所以①的逆命题不真；②中的逆命题是：
若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点．由异面直线的定义知，成异面直线的两条直线不会有公共点，所以②的逆命题是真命题．
答案：
②
三、解答题
8．命题：
已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
解：
逆命题：
已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．
否命题：
已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.
逆否命题：
已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．
9．[2013·咸阳模拟]给出命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋（2a－1）x＋a2－2≤0的解集不是空集，则a≤3”，判断其逆否命题的真假．
解：
先判断原命题的真假：
因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋（2a－1）x＋a2－2≤0的解集不是空集，则
Δ＝（2a－1）2－4（a2－2）≥0，解得a≤.
当a≤成立时，a≤3恒成立，所以原命题为真命题．
又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题是真命题．
第一章 1.2 课时作业1
一、选择题
1．“x（y－2）＝0”是“x2＋（y－2）2＝0”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
若x（y－2）＝0，则x＝0或y＝2，x2＋（y－2）2＝0不一定成立，反之，
若x2＋（y－2）2＝0，则x＝0且y＝2，一定有
x（y－2）＝0，
因此，“x（y－2）＝0”是“x2＋（y－2）2＝0”的必要而不充分条件，故选A.
答案：
A
2．“m＝1”是“函数y＝xm2－4m＋5为二次函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
当m＝1时，y＝x1－4＋5＝x2，是二次函数；反之，若y＝xm2－4m＋5为二次函数，则m2－4m＋5＝2，即m2－4m＋3＝0，
∴m＝1或m＝3，因此，“m＝1”是“y＝xm2－4m＋5为二次函数”的充分不必要条件，故选A.
答案：
A
3．函数y＝x2＋bx＋c（x∈[0，＋∞））是单调函数的充要条件是（ ）
A．b≥0 B．b≤0
C．b>0 D．b<0
解析：
由于函数y＝x2＋bx＋c的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x＝－，要使该函数在[0，＋∞）上单调，必须－≤0，即b≥0，故选A.
答案：
A
4．方程“ax2＋2x－1＝0至少有一个正实根”的充要条件是（ ）
A．－1≤a<0 B．a>－1
C．a≥－1 D．－1≤a<0或a>0
解析：
a＝0时，方程ax2＋2x－1＝0有一正根，排除A、D两项；a＝－1时，方程化为x2－2x＋1＝0，即
（x－1）2＝0，x＝1>0.
答案：
C
二、填空题
5．不等式x2－3x＋2<0成立的充要条件是________．
解析：
x2－3x＋2<0⇔（x－1）（x－2）<0⇔1答案：
16．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝__________.
解析：
由于方程都是正整数解，由判别式Δ＝16－4n≥0得“1≤n≤4”，逐个分析，当n＝1、2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1、3；当n＝4时，方程有正整数解2.
答案：
3或4
7．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件①____________；充要条件②____________.（写出你认为正确的两个充要条件）
解析：
根据平行六面体的定义和性质可知，平行六面体的两组相对侧面分别平行，反之亦成立；平行六面体的一组相对侧面平行且全等，反之亦成立；平行六面体的底面是平行四边形，反之亦成立．从中任选两个即可．
答案：
底面是平行四边形 两组相对侧面分别平行
三、解答题
8．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
解：
（1）当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；
（2）当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a<0；
若方程有两个负的实根，
则必须满足⇒0综上，若方程至少有一个负的实根，
则a≤.
反之，若a≤，则方程至少有一个负的实根．
因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤.
9．[2014·江苏省南京师大附中月考]已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q（p≠0且p≠1），求证：
数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
证明：
（充分性）当q＝－1时，a1＝S1＝p－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1（p－1），且n＝1时也成立．
于是＝＝p（p≠0且p≠1），即{an}为等比数列．
（必要性）当n＝1时，a1＝S1＝p＋q；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1（p－1）．
因为p≠0且p≠1，所以当n≥2时，＝＝p，又{an}为等比数列，∴＝p，
故＝p，即p－1＝p＋q，求得q＝－1.
综上可知，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件．
第一章 1.3 课时作业6
一、选择题
1．如果命题“p为假”，命题“p∧q”为假，那么则有（ ）
A．q为真 B．q为假
C．p∨q为真 D．p∨q不一定为真
解析：
∵p假，p∧q假，∴q可真可假，当q真时，p∨q为真；当q假时，p∨q为假．
答案：
D
2．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
p∧q是真命题⇒p是真命题，q是真命题⇒p∨q是真命题；p∨q是真命题
p∧q是真命题．
答案：
A
3．已知p：
x2－1≥－1，q：
4＋2＝7，则下列判断中，错误的是（ ）
A．p为真命题，p∧q为假命题
B．p为假命题，q为假命题
C．q为假命题，p∨q为真命题
D．p∧q为假命题，p∨q为真命题
解析：
∵p为真命题，q为假命题，
∴p且q为假命题，p或q是真命题．
答案：
D
4．给出下列命题：
①2>1或1>3；
②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；
③25是6或5的倍数；
④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：
由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；
由于方程x2－2x－4＝0的判别式大于0，所以“方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；
由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；
由于（A∩B）⊆A，（A∩B）⊆（A∪B），所以命题“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命题．
答案：
D
二、填空题
5．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的范围是__________．
解析：
x∈[2,5]或x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），
即x∈（－∞，1）∪[2，＋∞），由于命题是假命题，
所以1≤x<2，即x∈[1,2）．
答案：
[1,2）
6．“p是假命题”是“p∨q为假命题”的__________条件．
解析：
p假时，p或q不一定假，但p或q假时，p一定假，所以“p是假命题”是“p或q是假命题”的必要不充分条件．
答案：
必要不充分
7．若p：
不等式ax＋b>0的解集为{x|x>－}，q：
关于x的不等式（x－a）（x－b）<0的解集为{x|a解析：
因命题“p∧q”为真命题，所以p、q均为真命题，于是a>0，且a答案：
0三、解答题
8．写出由下列命题构成的“p∧q”“p∨q”形式的命题，并判断其真假．
（1）p：
集合中的元素是确定的，q：
集合中的元素是无序的；
（2）p：
梯形有一组对边平行，q：
梯形有一组对边平行相等．
解：
（1）“p∧q”：
集合中的元素是确定的且是无序的，真命题．
“p∨q”：
集合中的元素是确定的或是无序的，真命题．
（2）“p∧q”：
梯形有一组对边平行且有一组对边平行相等，假命题．
“p∨q”：
梯形有一组对边平行或有一组对边平行相等，真命题．
9．[2014·四川省绵阳中学期中考试]已知命题p：
对任意x∈R，函数y＝lg（x2＋m）有意义，命题q：
函数f（x）＝（5－2m）x是增函数．若p∧q为真，求实数m的取值范围．
解：
由于p∧q为真，则p真且q真．
当p为真时，即对任意x∈R，函数y＝lg（x2＋m）有意义．
即对任意x∈R，x2＋m>0恒成立，
即m>－x2恒成立，又－x2≤0，所以m>0.
当q为真时，函数f（x）＝（5－2m）x是R上的增函数，
所以有5－2m>1，解得m<2.
解不等式组得0所以实数m的取值范围是0
第一章 1.3 课时作业7
一、选择题
1．已知p：
2＋2＝5，q：
3>2，则下列判断中，错误的是（ ）
A．p∨q为真，¬q为真
B．p∧q为假，¬p为真
C．p∧q为假，¬q为假
D．p∧q为假，p∨q为真
解析：
由于p是假命题，q是真命题，所以p∨q为真，p∧q为假，¬p真，¬q假，由此可知，A不正确，故选A.
答案：
A
2．[2014·北京四中月考]若¬p∨q是假命题，则（ ）
A.p∧q是假命题 B.p∨q是假命题
C.p是假命题 D.¬q是假命题
解析：
本题主要考查含有逻辑联结词的命题的真假性判断．由于¬p∨q是假命题，则¬p与q均是假命题，所以p是真命题，¬q是真命题，所以p∧q是假命题，p∨q是真命题，故选A.
答案：
A
3．在一次射击比赛中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p：
“甲的成绩超过9环”，命题q：
“乙的成绩超过8环”，则命题“p∨（¬q）”表示（ ）
A.甲的成绩超过9环或乙的成绩超过8环
B.甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环
C.甲的成绩超过9环且乙的成绩超过8环
D.甲的成绩超过9环且乙的成绩没有超过8环
解析：
本题主要考查含有逻辑联结词的命题的意义以及在生活中的应用．¬q表示乙的成绩没有超过8环，所以命题“p∨（¬q）”表示甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环，故选B.
答案：
B
4．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，若命题p：
a∈（A∩B），则命题“¬p”是（ ）
A．a∈A
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