八年级上第七章教案.docx
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八年级上第七章教案
北大新世纪实验学校教案纸
授课时间：
2018.1
授课班级：
805
授课教师：
朱远生
课时安排：
1
课题
7.1为什么要证明
教学目标
1．运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否；
2．经历观察、验证、归纳等过程，使学生对由这些方法所得到的结论产生怀疑，以此激发学生的好奇心，从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识。
教学重点
运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否。
教学难点
运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否。
教学方法
讲练结合
教学过程
教学活动
学生活动
设计意图
第一环节：
验证活动
（1）
活动内容：
某学习小组发现，当n=0，1，2，3时，代数式n2-n+11的值都是质数，于是得到结论：
对于所有自然数n，n2-n+11的值都是质数．你认为呢？
与同伴交流．
参考答案：
列表归纳为
第二环节：
猜想并验证活动
（2）
活动内容：
如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？
能放进一个红枣吗？
能放进一个拳头吗？
参考答案：
设赤道周长为c，铁丝与地球赤道之间的间隙为：
它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头．
第三环节：
猜想并验证活动（3）
活动内容：
如图，四边形ABCD四边的中点E、F、G、H，度量四边形EFGH的边和角，你能发现什么结论？
改变四边形ABCD的形状，还能得到类似的结论吗？
参考答案：
连接AC．
∵E、F、G、H分别是四边形ABCD四边中点，
∴EF∥AC，EF=
AC；GH∥AC，GH=
AC；
∴EF平行且等于GH，
∴四边形EFHG为平行四边形．
第四环节：
归纳与总结
活动内容：
①通过以上三个数学活动，使学生对每一个问题的结论的正确性有了怀疑，从而知道了由观察、猜想等渠道得到的结论还必须经过有效的证明才能对其进行肯定．也即：
要判断一个数学结论是正确，仅观察、猜想、实验还不够，必须经过一步一步，有根有据的推理．
②举例说明“推理意识”与推理方法．
第五环节：
反馈练习
活动内容：
1、如图中两条线段a与b的长度相等吗？
请你先观察，再度量一下。
.第1题图第2题图
2、如图中三条线段a、b、c,哪一条线段与线段d在同一直线上？
请你先观察，再用三角尺验证一下.
3、当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？
第六环节：
课堂小结
内容：
今天这节课你学到了什么知识？
参考答案：
①要说明一个数学结论是否正确，无论验证多少个特殊的例子，也无法保证其正确性．
②要确定一个数学结论的正确性，必须进行一步一步、有根有据的推理．
第七环节：
布置作业
练习册对应练习
学生先独立计算，然后分小组讨论。
师生共同完成
答案：
a与b的长度相等。
答案：
线段b与线段d在同一直线上。
答案：
经验证：
当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数。
目的：
对现在结论进行验证，让学生感受到知识有时具有一定的迷惑性（欺骗性），从而对不完全归纳的合理性产生怀疑，为下一步的学习提供必要的精神准备。
目的：
通过理性的计算，验证了很难想像到的结论，让学生产生思维上的碰撞，进而对自己的直观感觉产生怀疑，再次为论证的合理性提供素材
目的：
通过对图形的直观感受得出结论，但要使学生清楚地知道对几何结论的验证，通常是用严谨的逻辑推理来论述。
目的：
使学生理解仅有对图形的直观感受是不够的，从而帮助学生建立推理意识。
教学设计反思
本节课的教学设计是建立在“以学生的发展为本，为学生的终身学习奠定基础”的教育理念上，融入了新课标的思想内涵，尊重学生的直观感觉，并从学生的直观感觉出发逐步将学生的思维引向严密性、逻辑证明等方面，不是一味地强调证明的必要性，而是通过几个事实的说明来让学生意识到证明的必要性，设计中突出体现了学生的主体地位。
在教学设计中，力求让学生学会将生活问题数学化，用一个有趣的生活问题：
“用一根铁丝将地球赤道围起来”引起学生的兴趣并进行猜测，然后通过计算得出一个令人很意外的结果，同时也培养了学生“用数学”的意识，并且使得学生有一种感受：
数学来源于生活，服务于生活，同时也要用数学的眼光看世界，切勿盲信于自己的直观感觉。
本节课通过事例让学生体会检验数学结论的常用方法：
实验验证、举出反例、推理等.符合学生的认识特点和知识水平。
有助于培养学生理解问题、分析问题、解决问题的能力。
北大新世纪实验学校教案纸
授课时间：
2018.1
授课班级：
805
授课教师：
朱远生
课时安排：
1
课题
7.2定义与命题（第1课时）
教学目标
1、了解定义与命题的含义，会区分某些语句是不是命题；用比较数学化的观点来审视生活中或数学学习中遇到的语句特征；
2、了解命题中的真命题、假命题的含义；了解命题的构成，能区分命题中的条件和结论；
3、通过对某些语句特征的判断学会严谨的思考习惯。
教学重点
了解定义与命题的含义，会区分某些语句是不是命题及命题的构成。
教学难点
了解命题中的真命题、假命题的含义；了解命题的构成，能区分命题中的条件和结论。
教学方法
讲练结合
教学过程
教学活动
学生活动
设计意图
第一环节：
情境引入
活动内容：
①师：
如果B处水流受到污染，那么____处水流便受到污染；
如果C处水流受到污染，那么____处水流便受到污染；
如果D处水流受到污染，那么____处水流便受到污染；
②学生自编自练：
如果____处水流受到污染，那么____处水流便受到污染．
［生甲］如果B处工厂排放污水，那么A、B、C、D处便会受到污染。
［生乙］如果B处工厂排放污水，那么E、F、G处也会受到污染的。
［生丙］如果C处受到污染，那么A、B、C处便受到污染。
［生丁］如果C处受到污染，那么D处也会受到污染的。
［生戊］如果E处受到污染，那么A、B处便会受到污染。
［生己］如果H处受到污染，我认为是A处的那个工厂或B处的那个工厂排放了污水.因为A处工厂的水向下游排放，B处工厂的污水也向下游排放。
……
老师归纳：
同学们在假设的前提条件下，对某一处受到污染作出了判断.像这样，对事情作出判断的句子，就叫做命题.
即：
命题是判断一件事情的句子.如：
熊猫没有翅膀。
对顶角相等。
大家能举出这样的例子吗？
［师］很好。
大家举出许多例子，说明命题就是肯定一个事物是什么或者不是什么，不能同时既否定又肯定，如：
你喜欢数学吗？
作线段AB=a。
平行用符号“∥”表示。
这些句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它们就不是命题。
（一般情况下：
疑问句不是命题.图形的作法不是命题。
）
第二环节：
探索新知
内容：
证明时，为了交流的方便，必须对某些名称和术语形成共同的认识。
为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。
例如：
“具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和国公民”是“中华人民共和国公民”的定义。
（课本P165）
议一议：
下面语句中，哪些语句对事情作出了判断，哪些没有？
（1）任何一个三角形一定有一个角是直角；
（2）对顶角相等；
（3）无论n为怎样的自然数，式子
的值都是质数；
（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（5）你喜欢数学吗？
（6）作线段AB=CD。
判断一件事的句子，叫做命题，例如，上面“议一议”中的
（1）
（2）（3）（4）对事情进行了判断，都是命题。
如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。
例如，上面“议一议”中的（5）（6）都不是命题。
想一想：
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？
与同伴进行交流。
（1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；
（2）如果a=b，那么
；
（3）如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等。
一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成。
条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。
命题通常可以写成“如果…那么…”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。
做一做：
指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？
你是如何判断的？
与同伴进行交流。
（1）如果两个角相等，那么它们的对顶角相等；
（2）如果
，
，那么
。
（3）全等三角形的面积相等；
（4）三角形三个内角的和等于180°。
正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。
要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例。
第三环节：
巩固新知
随堂练习：
1、
（1）你能列举出一些学过的定义吗？
（2）分别举出一些是命题和不是命题的语句。
2、指出下列各命题的条件和结论，并通过反例说明其中的假命题。
（1）在同一年内，如果5月4日是星期一，那么5月11日也是星期一；
（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；
（3）如果
，那么
；
（4）两个锐角之和一定是钝角；
（5）如果
，那么
；
（6）两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等。
3、下列句子中哪些是命题：
（1）动物都需要水；
（2）猴子是动物的一种；（3）玫瑰花是动物；（4）美丽的天空；（5）相等的角是对顶角；（6）负数都小于零；（7）你的作业做完了吗？
（8）所有的质数都是奇数；（9）过直线l外一点作l的平行线；（10）如果
，
，那么
。
第四环节：
课堂小结
活动内容：
①定义的含义：
对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是它们的定义；
②命题的含义：
判断一件事情的句子，叫做命题，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题．
③命题的条件和结论；
④真命题、假命题和反例。
第六环节:
布置作业
练习册对应练习
学生分组进行讨论。
［生甲］两直线平行，内错角相等。
［生乙］无论n为任意的自然数，式子n2－n+11的值都是质数。
［生丙］内错角相等。
［生丁］任意一个三角形都有一个直角。
［生戊］如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
［生己］全等三角形的对应角相等。
……
学生先独立思考，然后与同伴交流。
目的：
通过对水流的污染问题引入命题的概念，使学生了解命题的含义，会判断某些语句是不是命题。
目的：
通过对水流的污染问题引入命题的概念，使学生了解命题的含义，会判断某些语句是不是命题。
目的：
通过对水流的污染问题引入命题的概念，使学生了解命题的含义，会判断某些语句是不是命题。
目的：
一方面是进一步让学生体会命题的含义，另一方面是概括出命题的特征，进而明晰命题的条件和结论，使学生更好地认识命题及其结构。
目的：
使学生了解命题有真假之分，并且知道怎样去判断真假命题。
目的：
进一步巩固新知识，灵活运用新知识。
教学设计反思
本节课的设计具有如下特点：
（1）采用了“小品表演”的形式引入新课，意在激起学生对数学的兴趣，让学生知道，数学不是枯燥无味的。
并能从表演中不同的人对“黑客”这个名词的不同理解更好地悟出“定义”的含义。
（2）在教学设计中，充分展示学生的语言表达能力，力图通过学生的自主学习来体现学生的主体地位，教师则通过对学生的启发、调整、激励来实现自己的主导地位。
（3）“什么是定义？
什么是命题？
”，关于这方面的教学更象是文科的教学，但我们注重的不是让学生去死记硬背这些名词的解释，而应侧重于对这些名词的理解。
北大新世纪实验学校教案纸
授课时间：
2018.1
授课班级：
805
授课教师：
朱远生
课时安排：
1
课题
7.2定义与命题（第2课时）
教学目标
1、经历实际情境，初步体会公理化思想和方法，了解本教材所采用的公理；
2、了解和理解掌握“公理、定理、定理的推论”，了解“证明”的定义；
3、培养学生的语言表达能力。
教学重点
经历实际情境，初步体会公理化思想和方法，了解本教材所采用的公理。
教学难点
了解和理解掌握“公理、定理、定理的推论”。
教学方法
讲练结合
教学过程
教学活动
学生活动
设计意图
第一环节：
温习旧知识
内容：
1、上节课我们学习了哪些概念？
2、找出下述命题中的条件和结论，指出它们哪些是正确的命题？
哪些是不正确的命题？
你又是如何知道的呢？
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2）如果a＞b，b＞c，那么a＝c；
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；
（4）菱形的四条边都相等；
（5）全等三角形的面积相等．
第二环节：
情境引入
内容：
（想一想）
举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？
其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题。
公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得编写了一本书，书名叫做《原本》。
为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆的创造：
挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理。
除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断。
演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理。
每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明。
本套均教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条，它们是：
1、两点确定一条直线。
2、两点之间线段最短。
3、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
4、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（简述为：
同位角相等，两直线平行）。
5、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
6、两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
7、两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
8、三边分别相等的两个三角形全等。
由上面的问题，我们可以得到定理：
对顶角相等。
第三环节：
巩固练习
内容：
（课本P170）
请你完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的证明。
第四环节：
课堂小结
今天我们获得了哪些知识？
第六环节:
布置作业
练习册对应练习
学生先独立完成，再分组讨论。
学生分小组讨论，再回答。
.
学生先独立完成，老师可以辅导后进生。
师生共同总结。
目的：
巩固旧知识，为新课作铺垫。
目的：
运用问题的形式引入新课，调动学生的学习兴趣。
目的：
培养学生公理化思想和方法，养成科学、严谨思维习惯。
教学设计反思
本节课的教学看似很容易，但要让学生真正弄清命题的含义，理清命题的构成并不容易，更多的学生只是能机械地将一个命题改写成“如果……那么……”的形式，往往改写的语句不够通顺、完整。
因此，在教学中，进行适当的巩固练习是必要的，但要注意，应允许部分学生在课余时间自行消化。
在探讨命题的结构特征和修改命题形式时，有的学生可能会说出比较幼稚、甚至可笑的语句，尽管如此，也应让学生大胆说出自己的意见，避免学生机械模仿，要允许学生有错误，并能在自行改正错误中调整前进。
北大新世纪实验学校教案纸
授课时间：
2018.1
授课班级：
805
授课教师：
朱远生
课时安排：
1
课题
7.3平行线的判定
教学目标
1、熟练掌握平行线的判定公理及定理；
2、能对平行线的判定进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中；
3、通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想。
教学重点
能对平行线的判定进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中。
教学难点
通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想。
教学方法
讲练结合
教学过程
教学活动
学生活动
设计意图
第一环节：
情景引入
活动内容：
回顾两直线平行的判定方法
师：
前面我们探索过直线平行的条件．大家来想一想：
两条直线在什么情况下互相平行呢？
生1：
在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线．
生2：
两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行．
生3：
同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行．
师：
很好．这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的．
上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题．除公理、定义外，其他真命题都需要通过推理的方法证实．
我们知道：
“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义．“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理．那其他的三个真命题如何证实呢？
这节课我们就来探讨．
第二环节：
探索平行线判定方法的证明
活动内容：
①证明：
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
师：
这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言．所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：
如图，已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补，求证：
a∥b．
如何证明这个题呢？
我们来分析分析．
师生分析：
要证明直线a与b平行，可以想到应用平行线的判定公理来证明．这时从图中可以知道：
∠1与∠3是同位角，所以只需证明∠1=∠3，则a与b即平行．
因为从图中可知∠2与∠3组成一个平角，即∠2+∠3=180°,所以：
∠3=180°－∠2．又因为已知条件中有∠2与∠1互补，即：
∠2+∠1=180°,所以∠1=180°－∠2,因此由等量代换可以知道：
∠1=∠3．
师：
好．下面我们来书写推理过程，大家口述，老师来书写．（在书写的同时说明：
符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”）
证明：
∵∠1与∠2互补（已知）∴∠1+∠2=180°（互补定义）
∴∠1=180°－∠2（等式的性质）∵∠3+∠2=180°（平角定义）
∴∠3=180°－∠2（等式的性质）
∴∠1=∠3（等量代换）
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）
这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：
直线平行的判定定理．
这一定理可简单地写成：
同旁内角互补，两直线平行．
想一想：
我们可以用右图的方法作出平行线，你能说说其中的道理吗？
第三环节：
反馈练习
活动内容：
课本第231页的随堂练习
蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，其中
，
。
试确定这个四边形对边的位置关系，并证明你的结论。
第四环节：
课堂小结
活动内容：
①这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明．
②由角的大小关系来证两直线平行的方法，再一次体现了“数”与“形”的关系；而应用这些公理、定理时，必须能在图形中准确地识别出有关的角．
③注意：
证明语言的规范化．推理过程要有依据．
第五环节:
布置作业
练习册对应练习
学生独立回答
师生共同完成
学生口述过程，教师书写过程
学生总结，回答。
目的：
回顾平行线的判定方法，为下一步顺利地引出新课埋下伏笔．
目的：
通过对学生熟悉的平行线判定的证明，使学生掌握平行线判定公理推导出的另两个判定定理，并逐步掌握规范的推理格式。
目的：
巩固本节课所学知识，让教师能对学生的状况进行分析，以便调整前进．
教学设计反思：
平行线是众多平面图形与空间图形的基本构成要素之一，它主要借助角来研究两条直线之间的位置关系，即通过两条直线与第三条直线相交所成的角来判定两条直线平行与否，在教学中，要紧紧围绕这些角（同位角、内错角、同旁内角）与平行线之间的关系展开。
学生初学证明时，对于证明中的每一步的因果关系很茫然，有的学生尽管头脑中对每一步的前因后果都比较清楚，但写出来的证明过程前后没有因果关系，这需要教师在学生刚接触证明题时，再三强调这一点。
对于初学者而言，为了更好地掌握推理方法，要保证推理有根有据，上一步的因与下一步的果的因果关系明确，保证证明过程层次分明、条理清楚。
北大新世纪实验学校教案纸
授课时间：
2018.1
授课班级：
805
授课教师：
朱远生
课时安排：
1
课题
7.4平行线的性质
教学目标
1、认识平行线的三条性质，能熟练运用这三条性质证明几何题；
2、进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法；
3、了解两定理在条件和结构上的区别，体会正逆的思维过程。
教学重点
能熟练运用这三条性质证明几何题。
教学难点
了解两定理在条件和结构上的区别，体会正逆的思维过程。
教学方法
讲练结合
教学过程
教学活动
学生活动
设计意图
第一环节：
情境引入
活动内容：
一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次拐的角∠B是130°，第二次拐的角∠C是多少度？
说明：
这是一个实际问题，要求出∠C的度数，需要我们研究与判定相反的问题，即已知两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角有什么关系，也就是平行线的性质．
第二环节：
探索与应用
活动内容：
①画出直线AB的平行线CD，结合画图过程思考画出的平行线，被第三条直线所截的同位角的关系是怎样的？
②平行公理：
两直线平行同位角相等．
③两条平行线被第三条直线所截，同位角是相等的，那么内错角、同旁内角有什么关系呢？
∵a∥b（已知），∴∠1＝∠2（两条直线平行，同位角相等）
∵∠1＝∠3（对顶角相等），∴∠2=∠3（等量代换）．
师：
由此我们又得到了平行线有怎样的性质呢？
学生活动：
同学们积极举手回答问题．
教师根据学生叙述，给出板书：
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简称为两直线平行，内错角相等。
师：
下面请同学们自己推导同旁内角是互补的．并归纳总结出平行线的第三条性质．
∵a∥b（已知）∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）
∵∠1＋∠4=180°（邻补角定义）∴∠2+∠4＝180°（等量代换）
即：
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单说成，两直线平行，同旁内角互补。
师：
我们知道了平行线的性质，在今后我们经常要用到它们去解决、论述一些问题，所需要知道的条件是两条直线平行，才有同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，即它们的符号语言分别为：
∵a∥b，
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）．
∵a∥b（已知），
∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）．
∵a∥b（已知），
∴∠2+∠4＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）
（板书在三条性质对应位置上）
第三环节：
课堂练习
活动内容：
①已知平行线AB、CD被直线AE所截
（1）若∠1=110°,可以知道∠2是多少度吗？
为什么？
（2）若∠1=110°，可以知道∠3是多少度吗？
为什么？
（3）若∠1=110°，可以知道∠4是多少度吗，为什么？
②变式训练：
如图是梯形有上底的一部分，已知量得∠A=115°，∠D＝100°，梯形另外两个角各是多少度？
解：
∵AD∥BC（梯形定义），
∴∠A+∠B＝180°．∠C＋∠D＝180
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