线段的垂直平分线与角平分线专题复习.docx

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线段的垂直平分线与角平分线专题复习

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知识点复习：

1、线段垂直平分线的性质

（1）垂直平分线性质定理：

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

定理的数学表示：

如图1，∵⊥，且＝

∴＝.

定理的作用：

证明两条线段相等

（2）线段关于它的垂直平分线对称.

2、线段垂直平分线的判定定理：

到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

定理的数学表示：

如图2，∵＝

∴点C在线段的垂直平分线m上.

定理的作用：

证明一个点在某线段的垂直平分线上.

3、关于线段垂直平分线性质定理的推论

（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：

三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

性质的作用：

证明三角形内的线段相等.

（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：

若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；

若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；

若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，也成立。

4、角平分线的性质定理：

角平分线的性质定理：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

定理的数学表示：

如图4，

∵是∠的平分线，F是上一点，且⊥于点C，⊥于点D，∴＝.

定理的作用：

①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；

角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.

5、角平分线性质定理的逆定理：

角平分线的判定定理：

在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.

定理的数学表示：

如图5，

∵点P在∠的内部，且⊥于C，⊥于D，且＝，

∴点P在∠的平分线上.

定理的作用：

用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线

6、关于三角形三条角平分线的定理：

（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.

定理的数学表示：

如图6，如果、、分别是△的内角∠、∠、∠的平分线，那么：

①、、相交于一点I；

②若、、分别垂直于、、于点D、E、F，则＝＝.

定理的作用：

①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.

（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：

三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.

7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：

（1）会作已知线段的垂直平分线；

（2）会作已知角的角平分线；

（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.

精品习题：

1．在△中，∠90º，是∠的平分线.已知，32，且：

5：

3，则点D到的距离为.

2．如图，在△中，4，3，平分∠，则

=（）

A．

B．

C．

　D．不能确定

3．如图，Δ的三边、、的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将Δ分为三个三角形，则S

：

S

：

S

等于.

4．如图所示，∠＝105°，若和分别垂直平分和．则∠的度数为．

5．∥，∠

，平分∠，平分∠，点P恰好在上，则与的关系是（）

A．>B．

6．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修一个超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）

A．在、两边高线的交点处

B.在、两边中线的交点处

C．在、两边垂直平分线的交点处

D.在∠A、∠B的角平分线的交点处

7．如图，是△斜边上的高，将△沿折叠，B点恰好落在的中点E处，则∠A等于（）

A．25ºB.30ºC.45ºD.60º

8．，，则有（　　）

A．垂直平分B．垂直平分

C．与互相垂直平分D．平分∠

9．如图，平分∠，⊥，⊥，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（　　）

A．B．平分∠C．D．垂直平分

10．随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（　　　）处。

A、1　　　B、2　　　　C、3　　　　　　D、4

11．在△中，∠90°，3，4，∠，∠的平分线交于P点，⊥于E点，求的长．

12．如图，△、△都是等腰直角三角形，且D在上，的延长线与交于点E，请你判断线段与有什么关系？

并说明理由.

13．如图，∠90°，，是∠的角平分线．求证：

．

14．如图，为△的角平分线，的中垂线交于点E、交的延长线于点F，于交于点O．

（1）求证：

∠3=∠B；

（2）连接，求证：

∠∠180°．

15．已知：

∠120°，平分∠，∠∠180°．

（1）如图1，当∠∠D时，求证：

；

（2）如图2，当∠B≠∠D时，猜想

（1）中的结论是否发生改变？

说明理由．

16．小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中，．

（1）小芳同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为⊥，垂足为点E，并且，你同意小德的判断吗？

为什么？

（2）设，，请用含a，b的式子表示四边形的面积．

17．如图，∥，、分别平分∠和∠，求证：

。

18．如图，平分∠，⊥，且∠∠180°，求证：

。

19．已知：

如图在△中，∠90°，，是∠的平分线，求证：