高中数学第一章三角函数52正弦函数的性质学案北师大必修40108262.docx
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高中数学第一章三角函数52正弦函数的性质学案北师大必修40108262
5.2 正弦函数的性质
内容要求 1.理解正弦函数y＝sinx，x∈R的性质（重点）.2.掌握正弦函数性质的应用（难点）．
知识点1 正弦函数的性质
函数
正弦函数y＝sinx，x∈R
图像
定义域
R
值域
[－1,1]
最值
当x＝
＋2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
当x＝－
＋2kπ（k∈Z）时，ymin＝－1
周期性
是周期函数，周期为2kπ（k∈Z，k≠0）,2π是它的最小正周期
奇偶性
奇函数，图像关于原点对称
单调性
在[－
＋2kπ，
＋2kπ]（k∈Z）上是增函数；
在[
＋2kπ，
＋2kπ]（k∈Z）上是减函数
对称轴
x＝
＋kπ，k∈Z
对称中心
（kπ，0），k∈Z
【预习评价】
（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）函数y＝sin（－x）为奇函数（√）.
（2）函数y＝sinx，x∈[－
，
]的值域是[－
，
]（×）.
（3）函数y＝sinx在[2kπ－
，2kπ]（k∈Z）上是单调递增的（√）.
（4）函数y＝sinx在第一象限内是递增的（×）.
题型一 与正弦函数有关的值域问题
【例1】 求下列函数的值域：
（1）y＝sin（2x－
），x∈[0，
]；
（2）y＝－2sin2x＋5sinx－2.
解
（1）∵0≤x≤
，∴0≤2x≤π，－
≤2x－
≤
，令2x－
＝t，则原式转化为y＝sint，t∈[－
，
]．
由y＝sint的图像知－
≤y≤1，
∴原函数的值域为[－
，1]．
（2）y＝－2sin2x＋5sinx－2＝－2（sinx－
）2＋
.
∵－1≤sinx≤1，
∴ymin＝－2×（－1）2＋5×（－1）－2＝－9，
ymax＝－2×12＋5×1－2＝1.
故函数y＝－2sin2x＋5sinx－2的值域是[－9,1]．
规律方法 1.求定义域时，常利用数形结合，根据正弦曲线写出相应方程或不等式的解集．注意灵活选择一个周期的图像．
2．求值域时，注意：
（1）利用sinx的有界性；
（2）利用y＝sinx的单调性．
【训练1】
（1）函数y＝2sinx＋1
的值域是（ ）
A．[1＋
，3]B．[1＋
，3]
C．[1－
，1＋
]D．[－1,3]
（2）设函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为
，则以下四个结论正确的是________（填序号）．
①b－a的最小值为
；
②b－a的最大值为
；
③a不可能等于2kπ－
（k∈Z）；
④b不可能等于2kπ－
（k∈Z）．
解析
（1）画出函数y＝2sinx＋1（
≤x≤
）的图像如图所示，当x＝
或x＝
时，最小值为1＋
；当x＝
，最大值为3.
（2）由图像知，b－a的最大值为
（如a＝－
，b＝
）；在b－a取最大值的情况下，固定左（或右）端点，移动右（或左）端点，必须保证取－1的最小值点在[a，b]内，所以b－a的最小值为
，b可能等于2kπ－
（k∈Z）．若a＝2kπ－
（k∈Z），则由图像可知函数的最大值为
的情况下，最小值不可能为－1.所以a不可能等于2kπ－
（k∈Z）．
答案
（1）B
（2）①②③
题型二 正弦函数的周期性与奇偶性
【例2】 求下列函数的周期：
（1）y＝sin
x；
（2）y＝|sinx|.
解
（1）∵sin
＝sin
＝sin
x，∴sin
x的周期是4π.
（2）作出y＝|sinx|的图像，如图．
故周期为π.
规律方法 1.求正弦函数的周期时要注意结合图像判断，不要盲目套用结论．
2．函数y＝sinx为奇函数时其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性．如y＝sinx，x∈[0,2π]是非奇非偶函数．
【训练2】 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝xsinx；
（2）f（x）＝|sinx|＋1.
解
（1）∵x∈R，且关于原点对称，
又f（－x）＝－xsin（－x）＝xsinx＝f（x），
∴f（x）为偶函数．
（2）∵x∈R，且关于原点对称，又f（－x）＝|sin（－x）|＋1＝f（x），
∴f（x）为偶函数．
方向1 利用正弦函数的单调性比较大小
【例3－1】 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
（1）sin196°与cos156°；
（2）sin1，sin2，sin3.
解
（1）sin196°＝sin（180°＋16°）＝－sin16°，
cos156°＝cos（180°－24°）＝－cos24°＝－sin66°，
∵0°<16°<66°<90°，∴sin16°从而－sin16°>－sin66°，即sin196°>cos156°.
（2）∵1<
<2<3<π，sin（π－2）＝sin2，sin（π－3）＝sin3.
0<π－3<1<π－2<
且y＝sinx在
上递增，
∴sin（π－3）方向2 求函数的单调区间
【例3－2】 求函数y＝－sinx＋3的单调区间．
解 ∵y＝－sinx＋3与y＝sinx的增减性相反．
而y＝sinx的增区间是
（k∈Z），减区间是
（k∈Z）．
∴函数y＝－sinx＋3的单调增区间是
（k∈Z），单调减区间为
（k∈Z）．
方向3 求复合函数的单调区间
【例3－3】 求函数y＝log
sinx的单调递增区间．
解 由sinx＞0得2kπ＜x＜2kπ＋π，k∈Z，
∵0<
＜1，
∴函数y＝log
sinx的递增区间即为u＝sinx＞0的递减区间．
∴2kπ＋
≤x＜2kπ＋π，k∈Z.
故函数y＝log
sinx的递增区间即为
（k∈Z）．
规律方法 1.用正弦函数的单调性来比较大小时，应先将异名化同名，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．
2．求正弦函数的单调区间有二种方法：
一是利用y＝sinx的单调区间，进行代换，解不等式；二是画图像，从图像上观察，注意定义域，单调区间不能随便并起来.
课堂达标
1．函数f（x）＝sin
的一个递减区间是（ ）
A.
B．[－π，0]
C.
D.
解析 由
≤x＋
≤
π，
解得
≤x≤
π.故选D.
答案 D
2．下列函数中是奇函数的是（ ）
A．y＝－|sinx|B．y＝sin（－|x|）
C．y＝sin|x|D．y＝xsin|x|
解析 利用定义，显然y＝xsin|x|是奇函数．
答案 D
3．若函数f（x）＝sin2x＋a－1是奇函数，则a＝________.
解析 由奇函数的定义f（－x）＝－f（x）得a＝1.
答案 1
4．函数y＝|sinx|的值域是________．
解析 作出函数y＝|sinx|的图像（图像略）可知．
答案 [0,1]
5．求函数y＝3－2sin
x的最值及取到最值时的自变量x的集合．
解 ∵－1≤sin
x≤1，
∴当sin
x＝－1，
x＝2kπ－
，k∈Z，
即x＝4kπ－π，k∈Z，ymax＝5，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ－π，k∈Z}；
当sin
x＝1，
x＝2kπ＋
，k∈Z，
即x＝4kπ＋π，k∈Z时，ymin＝1，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}．
课堂小结
1．求正弦函数在给定区间[a，b]上的值域时，要注意结合图像判断在[a，b]上的单调性及有界性．
2．利用正弦函数的单调性比较函数值的大小时，需利用诱导公式将角转化到正弦函数的同一个单调区间内．
3．观察正弦曲线不难发现：
（1）正弦曲线是中心对称图形，对称中心的坐标为（kπ，0）（k∈Z），即正弦曲线和x轴的交点，原点是其中的一个．
（2）正弦曲线是轴对称图形，对称轴方程是x＝kπ＋
（k∈Z）；正弦曲线的对称轴一定过正弦曲线的最高点或最低点.
基础过关
1．函数y＝cos
（x∈R）是（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．非奇非偶函数D．无法确定
解析 y＝cos
＝－sinx.
答案 A
2．函数f（x）＝|sinx|的一个递增区间是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析 画出函数f（x）＝|sinx|的图像如图所示，由图像可知
是函数f（x）＝
|sinx|的一个递增区间．
答案 C
3．设M和m分别是函数y＝
sinx－1的最大值和最小值，则M＋m＝（ ）
A.
B．－
C．－
D．－2
解析 ∵M＝
－1，m＝－
－1，
∴M＋m＝－2.
答案 D
4．函数y＝
的定义域是________，单调递减区间是________．
解析 ∵－2sinx≥0，sinx≤0，
∴2kπ－π≤x≤2kπ，k∈Z，
即函数的定义域是[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）．
∵y＝
与y＝sinx的单调性相反，
∴函数的单调递减区间为
（k∈Z）．
答案 [2kπ－π，2kπ]（k∈Z）
（k∈Z）
5．设a＝cos29°，b＝sin144°，c＝sin50°，则a，b，c的大小关系为________．
解析 a＝cos29°＝sin61°，b＝sin144°＝sin36°，c＝sin50°，由正弦函数的单调性可知sin36°＜sin50°＜sin61°，即b＜c＜a.
答案 b＜c＜a
6．不求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
（1）sin
与sin
；
（2）sin
与sin
.
解
（1）因为π<
<
<
，且y＝sinx在
上是减少的，
所以sin
＞sin
.
（2）sin
＝sin
＝sin
＝sin
π，
sin
＝sin
＝sin
，
因为
＞
π＞
＞0，且y＝sinx在
上是增加的，所以sin
π＞sin
，
即sin
＞sin
.
7．设|x|≤
，求函数f（x）＝1－sin2x＋sinx的最小值．
解 f（x）＝1－sin2x＋sinx
＝－
2＋
.
∵|x|≤
，∴－
≤sinx≤
.
∴当sinx＝－
时，f（x）min＝
.
能力提升
8．下列不等式中成立的是（ ）
A．sin
＜sin
B．sin
＜sin
C．sin3＞sin2
D．sin
π＞sin
解析 y＝sinx在
上为增函数，而－
＜－
，故sin
＜sin
，故选A.
答案 A
9．设函数f（x）＝sin|x|，则f（x）（ ）
A．在区间
上是减函数
B．是周期为2π的周期函数
C．在区间
上为增函数
D．对称中心为（kπ，0），k∈Z
解析 由图易知，f（x）在
上是减函数．
答案 A
10．若方程sinx＝
在x∈
上有两个不同的实根，则a的取值范围是________．
解析 在同一坐标系中作出函数y＝sinx，x∈
的图像（图略），易知，当
≤
＜1，即－1＜a≤1－
时，
两图像有两个不同的交点，即方程sinx＝
在x∈
上有两个不同的实根．
答案 （－1,1－
]
11．函数f（x）＝2sin2x＋2sinx－
，x∈[
，
π]
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