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《漫画傅里叶解析》笔记共11页

《漫画傅里叶解析》笔记

宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。

至元明清之县学一律循之不变。

明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。

到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。

其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。

而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。

“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。

于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。

在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。

《漫画傅里叶解析》作者涉谷道雄

第1章宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。

至元明清之县学一律循之不变。

明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。

到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。

其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。

而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。

“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。

于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。

在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。

序声音

宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。

至元明清之县学一律循之不变。

明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。

到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。

其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。

而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。

“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。

于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。

在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。

用傅里叶变换对波进行分析的方法就叫傅里叶分析。

傅里叶分析不仅用于声音，在各种波形分析中都能用到，如声纹分析，图像数据的压缩技术。

磁共振图像分析。

第2章通往傅里叶变换的道路

一、声音与频率

声音是通过改变对空气的压力，以波的形式传播的。

这个压力的变化叫声压。

横轴表示时间，纵轴表示声压，将声音图形化。

1秒内一个相邻的波峰和波谷的波形往返重复的次数就叫做频率，单位为Hz（赫兹）。

“拉”音=440Hz。

不同的倍数得到不同声调的“拉”。

复杂的波形其实由简单的波形合成得到。

构成复杂波形的简单波形叫做频率成分。

将各个合成频率成分及其强度用图形表示，可以得到频率谱，简称谱。

明白了频率谱就能明白声音的基本组成成分了。

这就是傅里叶变换，是从波形中得到频率谱的方法。

反过来，也可从频率谱得到波形，这叫傅里叶逆变换。

用傅里叶变换研究频率谱的特征的方法，叫做傅里叶解析。

二、横波与纵波

在电磁波中，电场和磁场的强度随时间变化，且它们的方向与波的传播方向垂直，这样的波叫横波。

声音是利用空气的振动，使空气的密度变高变低来传播的，波的传播方向与振动方向相同的波叫做纵波。

具有纵波性质的波，需要传递密度的变化，因此需要媒介，不能在真空中传播。

纵波，在传播方向上使媒介的密度变高变低，因此也叫疏密波，用密度的变化把疏密波图形化，可以得到与横波相同的图形。

不论横波还是纵波，都可以用正弦函数sin表示。

三、波的时间变化

看波纹传播的情况，可以发现波峰和波谷交替前进，而水面的某一点也在上下运动，相互保持独立。

简单波形的合成，用来研究其中的频率和强度的数学方法，就叫傅里叶变换。

四、频率与振幅

振幅是信号的高低差，波形中相邻的一个波峰和波谷的时间长度叫周期。

频率在波形中就是1秒钟有多少个周期。

振幅对应声音的强弱，振幅小的情况下对应的音量也小。

频率增加，音调变高，变成高音。

从复杂波形中求出频率谱的方法就叫傅里叶变换。

看周期最大的波，它的频率被叫做基本频率。

最大的波周期，叫基本周期。

傅里叶变换步骤：

复杂波形→求频率成分→不同强度组合起来合成一个波形（频率-强度–谱）

五、约瑟夫▪傅里叶的发现

傅里叶的发现：

再复杂的现象也是由简单的现象组合在一起而形成的。

六、傅里叶变换的数学准备

Sincos三角函数；

函数的切线（倾斜）；

积分（原函数）；

定积分（面积、体积）；

不定积分；

函数的四则运算；

函数的积及其定积分；

函数的正交；

正交函数为基础的函数合成；

傅里叶级数；

傅里叶变换。

第3章三角函数

一、旋转与三角函数

摩天轮的高度与时间的关系。

二、单位圆

半径为1的圆叫单位圆。

三、正弦函数

Y=sinθ

四、

余弦函数

X=cosθ

五、参数表示与圆的表达式

X=cosθ

Y=sinθ

六、随时间变化的三角函数的物理量的研究

物理量ω叫角速度，单位弧度/秒（rad/s）

ω乘以t（s）得到的物理量是角度。

七、ωt与三角函数

函数y=sinωt

ω定值，以t为横轴，图形为正弦函数。

以ω为横轴，变成与纵轴平行的线段。

时间函数与频率谱产生联系。

第4章积分与微分

一、积分

积分与过山车，积分求面积。

dx是什么意思？

d表示微小的意思，dx表示x的微小变化量。

积分就是将微小区间的面积一点点加起来，从而求整个区间的方法。

二、常数函数的积分

三、一次函数的积分

四、n次函数的积分

五、任意曲线的定积分

将大区间分为间隔相同的小区间，依次按顺序求这些区间的面积，加起来得到大区间的面积。

在数学表达式（数学函数）无法表示的场合，就用计算机来计算。

六、切线

微分是积分的逆运算。

微分就是求切线的斜率。

七、微分

八、三角函数的微分

九、三角函数的定积分

第5章函数的四则运算

一、函数的和

二、函数之间的加法

Y=X2与Y=X的和为Y=X2+X

三、函数之间的减法

Y=X2与Y=X的差为Y=X2-X

四、函数之间的乘法

Y=X2-2与Y=X的积为Y=X3-2X

Y=sinX与Y=cosX的积为Y=sinXcosX=1/2sin2X

第6章函数的正交

一、函数的正交

正交就是成直角的意思。

首先画出两个相互正交的函数，sinXcosX

sinX函数的波形与cosX函数的波形相差π/2。

也就是说，这两个函数的波形的起始点的位置关系，在单位圆上成直角。

如果函数成正交关系，那么它们积的定积分为0。

反过来说，如果两个函数的积的定积分为0，这两个函数正交。

二、两正交函数的图形证明

三、两正交函数的数学计算证明

四、Y=sin2X的定积分

=π

第7章傅里叶变换的准备知识

一、用三角函数的加法运算制作图形

画出Y=sinX+cosX的图形。

图形的出发点，也就是函数y=0的x值，发生了改变，出发点不同了。

这个出发点到y轴的距离，叫做“相位差”，简称相位。

二、acosX与bsinX的合成

SinnX与cosnX合成时是n周期，这个n周期对应着角频率ω，有了周期和振幅r，就能得到频谱图。

三、周期不同的三角函数的合成

可以组合成不同的波形。

四、傅里叶级数

锯齿波：

An=n的倒数，即1,1/2,1/3…..，用excel计算图形。

方波：

An=奇数。

五、时间函数与频率谱

讲三角函数时，三个不同的点在半径1，2，3的圆上旋转。

将这个用随时间变化的图形表示出来，就能得到sin函数。

这种随时间变化的函数叫做时间函数。

有确定周期的重复变化的函数叫做周期函数。

接下来，以ω为横轴，转换为频率谱图像。

这样就完成了从时间函数到频率谱转换的流程。

半径为3的圆周上，以ωt旋转的点可以用Y=3sinx表示。

同理，其余两个函数是Y=4sin2x，Y=2sin3x；将这些函数加起来，变成下图：

傅里叶变换，就是从这样加法合成得到的函数中，能将加起来之前的各个函数的周期和大小计算出来。

傅里叶变换中的函数是周期函数，自然界中的很多波不是周期函数，只要取一段时间区间，将该波形不断重复形成周期函数，就能用傅里叶变换进行计算了。

六、傅里叶变换的入口

合成和变换互为逆运算。

将多个函数组合起来叫做“合成”。

研究某个东西是怎样组合而成的叫做“变换”。

根据傅里叶级数的逆向思考方法，采用傅里叶变换对波形进行分析，叫做傅里叶解析。

第8章傅里叶解析

一、研究频率成分的步骤

傅里叶解析是求解原波形（函数）由哪些频率的波以怎样的大小组合而成的方法。

步骤1：

首先，为了将复杂波形转为周期函数，从波形中取出一段区间。

将这个区间看做最大的周期，对应的频率为1Hz，为最小的频率。

取出1秒长度的区间中含有振动1000次的成分是频率为1kHz的频率成分。

步骤2：

从最低频率开始，到可能出现的最高频率，需要对所有频率一一进行分析。

步骤3：

从切取的波形中分析出某种特定的频率成分，需要使用滤波器，将成分一个一个的分解出来。

步骤4：

测量分解出来的频率成分的量，然后依次排开，就得到了频率谱。

二、傅里叶系数

如果F（x）是随时间变化的函数，用F（t）表示。

这里a0，an，bn叫做傅里叶系数，步骤3就是求傅里叶系数。

a0决定波形的全体值在y轴上的上下位置的值。

从各种频率成分中，抽取某一特定频率成分，必须想到的是“函数的正交”，由于函数正交的关系，它们乘积的定积分的结果为0，而sinnx和cosnx都与自身不成正交关系，都有一定的值。

因此，正交关系的性质，是频率成分的分解成为可能。

首先看cos的傅里叶系数an，如果想要结果只剩下ancosnx，那么将F（x）全体乘以cosnx，然后做定积分。

因为其它正交积分为0，所以只剩下一个cosnx的值。

这样an的值就求出来了。

第四步：

求r

第五步，将第四步求的r从小到大排列画在图形中就得到了频率谱。

三、音叉的频率谱

四、吉他的频率谱

哆的频率是261.63Hz

五、人的声音频率谱

六、柔和的声音

音域是发出最低音到最高音的音程。

音域广是好嗓子的重要基础。

共鸣关系是指低音，即以某个频率为基准，完好的含有这个频率的整数倍的频率的波的状态。

第9章附录习题

求下面函数的傅里叶系数：

首先：

a0=0

其次an=0图形可知。

Cosnx

b1=4/π

n为偶数时，bn=0；

n为奇数时，bn=1/n*4/π；