最新广东中考数学专题训练代数和几何.docx
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最新广东中考数学专题训练代数和几何
2
代数与几何综合题
类型一动点型探究题
1.如图①，已知
ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P由B出
发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，
它们的速度均为2cm/s.以AQ、PQ为边作四边形AQPD，连接DQ，交AB于点E.设运动的时间为t（单位：
s）（0＜t≤4），解答下列问题：
（1）用含有t的代数式表示AE＝____；
（2）如图②，当t为何值时，四边形AQPD为菱形；
（3）求运动过程中，四边形AQPD的面积的最大值．
第1题图
解：
（1）5－t；
【解法提示】∵在
ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，∴由勾股
定理得：
AB＝10cm，∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s，
∴BP＝2tcm，∴AP＝AB－BP＝10－2t，∵四边形AQPD为平行四边形，∴AE1
＝AP＝5－t.
AQAB
2t10
13
13
5
2
5
5
2
2
5
2
AEAC
（2）如解图①，当四边形AQPD是菱形时，DQ⊥AP，则cos∠BAC＝＝，
5－t825
即＝，解得t＝，
25
∴当t＝时，四边形AQPD是菱形；
（3）如解图②，作PM⊥AC于M，设平行四边形AQPD的面积为S.
∵PM∥BC，
∴△APM∽△ABC，
APPM10－2tPM
∴＝，即＝，
ABBC106
6
∴PM＝（5－t），
∴S＝AQ·PM＝2t·
612
（5－t）＝－t＋12t=
12
5
5
t152
（0＜t≤4），
125
∵－＜0，∴当t＝时，S有最大值，最大值为15cm
.
第1题解图
2.已知，在
ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，AB＝6，D是AB的中点，
动点E从点D出发，在AB边上向左或右运动，以CE为边向左侧作正方形CEFG，
直线BG，FE相交于点N（点E向左运动时如图①，点E向右运动时如图②）．
（1）在点E的运动过程中，直线BG与CD的位置关系为________；
（2）设DE＝x，NB＝y，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值；
（3）如图②，当DE的长度为3时，求∠BFE的度数．
第2题图
解：
（1）BG∥CD；
【解法提示】∵四边形EFGC是正方形，∴CG＝CE，∠GCE＝∠GFE＝∠FEC
＝90°，∵∠ACB＝∠GCE＝90°，∴∠GCB＝∠ECA，∵GC＝CE，CB＝CA，
∴△CAE≌△CBG.又∵∠ACB＝90°，BC＝AC，D是AB的中点，∴∠CBG＝∠CAE＝45°，∠BCD＝45°，∴∠CBG＝∠BCD，∴BG∥CD.
（2）∵CB＝CA，CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴CD＝BD＝AD＝3，∠CBA＝∠A＝45°，
易
CAE≌△CBG，
1
2
1
2
4
CD3
∴∠CBG＝∠A＝45°，
∴∠GBA＝∠GBC＋∠CBA＝90°.
∵∠BEN＋∠BNE＝90°，∠BEN＋∠CED＝90°，∴∠BNE＝∠CED，
∵∠EBN＝∠CDE＝90°，
∴△NBE∽△EDC，
BNBE
∴＝，
EDCD
y3－x
∴＝，
x3
3
∴y＝－（x－）
3
2
3
＋，
4
33
∵－＜0，∴x＝时，y的最大值为；
3
（3）如解图，作FH⊥AB于点H.∵CB＝CA，BD＝CD，∠BCA＝90°，∴CD⊥AB，CD＝BD＝AD＝3，
DE3
∴tan∠DCE＝＝，
∴∠DCE＝30°，
∵四边形EFGC是正方形，
∴EF＝EC，
∵∠CDE＝∠EHF＝90°，易证∠DCE＝∠HEF，∴△CDE≌△EHF，
∴∠DCE＝∠HEF＝30°，FH＝DE，CD＝EH，∵CD＝BD，
∴BD＝EH，
∴BH＝DE＝FH，
∴△BHF是等腰直角三角形，
∴∠BFH＝45°，∵∠EFH＝90°－∠HEF=60°，∴∠BFE＝∠BFH+∠EFH＝105°.
第2题解图
3.如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝8cm，CD＝10cm，AD
＝6cm，点E从点A出发，沿A→D→C方向运动，运动速度为2cm/s，点F
同时从点A出发，沿A→B方向运动，运动速度为1cm/s.设运动时间为t（s），
△CEF的面积为S（cm2
）．
2
2
2
2
2
2
（1）当0≤t≤3时，t＝________，EF＝10.
（2）当0≤t≤3时（如图①），求S与t的函数关系式，并化为S＝a（t－h）
＋k的形式，
指出当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？
（3）当3≤t≤8时（如图②），求S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？
第3题图
解：
（1）2；【解法提示】根据题意知，AF＝t，AE＝2t，∵∠A＝90°，∴AF
＋AE
＝EF
，即t
＋（2t）＝（10）
2
，解得：
t＝2（负值舍去）．
（2）当0≤t≤3时，如解图①，过点C作CP⊥AB，交AB延长线于点P，
第3题解图①
∵∠A＝∠D＝90°，
∴四边形APCD是矩形，
则CP＝AD＝6cm，
∵AB＝8cm，AD＝6cm，
2
2
2
2
2
2
24
2
24
2
∴BF＝（8－t）cm，DE＝（6－2t）cm，
则S＝S
梯形ABCD
－－－
AEF
CBF
CDE
1111
＝×（8＋10）×6－×t×2t－×（8－t）×6－×（6－2t）×10
＝－t＋13t
13169
＝－（t－）＋，
13169
即S＝－（t－）＋，
13
∵当t＜时，S随t的增大而增大，
∴当t＝3时，S取得最大值，最大值为30；
（3）当3≤t≤8时，如解图②，过点F作FQ⊥CD于点Q，
第3题解图②
由∠A＝∠D＝90°，知四边形ADQF是矩形，∴FQ＝AD＝6cm，
∵AD＋DE＝2t，AD＝6cm，CD＝10cm，
2
2
∴CE＝（16－2t）cm，
1
则此时S＝×（16－2t）×6＝48－6t，
∵－6＜0，
∴S随t的增大而减小，
∴当t＝3时，S取得最大值，最大值为30cm．
4.如图，在
ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D.点P
从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A
运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）①求线段CD的长；
②求证
CBD∽△ABC；
（2）
CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；
（2）是否存在某一时刻t，使
CPQ为等腰三角形？
若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．
2
2
ABC
24
AB10
24
24
（1）①解：
∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∵CD⊥AB，
11
∴＝BC·AC＝AB·CD，
BC·AC6×8
∴CD＝＝＝，
5
∴线段CD的长为；
5
②证明：
∵∠B＝∠B，∠CDB＝∠BCA＝90°，∴△CBD∽△ABC；
（2）解：
如解图②，过点P作PH⊥AC，垂足为H，由题可知DP＝t，CQ＝t，
则CP＝－t，
5
∵∠ACB＝∠CDB＝90°，
∴∠HCP＝90°－∠DCB＝∠B，
∵PH⊥AC，
∴∠CHP＝90°，
∴∠CHP＝∠ACB，
8
255
2
2255
2
55125
2
5
125
55511
24
5
2
5
2
BCAB6
55
11
∴△CHP∽△BCA，
PHPC
∴＝，
ACBA
24
PHt
∴＝5，
10
964
∴PH＝－t，
11964
∴S＝CQ·PH＝t（－t）＝
212288
－（t－）＋，
∵＜0，
5
12288
∴当t＝时，S＝；
最大
1214.424
（3）存在，t＝或或.
12
【解法提示】①若CQ＝CP，如解图①，则t＝－t.解得：
t＝；②若PQ＝
5
1
PC，如解图②所示．∵PQ＝PC，PH⊥QC，∴QH＝CH＝QC＝
t
24
tCHCP2t144
.∵△CHP∽△BCA.∴＝.∴＝，解得t＝；③若QC＝QP，如
10
24
解图③，过点Q作QE⊥CP，垂足为E，同理可得：
t＝.综上所述：
当t为
24
5
5511
2
14424
秒或秒或秒时
CPQ为等腰三角形．
第4题解图
5.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm.如果点E由点B出发沿BC
方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们
的速度分别为2cm/s和1cm/s.FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．
（1）连接EF、DQ，若四边形EQDF为平行四边形，求t的值；
（2）连接EP，
EPC的面积为ycm，求y与t的函数关系式，并求y的最大值；
（1）
EPQ
ADC相似，请直接写出t的值．
解：
（1）在矩形ABCD中，∵AB＝6cm，BC＝8cm，
∴CD＝AB＝6cm，AD＝BC＝8cm，∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝∠B＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC＝10，
∵FQ⊥BC，
∴∠FQC＝90°，
∴四边形CDFQ是矩形，
∴DF＝QC，FQ＝DC＝6cm，
由题意知，BE＝2t，QC＝DF＝t，
∴EQ＝BC－BE－QC＝8－3t，
∵四边形EQDF为平行四边形，∴FD＝EQ，
即t＝8－3t，
解得t＝2；
（2）∵∠FQC＝90°，∠B＝90°，
∴∠FQC＝∠B，
∴PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
PQQC
∴＝，
ABBC
PQt
即＝，
68
4
2
2
2
2
444
2
4
4
5739
t
CDAD68
AD
t
CD86
57
t
CDAD68
t
ADCD86
39
3
∴PQ＝t，
1
∵＝EC·PQ，
EPC
1333
∴y＝·（8－2t）·t＝－t＋3t＝－（t－2）＋3，
3
即y＝－（t－2）＋3，
3
∵a＝－＜0，
∴当t＝2时，y有最大值，y的最大值为3；
128128
（3）t的值为2或或.
【解法提示】分两种情况讨论：
若E在FQ左边，①
EPQ∽△ACD时，可
3
PQEQ48－3tPQ得：
＝，即＝，解得t＝2；②
EPQ∽△CAD时，可得：
＝
3
EQ48－3t128
，即＝，解得t＝.若E在FQ右边，③
EPQ∽△ACD时，可
3
PQEQ43t－8
得：
＝，即＝，解得t＝4（舍去）；④
EPQ∽△CAD时，可得：
3
PQEQ43t－8128
＝，即＝，解得t＝.综上所述，
EPQ与△ADC相似，则t
5739
2
2
2
128128
的值为：
2或或.
类型二动线型探究题
6.如图，
ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2cm.长为1cm的线段MN
ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A
重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts.
（1）
AMP的面积为y，写出y与t的函数关系式（写出自变量t的取值范围），并求出y的最大值；
（1）在线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？
若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；
（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形
ABC相似？
第6题图
解：
（1）当点P在AC上时，
∵AM＝t，∴PM＝AM·tan60°＝3t，13
∴y＝t·3t＝t（03
2
2
23
636
3
2
2
2
63
3
3
4
当t＝1时，y
最大
3
＝；
2
当点P在BC上时，PM＝BM·
3
tan30°＝（4－t），
13323323
∴y＝t·（4－t）＝－t＋t＝－（t－2）＋（1＜t<3），
当t＝2s时，y
综上所述，
最大
23
＝，
3
y＝
3
t，0323
－t＋t，1＜t<3
，
∴当t＝2s时，y
最大
23
＝；
3
（2）∵AC＝2，∴AB＝4，∴BN＝AB－AM－MN＝4－t－1＝3－t.
3
∴QN＝BN·tan30°＝（3－t），
由题知，若要四边形MNQP为矩形，需PM＝QN，且P，Q分别在AC，BC上，
33
即3t＝（3－t），∴t＝，
4
4
CP
3
AP
2
BQ2
3
3
3
3
2
24
3
∴当t＝s时，四边形MNQP为矩形．
3
（3）由
（2）知，当t＝s时，
四边形MNQP为矩形，此时PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC，
除此之外，当∠CPQ＝∠B＝30°时，
CQ3
△QPC∽△ABC，此时＝tan30°＝，
AM1
∵＝cos60°＝，∴AP＝2AM＝2t，
∴CP＝2－2t，
BN3BN23
∵＝cos30°＝，∴BQ＝＝（3－t），
3
2
2323t
又BC＝23，∴CQ＝23－（3－t）＝，
23t
331
∴＝，解得t＝，
2－2t
13
∴当t＝s或s时，以C，P，Q为顶点的三角形
ABC相似．
7.如图，
ABC中，AB＝AC＝
2
22
5cm，BC＝6cm，AD是BC边上的高．点P由C出发沿CA方向匀速运动．速
度为1cm/s.同时，直线EF由BC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，EF//BC，
并且EF分别交AB、AD、AC于点E，Q，F，连接PQ.若设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形BDFE是平行四边形？
（2）设四边形QDCP的面积为y（cm），求出y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使点Q在线段AP的垂直平分线上？
若存在，求出此时点F到直线PQ的距离h；若不存在，请说明理由．
第7题图
解：
（1）如解图①，连接DF，
第7题解图①
∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC，∴BD＝CD＝3，在
ABD中AD＝5－3＝4，
64
2
2
∵EF//BC，
∴△AEF∽△ABC，
EFAQ
∴＝，
BCAD
EF4－t3
∴＝，∴EF＝（4－t），
∵EF//BD，
∴当EF＝BD时，四边形EFDB是平行四边形，3
∴（4－t）＝3，
∴t＝2，
∴当t＝2s时，四边形EFDB是平行四边形；
（2）如解图②，作PN⊥AD于N，
第7题解图②
∵PN//DC，
PNAP
∴＝，
DCAC
5
2
2
2
5
2
1010
2
1010
22
PN5－t
∴＝，
35
3
∴PN＝（5－t），
11
∴y＝DC·AD－AQ·PN
13
＝6－（4－t）·（5－t）
327
＝6－（t－t＋6）
327
＝－t＋t（0＜t＜4）；
（3）存在．理由如下：
如解图③，作QN⊥AC于N，作FH⊥PQ于H.
第7题解图③
∵当QN为AP的垂直平分线时QA＝QP，QN⊥AP，11
∴AN＝NP＝AP＝（5－t），
ACAQ
2
53
3
PF
5
33
512
12
20
20
2
2
ADAN
由题意cos∠CAD＝＝，
1
（5－t）
47
∴＝，∴t＝，
4－t
7
∴当t＝s时，点Q在线段AP的垂直平分线上．
FH378425
∵sin∠FPH＝＝sin∠CAD＝，∵PA＝5－＝，AF＝AQ÷＝，
77
∴PF＝，∴FH＝.
7
∴点F到直线PQ的距离h＝（cm）．
类型三动图型探究题
8.如图①，在平行四边形ABCD中，连接BD，AD＝6cm，BD＝8cm，∠DBC
＝90°，现
AEF沿BD的方向匀速平移，速度为2cm/s，同时，点G从点D
出发，沿DC的方向匀速移动，速度为2cm/s.
AEF停止移动时，点G也停
止运动，连接AD，AG，EG，过点E作EH⊥CD于点H，如图②所示，
AEF的移动时间为t（s）（0＜t＜4）．
（1）当t＝1时，求EH的长度；
（2）若EG⊥AG，求证：
EG＝AE·HG；
（1）
AGD的面积为y（cm），当t为何值时，y可取得最大值，并求y的最大
22
值．
第8题图
解：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，又∠DBC＝90°，
∴∠ADB＝90°，
又AD＝6cm，BD＝8cm，
由勾股定理得，AB＝AD＋BD＝10cm，当t＝1时，EB＝2cm，
则DE＝8－2＝6cm，
∵EH⊥CD，∠DBC＝90°，
∴△DEH∽△DCB，
DEEH6EH
∴＝，即＝，
DCBC106
2
5
2
2
2
2
5
555
5
5
解得EH＝3.6cm；
（2）∵∠CDB＝∠AEF，
∴AE∥CD，
∴∠AEG＝∠EGH，又EG⊥AG，EH⊥CD，
∴△AGE∽△EHG，
EGAE
∴＝，
HGEG
∴EG＝AE·HG；
（3）由
（1）得
DEH∽△DCB，
DEEH8－2tEH
∴＝，即＝，
CDBC106
24－6t
解得，EH＝，
1－6t＋24t624624
∴y＝×DG×EH＝＝－t＋t＝－（t－2）＋，
24
∴当t＝2时，y的最大值为.
9.把
ABC和
DEF按如图①摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F
在同一条直线上．已知：
∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8cm，BC
＝6cm，EF＝10cm.如图②
DEF从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿CB
ABC匀速移动，
DEF移动的同时，点P
ABC的顶点A出发，以
2
5
5
2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；
（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm），试求出y的最大值；
（2）当t为何值时
APQ是等腰三角形．
第9题图
解：
（1）AP＝2t，
∵∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，
∴∠CQE＝45°＝∠DEF，∴CQ＝CE＝t，
∴AQ＝8－t，
t的取值范围是：
0≤t≤5；
4
（2）如解图①，过点P作PG⊥x轴于G，可求得AB＝10，sinB＝，PB＝10－2t，EB＝6－t，
4
∴PG＝PBsinB＝（10－2t），
∴y＝－－
ABC
PBE
QCE
2
2
52
2
2
105101365
2
13
最大值65
3
2
AHAC
8
21
2
AQAB
9
3219
1141＝×6×8－（6－t）×（10－2t）－t
2
13441344968
＝－t＋t＝－（t－）＋，
44968
∴当t＝（s）（在0≤t≤5内），y有最大值，y＝（cm）；
第9题解图
8
（3）若AP＝AQ，则有2t＝8－t解得：
t＝（s），
8－t
若AP＝PQ，如解图②：
过点P作PH⊥AC，则AH＝QH＝，PH∥BC，
APAB2t1040
∴△APH∽△ABC，∴＝，即＝，解得：
t＝（s），
8－t
2
1
若AQ＝PQ，如解图③：
过点Q作QI⊥AB，则AI＝PI＝AP＝t，
AIACt8
∵∠AIQ＝∠ACB＝90°∠A＝∠A，∴△AQI∽△ABC∴＝即＝，
8－t10
32
解得：
t＝（s），
84032
综上所述，当t＝（s）或（s）或（s）时
APQ是等腰三角形．
10.如图①，把两个
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