最新广东中考数学专题训练代数和几何.docx
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最新广东中考数学专题训练代数和几何
2
代数与几何综合题
类型一动点型探究题
1.如图①,已知
ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,点P由B出
发沿BA方向向点A匀速运动,同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,
它们的速度均为2cm/s.以AQ、PQ为边作四边形AQPD,连接DQ,交AB于点E.设运动的时间为t(单位:
s)(0<t≤4),解答下列问题:
(1)用含有t的代数式表示AE=____;
(2)如图②,当t为何值时,四边形AQPD为菱形;
(3)求运动过程中,四边形AQPD的面积的最大值.
第1题图
解:
(1)5-t;
【解法提示】∵在
ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,∴由勾股
定理得:
AB=10cm,∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为2cm/s,
∴BP=2tcm,∴AP=AB-BP=10-2t,∵四边形AQPD为平行四边形,∴AE1
=AP=5-t.
AQAB
2t10
13
13
5
2
5
5
2
2
5
2
AEAC
(2)如解图①,当四边形AQPD是菱形时,DQ⊥AP,则cos∠BAC==,
5-t825
即=,解得t=,
25
∴当t=时,四边形AQPD是菱形;
(3)如解图②,作PM⊥AC于M,设平行四边形AQPD的面积为S.
∵PM∥BC,
∴△APM∽△ABC,
APPM10-2tPM
∴=,即=,
ABBC106
6
∴PM=(5-t),
∴S=AQ·PM=2t·
612
(5-t)=-t+12t=
12
5
5
t152
(0<t≤4),
125
∵-<0,∴当t=时,S有最大值,最大值为15cm
.
第1题解图
2.已知,在
ABC中,∠ACB=90°,BC=AC,AB=6,D是AB的中点,
动点E从点D出发,在AB边上向左或右运动,以CE为边向左侧作正方形CEFG,
直线BG,FE相交于点N(点E向左运动时如图①,点E向右运动时如图②).
(1)在点E的运动过程中,直线BG与CD的位置关系为________;
(2)设DE=x,NB=y,求y与x之间的函数关系式,并求出y的最大值;
(3)如图②,当DE的长度为3时,求∠BFE的度数.
第2题图
解:
(1)BG∥CD;
【解法提示】∵四边形EFGC是正方形,∴CG=CE,∠GCE=∠GFE=∠FEC
=90°,∵∠ACB=∠GCE=90°,∴∠GCB=∠ECA,∵GC=CE,CB=CA,
∴△CAE≌△CBG.又∵∠ACB=90°,BC=AC,D是AB的中点,∴∠CBG=∠CAE=45°,∠BCD=45°,∴∠CBG=∠BCD,∴BG∥CD.
(2)∵CB=CA,CD⊥AB,∠ACB=90°,
∴CD=BD=AD=3,∠CBA=∠A=45°,
易
CAE≌△CBG,
1
2
1
2
4
CD3
∴∠CBG=∠A=45°,
∴∠GBA=∠GBC+∠CBA=90°.
∵∠BEN+∠BNE=90°,∠BEN+∠CED=90°,∴∠BNE=∠CED,
∵∠EBN=∠CDE=90°,
∴△NBE∽△EDC,
BNBE
∴=,
EDCD
y3-x
∴=,
x3
3
∴y=-(x-)
3
2
3
+,
4
33
∵-<0,∴x=时,y的最大值为;
3
(3)如解图,作FH⊥AB于点H.∵CB=CA,BD=CD,∠BCA=90°,∴CD⊥AB,CD=BD=AD=3,
DE3
∴tan∠DCE==,
∴∠DCE=30°,
∵四边形EFGC是正方形,
∴EF=EC,
∵∠CDE=∠EHF=90°,易证∠DCE=∠HEF,∴△CDE≌△EHF,
∴∠DCE=∠HEF=30°,FH=DE,CD=EH,∵CD=BD,
∴BD=EH,
∴BH=DE=FH,
∴△BHF是等腰直角三角形,
∴∠BFH=45°,∵∠EFH=90°-∠HEF=60°,∴∠BFE=∠BFH+∠EFH=105°.
第2题解图
3.如图,在直角梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,AB=8cm,CD=10cm,AD
=6cm,点E从点A出发,沿A→D→C方向运动,运动速度为2cm/s,点F
同时从点A出发,沿A→B方向运动,运动速度为1cm/s.设运动时间为t(s),
△CEF的面积为S(cm2
).
2
2
2
2
2
2
(1)当0≤t≤3时,t=________,EF=10.
(2)当0≤t≤3时(如图①),求S与t的函数关系式,并化为S=a(t-h)
+k的形式,
指出当t为何值时,S有最大值,最大值为多少?
(3)当3≤t≤8时(如图②),求S与t的函数关系式,并求出当t为何值时,S有最大值,最大值为多少?
第3题图
解:
(1)2;【解法提示】根据题意知,AF=t,AE=2t,∵∠A=90°,∴AF
+AE
=EF
,即t
+(2t)=(10)
2
,解得:
t=2(负值舍去).
(2)当0≤t≤3时,如解图①,过点C作CP⊥AB,交AB延长线于点P,
第3题解图①
∵∠A=∠D=90°,
∴四边形APCD是矩形,
则CP=AD=6cm,
∵AB=8cm,AD=6cm,
2
2
2
2
2
2
24
2
24
2
∴BF=(8-t)cm,DE=(6-2t)cm,
则S=S
梯形ABCD
---
AEF
CBF
CDE
1111
=×(8+10)×6-×t×2t-×(8-t)×6-×(6-2t)×10
=-t+13t
13169
=-(t-)+,
13169
即S=-(t-)+,
13
∵当t<时,S随t的增大而增大,
∴当t=3时,S取得最大值,最大值为30;
(3)当3≤t≤8时,如解图②,过点F作FQ⊥CD于点Q,
第3题解图②
由∠A=∠D=90°,知四边形ADQF是矩形,∴FQ=AD=6cm,
∵AD+DE=2t,AD=6cm,CD=10cm,
2
2
∴CE=(16-2t)cm,
1
则此时S=×(16-2t)×6=48-6t,
∵-6<0,
∴S随t的增大而减小,
∴当t=3时,S取得最大值,最大值为30cm.
4.如图,在
ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB于点D.点P
从点D出发,沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发,沿线段CA向点A
运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到C时,两点都停止.设运动时间为t秒.
(1)①求线段CD的长;
②求证
CBD∽△ABC;
(2)
CPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值;
(2)是否存在某一时刻t,使
CPQ为等腰三角形?
若存在,请直接写出满足条件的t的值;若不存在,请说明理由.
2
2
ABC
24
AB10
24
24
(1)①解:
∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
∴AB=10,
∵CD⊥AB,
11
∴=BC·AC=AB·CD,
BC·AC6×8
∴CD===,
5
∴线段CD的长为;
5
②证明:
∵∠B=∠B,∠CDB=∠BCA=90°,∴△CBD∽△ABC;
(2)解:
如解图②,过点P作PH⊥AC,垂足为H,由题可知DP=t,CQ=t,
则CP=-t,
5
∵∠ACB=∠CDB=90°,
∴∠HCP=90°-∠DCB=∠B,
∵PH⊥AC,
∴∠CHP=90°,
∴∠CHP=∠ACB,
8
255
2
2255
2
55125
2
5
125
55511
24
5
2
5
2
BCAB6
55
11
∴△CHP∽△BCA,
PHPC
∴=,
ACBA
24
PHt
∴=5,
10
964
∴PH=-t,
11964
∴S=CQ·PH=t(-t)=
212288
-(t-)+,
∵<0,
5
12288
∴当t=时,S=;
最大
1214.424
(3)存在,t=或或.
12
【解法提示】①若CQ=CP,如解图①,则t=-t.解得:
t=;②若PQ=
5
1
PC,如解图②所示.∵PQ=PC,PH⊥QC,∴QH=CH=QC=
t
24
tCHCP2t144
.∵△CHP∽△BCA.∴=.∴=,解得t=;③若QC=QP,如
10
24
解图③,过点Q作QE⊥CP,垂足为E,同理可得:
t=.综上所述:
当t为
24
5
5511
2
14424
秒或秒或秒时
CPQ为等腰三角形.
第4题解图
5.如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm.如果点E由点B出发沿BC
方向向点C匀速运动,同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动,它们
的速度分别为2cm/s和1cm/s.FQ⊥BC,分别交AC、BC于点P和Q,设运动时间为t(s)(0<t<4).
(1)连接EF、DQ,若四边形EQDF为平行四边形,求t的值;
(2)连接EP,
EPC的面积为ycm,求y与t的函数关系式,并求y的最大值;
(1)
EPQ
ADC相似,请直接写出t的值.
解:
(1)在矩形ABCD中,∵AB=6cm,BC=8cm,
∴CD=AB=6cm,AD=BC=8cm,∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠B=90°,在Rt△ABC中,由勾股定理得:
AC=10,
∵FQ⊥BC,
∴∠FQC=90°,
∴四边形CDFQ是矩形,
∴DF=QC,FQ=DC=6cm,
由题意知,BE=2t,QC=DF=t,
∴EQ=BC-BE-QC=8-3t,
∵四边形EQDF为平行四边形,∴FD=EQ,
即t=8-3t,
解得t=2;
(2)∵∠FQC=90°,∠B=90°,
∴∠FQC=∠B,
∴PQ∥AB,
∴△CPQ∽△CAB,
PQQC
∴=,
ABBC
PQt
即=,
68
4
2
2
2
2
444
2
4
4
5739
t
CDAD68
AD
t
CD86
57
t
CDAD68
t
ADCD86
39
3
∴PQ=t,
1
∵=EC·PQ,
EPC
1333
∴y=·(8-2t)·t=-t+3t=-(t-2)+3,
3
即y=-(t-2)+3,
3
∵a=-<0,
∴当t=2时,y有最大值,y的最大值为3;
128128
(3)t的值为2或或.
【解法提示】分两种情况讨论:
若E在FQ左边,①
EPQ∽△ACD时,可
3
PQEQ48-3tPQ得:
=,即=,解得t=2;②
EPQ∽△CAD时,可得:
=
3
EQ48-3t128
,即=,解得t=.若E在FQ右边,③
EPQ∽△ACD时,可
3
PQEQ43t-8
得:
=,即=,解得t=4(舍去);④
EPQ∽△CAD时,可得:
3
PQEQ43t-8128
=,即=,解得t=.综上所述,
EPQ与△ADC相似,则t
5739
2
2
2
128128
的值为:
2或或.
类型二动线型探究题
6.如图,
ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=2cm.长为1cm的线段MN
ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动(运动前点M与点A
重合).过M,N分别作AB的垂线交直角边于P,Q两点,线段MN运动的时间为ts.
(1)
AMP的面积为y,写出y与t的函数关系式(写出自变量t的取值范围),并求出y的最大值;
(1)在线段MN运动过程中,四边形MNQP有可能成为矩形吗?
若有可能,求出此时t的值;若不可能,说明理由;
(3)t为何值时,以C,P,Q为顶点的三角形
ABC相似?
第6题图
解:
(1)当点P在AC上时,
∵AM=t,∴PM=AM·tan60°=3t,13
∴y=t·3t=t(03
2
2
23
636
3
2
2
2
63
3
3
4
当t=1时,y
最大
3
=;
2
当点P在BC上时,PM=BM·
3
tan30°=(4-t),
13323323
∴y=t·(4-t)=-t+t=-(t-2)+(1<t<3),
当t=2s时,y
综上所述,
最大
23
=,
3
y=
3
t,0323
-t+t,1<t<3
,
∴当t=2s时,y
最大
23
=;
3
(2)∵AC=2,∴AB=4,∴BN=AB-AM-MN=4-t-1=3-t.
3
∴QN=BN·tan30°=(3-t),
由题知,若要四边形MNQP为矩形,需PM=QN,且P,Q分别在AC,BC上,
33
即3t=(3-t),∴t=,
4
4
CP
3
AP
2
BQ2
3
3
3
3
2
24
3
∴当t=s时,四边形MNQP为矩形.
3
(3)由
(2)知,当t=s时,
四边形MNQP为矩形,此时PQ∥AB,
∴△PQC∽△ABC,
除此之外,当∠CPQ=∠B=30°时,
CQ3
△QPC∽△ABC,此时=tan30°=,
AM1
∵=cos60°=,∴AP=2AM=2t,
∴CP=2-2t,
BN3BN23
∵=cos30°=,∴BQ==(3-t),
3
2
2323t
又BC=23,∴CQ=23-(3-t)=,
23t
331
∴=,解得t=,
2-2t
13
∴当t=s或s时,以C,P,Q为顶点的三角形
ABC相似.
7.如图,
ABC中,AB=AC=
2
22
5cm,BC=6cm,AD是BC边上的高.点P由C出发沿CA方向匀速运动.速
度为1cm/s.同时,直线EF由BC出发沿DA方向匀速运动,速度为1cm/s,EF//BC,
并且EF分别交AB、AD、AC于点E,Q,F,连接PQ.若设运动时间为t(s)(0<t<4),解答下列问题:
(1)当t为何值时,四边形BDFE是平行四边形?
(2)设四边形QDCP的面积为y(cm),求出y与t之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻t,使点Q在线段AP的垂直平分线上?
若存在,求出此时点F到直线PQ的距离h;若不存在,请说明理由.
第7题图
解:
(1)如解图①,连接DF,
第7题解图①
∵AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC,∴BD=CD=3,在
ABD中AD=5-3=4,
64
2
2
∵EF//BC,
∴△AEF∽△ABC,
EFAQ
∴=,
BCAD
EF4-t3
∴=,∴EF=(4-t),
∵EF//BD,
∴当EF=BD时,四边形EFDB是平行四边形,3
∴(4-t)=3,
∴t=2,
∴当t=2s时,四边形EFDB是平行四边形;
(2)如解图②,作PN⊥AD于N,
第7题解图②
∵PN//DC,
PNAP
∴=,
DCAC
5
2
2
2
5
2
1010
2
1010
22
PN5-t
∴=,
35
3
∴PN=(5-t),
11
∴y=DC·AD-AQ·PN
13
=6-(4-t)·(5-t)
327
=6-(t-t+6)
327
=-t+t(0<t<4);
(3)存在.理由如下:
如解图③,作QN⊥AC于N,作FH⊥PQ于H.
第7题解图③
∵当QN为AP的垂直平分线时QA=QP,QN⊥AP,11
∴AN=NP=AP=(5-t),
ACAQ
2
53
3
PF
5
33
512
12
20
20
2
2
ADAN
由题意cos∠CAD==,
1
(5-t)
47
∴=,∴t=,
4-t
7
∴当t=s时,点Q在线段AP的垂直平分线上.
FH378425
∵sin∠FPH==sin∠CAD=,∵PA=5-=,AF=AQ÷=,
77
∴PF=,∴FH=.
7
∴点F到直线PQ的距离h=(cm).
类型三动图型探究题
8.如图①,在平行四边形ABCD中,连接BD,AD=6cm,BD=8cm,∠DBC
=90°,现
AEF沿BD的方向匀速平移,速度为2cm/s,同时,点G从点D
出发,沿DC的方向匀速移动,速度为2cm/s.
AEF停止移动时,点G也停
止运动,连接AD,AG,EG,过点E作EH⊥CD于点H,如图②所示,
AEF的移动时间为t(s)(0<t<4).
(1)当t=1时,求EH的长度;
(2)若EG⊥AG,求证:
EG=AE·HG;
(1)
AGD的面积为y(cm),当t为何值时,y可取得最大值,并求y的最大
22
值.
第8题图
解:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,又∠DBC=90°,
∴∠ADB=90°,
又AD=6cm,BD=8cm,
由勾股定理得,AB=AD+BD=10cm,当t=1时,EB=2cm,
则DE=8-2=6cm,
∵EH⊥CD,∠DBC=90°,
∴△DEH∽△DCB,
DEEH6EH
∴=,即=,
DCBC106
2
5
2
2
2
2
5
555
5
5
解得EH=3.6cm;
(2)∵∠CDB=∠AEF,
∴AE∥CD,
∴∠AEG=∠EGH,又EG⊥AG,EH⊥CD,
∴△AGE∽△EHG,
EGAE
∴=,
HGEG
∴EG=AE·HG;
(3)由
(1)得
DEH∽△DCB,
DEEH8-2tEH
∴=,即=,
CDBC106
24-6t
解得,EH=,
1-6t+24t624624
∴y=×DG×EH==-t+t=-(t-2)+,
24
∴当t=2时,y的最大值为.
9.把
ABC和
DEF按如图①摆放(点C与点E重合),点B、C(E)、F
在同一条直线上.已知:
∠ACB=∠EDF=90°,∠DEF=45°,AC=8cm,BC
=6cm,EF=10cm.如图②
DEF从图①的位置出发,以1cm/s的速度沿CB
ABC匀速移动,
DEF移动的同时,点P
ABC的顶点A出发,以
2
5
5
2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动;当点P移动到点B时,点P停止移动,△DEF也随之停止移动.DE与AC交于点Q,连接PQ,设移动时间为t(s).
(1)用含t的代数式表示线段AP和AQ的长,并写出t的取值范围;
(2)连接PE,设四边形APEQ的面积为y(cm),试求出y的最大值;
(2)当t为何值时
APQ是等腰三角形.
第9题图
解:
(1)AP=2t,
∵∠EDF=90°,∠DEF=45°,
∴∠CQE=45°=∠DEF,∴CQ=CE=t,
∴AQ=8-t,
t的取值范围是:
0≤t≤5;
4
(2)如解图①,过点P作PG⊥x轴于G,可求得AB=10,sinB=,PB=10-2t,EB=6-t,
4
∴PG=PBsinB=(10-2t),
∴y=--
ABC
PBE
QCE
2
2
52
2
2
105101365
2
13
最大值65
3
2
AHAC
8
21
2
AQAB
9
3219
1141=×6×8-(6-t)×(10-2t)-t
2
13441344968
=-t+t=-(t-)+,
44968
∴当t=(s)(在0≤t≤5内),y有最大值,y=(cm);
第9题解图
8
(3)若AP=AQ,则有2t=8-t解得:
t=(s),
8-t
若AP=PQ,如解图②:
过点P作PH⊥AC,则AH=QH=,PH∥BC,
APAB2t1040
∴△APH∽△ABC,∴=,即=,解得:
t=(s),
8-t
2
1
若AQ=PQ,如解图③:
过点Q作QI⊥AB,则AI=PI=AP=t,
AIACt8
∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A,∴△AQI∽△ABC∴=即=,
8-t10
32
解得:
t=(s),
84032
综上所述,当t=(s)或(s)或(s)时
APQ是等腰三角形.
10.如图①,把两个