答案：
B
4．已知集合M＝{2，m}，N＝{1，2，3}，则“m＝3”是“M⊆N”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
若m＝3，则M＝{2，3}，显然M⊆N；但当M⊆N时，m＝1或m＝3，故“m＝3”是“M⊆N”的充分不必要条件．
答案：
A
5．设x、y是两个实数，命题：
“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是（ ）
A．x＋y＝2B．x＋y＞2
C．x2＋y2＞2D．xy＞1
答案：
B
二、填空题
6．不等式（a＋x）（1＋x）＜0成立的一个充分不必要条件是－2＜x＜－1，则a的取值范围是________．
解析：
由已知，得{x|－2＜x＜－1}{x|（x＋a）（x＋1）＜0}，
所以－a＜－2⇒a＞2.
答案：
a＞2
7．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则对于下列条件：
①α⊥β，α∩β＝l，m⊥l；
②α∩γ＝m，α⊥β，γ⊥β；
③α⊥γ，β⊥γ，m⊥α；
④n⊥α，n⊥β，m⊥α.
其中为m⊥β的充分条件的是________（将你认为正确的所有序号都填上）．
答案：
②④
8．“x＝1”是“方程x3－3x＋2＝0的根”的________条件（填“充分”“必要”）．
答案：
充分
三、解答题
9．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．那么：
（1）s是q的什么条件？
（2）r是q的什么条件？
（3）p是q的什么条件？
解：
（1）因为q⇒s，s⇒r⇒q，所以s是q的充要条件．
（2）因为r⇒q，q⇒s⇒r，所以r是q的充要条件．
（3）因为q⇒s⇒r⇒p，所以p是q的必要条件．
10．已知命题p：
α＝β；命题q：
tanα＝tanβ，判断p是q的什么条件？
解：
当α＝β＝时，显然tanα与tanβ无意义，即p⇒/q，故p不是q的充分条件；又α＝，β＝时，tanα＝tanβ，所以q⇒/p，所以p不是q的必要条件，综上，p既不是q的充分条件，也不是必要条件．
B级 能力提升
1．对任意实数a，b，c，在下列命题中，真命题是（ ）
A．“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac＞bc”是“a＞b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
答案：
B
2．“函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的一个充分条件可以是________．
答案：
a＝1（或a＝－1）
3．已知a、b为不等于0的实数，判断“＞1”是“a＞b”的什么条件，并证明你的结论．
解：
由条件“＞1”可得＞0，
若b＞0，则a＞b；
若b＜0，则a＜b，所以“＞1”
“a＞b”，
“＞1”不是“a＞b”的充分条件．
反过来，a＞b⇔a－b＞0，也不能推出＞1⇔＞0，“＞1”也不是“a＞b”的必要条件．
所以“＞1”既不是“a＞b”的充分条件，也不是“a＞b”的必要条件．
第一章常用逻辑用语
1.2充分条件与必要条件
1.2.2充要条件
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知集合A为数集，则“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
因为“A∩{0，1}＝{0}”得不出“A＝{0}”，而“A＝{0}”能得出“A∩{0，1}＝{0}”，
所以“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件．
答案：
B
2．“x2＞2013”是“x2＞2012”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
由于“x2＞2013”时，一定有“x2＞2012”，反之不成立，
所以“x2＞2013”是“x2＞2012”的充分不必要条件．
答案：
A
3．在等比数列{an}中，a1＝1，则“a2＝4”是“a3＝16”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
数列{an}中，a1＝1，a2＝4，则a3＝16成立，反过来若a1＝1，a3＝16，则a2＝±4，故不成立，所以“a2＝4”是“a3＝16”的充分不必要条件．
答案：
A
4．“m＝”是“直线（m＋2）x＋3my＋1＝0与直线（m－2）x＋（m＋2）y－3＝0互相垂直”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
解析：
（m＋2）x＋3my＋1＝0与（m－2）x＋（m＋2）y－3＝0互相垂直的充要条件是（m＋2）（m－2）＋3m（m＋2）＝0，
即（m＋2）（4m－2）＝0.
所以m＝－2，或m＝.
故为充分不必要条件．
答案：
B
5．已知条件p：
x2－3x－4≤0；条件q：
x2－6x＋9－m2≤0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ）
A．[－1，1]B．[－4，4]
C．（－∞，－4]∪[4，＋∞）D．（－∞，－1]∪[1，＋∞）
解析：
p：
－1≤x≤4，q：
3－m≤x≤3＋m（m>0）或3＋m≤x≤3－m（m<0），
依题意，或
解得m≤－4或m≥4.
答案：
C
二、填空题
6．给定空间中直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的________条件．
解析：
“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”⇔“直线l与平面α垂直”．
答案：
充要条件
7．已知α，β角的终边均在第一象限，则“α>β”是“sinα>sinβ”的________（填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）．
解析：
若α＝370°>β＝30°，而sinαβ”推不出“sinα>sinβ”，若sin30°>sin370°，而30°<370°，所以sinα>sinβ推不出α>β.
答案：
既不充分也不必要条件
8．已知p：
x2－4x－5>0，q：
x2－2x＋1－λ2>0，若p是q的充分不必要条件，则正实数λ的取值范围是________．
解析：
命题p成立，x2－4x－5>0，得x>5或x<－1；命题q成立，x2－2x＋1－λ2>0（λ>0）得x>1＋λ或x<1－λ，由于p是q的充分不必要条件，所以1＋λ≤5，1－λ≥－1，等号不能同时成立，解得λ≤2，由于λ>0，因此0<λ≤2.
答案：
（0，2]
三、解答题
9．已知条件p：
|x－1|＞a和条件q：
2x2－3x＋1＞0，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.
解：
依题意a＞0.由条件p：
|x－1|＞a得x－1＜－a，或x－1＞a，所以x＜1－a，或x＞1＋a，由条件q：
2x2－3x＋1＞0得x＜，或x＞1.
要使p是q的充分不必要条件，即“若p，则q”为真命题，逆命题为假命题，应有
解得a≥.
令a＝1，则p：
x＜0，或x＞2，
此时必有x＜，或x＞1.
即p⇒q，反之不成立．
所以，使p是q的充分不必要条件的最小正整数a＝1.
10．已知ab≠0，求证：
a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
证明：
（1）必要性．
因为a＋b＝1，所以a＋b－1＝0.
所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝（a＋b）（a2－ab＋b2）－（a2－ab＋b2）＝
（a＋b－1）（a2－ab＋b2）＝0.
（2）充分性．
因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
即（a＋b－1）（a2－ab＋b2）＝0.
又ab≠0，所以a≠0且b≠0.
因为a2－ab＋b2＝＋b2＞0.
所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0
B级 能力提升
1．已知函数f（x）＝则“a≤－2”是“f（x）在R上单调递减”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：
C
2．设集合A＝{x|x（x－1）＜0}，B＝{x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的________条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）．
解析：
由于A＝{x|0＜x＜1}，则A⊆B，所以“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．
答案：
充分不必要
3．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x||x－1|≤m}．
（1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？
若存在，求出m的范围．
（2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件？
若存在，求出m的范围．
解：
（1）由题意x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S.
由x2－8x－20≤0⇒－2≤x≤10，
所以P＝[－2，10]．
由|x－1|≤m⇒1－m≤x≤1＋m，
所以S＝[1－m，1＋m]．
要使P＝S，则
所以所以这样的m不存在．
（2）由题意x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.
由|x－1|≤m，可得1－m≤x≤m＋1，
要使S⊆P，则所以m≤3.
故m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．
第一章常用逻辑用语
1.3简单的逻辑联结词
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知命题p：
3≥3，q：
3>4，则下列判断正确的是（ ）
A．p∨q为真，p∧q为真，綈p为假
B．p∨q为真，p∧q为假，綈p为真
C．p∨q为假，p∧q为假假，綈p为假
D．p∨q为真，p∧q为假，綈p为假
解析：
因为p为真命题，q为假命题，所以p∨q为真，p∧q为假，綈p为假，应选D。
答案：
D
2．已知p，q为两个命题，则“p∨q是假命题”是“綈p为真命题”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
“p∨q”为假，则p与q均是假命题，綈p为真命题，又因为綈p为真命题，则p为假命题．但若q为真命题，则推不出p∨q是假命题．
答案：
A
3．已知p：
∅⊆{0}，q：
{1}∈{1，2}．由它们构成的新命题“p∧q”“p∨q”“綈p”中，真命题有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个D．4个
解析：
容易判断命题p：
∅⊆{0}是真命题，命题q：
{1}∈{1，2}是假命题，所以p∧q是假命题．p∨q是真命题，綈p是假命题．
答案：
A
4．已知命题p：
a2＋b2<0（a，b∈R）；命题
升级会员 