极坐标学案.docx

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极坐标学案

§1平面直角坐标系（学案）

学习目标：

回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用

学习重点：

体会直角坐标系的作用

学习难点：

能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题

一．学习过程

（一）平面直角坐标系与曲线方程

问题1：

如何刻画一个几何图形的位置？

问题2：

如何创建平面（或空间）直角坐标系？

平面内（或空间中）的点与坐标系中的有序实数对（x,y）（或有序实数对（x,y,z））有什么对应关系？

问题3：

结合课本例子说明曲线与方程的关系？

思考交流：

（1）在平面直角坐标系中，圆心坐标为（2,3）,5为半径的圆的方程是什么？

（2）在平面直角坐标系中，圆心坐标为（a,b）半径为r的圆的方程是什么?

（二）平面直角坐标轴中的伸缩变换

在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y轴的单位长度，将会对图形产生影响。

问题探究：

（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到正弦曲线y=sin2x？

写出其坐标变换。

（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?

写出其坐标变换。

二.典例剖析

例1.（课本P4）

例2.（课本P5）

例3.在下列平面直角坐标系中，分别作出

椭圆

（1）x轴与y轴具有相同的单位长度；

（2）x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；

（3）x轴上的单位长度为y轴上单位长度的

倍。

反思：

在平面直角坐标系中进行坐标伸缩变换，关键是理解坐标伸缩变换公式。

例4.一个等腰三角形的底边长是8，底边上的高为5，建立适当的平面直角坐标系，求出它的外接圆方程。

反思：

求曲线方程的一般步骤是什么？

三、总结升华：

1．如何建立直角坐标系？

2．什么时候需要建系？

3．求曲线方程的方法和一般步骤是什么？

4.在平面直角坐标系中，坐标伸缩变换关系式是什么？

§2.1极坐标系的的概念（学案）

学习目的：

理解极坐标的概念；能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.

学习重点：

理解极坐标的意义

学习难点：

能够在极坐标系中用极坐标确定点位置

一、学习过程：

情境1：

军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？

情境2：

如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。

（1）他向东偏60°方向走120m到达什么位置？

该位置唯一确定吗？

（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？

问题1：

为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？

问题2：

如何刻画这些点的位置？

二．构建新知：

在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。

这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。

1．极坐标系的建立：

在平面上取一个定点o，自点o引一条__________，选定一个___________和_______________（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个____________.

思考:

建立一个极坐标系要具备哪些要素？

当点M在极点时，它的极径和极角分别是什么？

2.点的极坐标

设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对____________叫做M点的极坐标.

3．负极径的规定：

在极坐标系中，极径r允许取负值，极角q也可以去任意的正角或负角，当r＜0时，点M（r，q）位于极角终边的________________上，且OM=_______。

三．实例分析：

例1在极坐标中描出下列各点.

A（4,0）；B（2,

）；C（6,

）；

D（4,

）；E（6,

）；

F（-6，

）；G（-3，

）.

反思：

（1）平面上一点的极坐标是否唯一？

（2）若不唯一，那有多少种表示方法？

（3）坐标不唯一是由谁引起的？

（4）不同的极坐标是否可以写出统一表达式？

例2在极坐标系中，已知两点P（5，

），Q

，求线段PQ的长度；

变式训练：

1．若

的的三个顶点为

判断三角形的形状。

2．若A、B两点的极坐标为

，求AB的长（O为极点）。

例3已知Q（r，q），分别按下列条件求出点P的极坐标。

（1）P是点Q关于极点O的对称点；

（2）P是点Q关于直线

的对称点；

（3）P是点Q关于极轴的对称点。

四．总结升华：

1．如何建立极坐标系？

2．极坐标系的基本要素有哪些？

3．极坐标中的点与极坐标有什么对应关系？

§2.2极坐标与直角坐标互化（学案）

学习目标：

掌握极坐标和直角坐标的互化关系式；

学习重点：

对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解；

学习难点：

互化关系式的掌握；

一、复习引入：

1.如何建立极坐标系？

有几个要素？

2.一个点的极坐标是否唯一？

二．新课讲授：

直角坐标系的原点O为极点，

轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。

平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为

和

，

由图思考以下问题：

问题1：

如何进行极坐标与直角坐标的互化？

问题2：

平面内的点A、B的直角坐标分别是

，

，这两个点如何用极坐标表示？

（取

，

）

问题3：

直角坐标与极坐标互化前提条件是什么？

三．实例分析：

例1.（课本P10）把下列各点的极坐标化为直角坐标；

（2）B（4,

）（3）M（-5,

）（4）N（-3,-

）.

例2．把下列个点的直角坐标化为极坐标（限定

＞0,0≤

＜

）

变式训练：

（1）把点M的极坐标

化成直角坐标；

（2）把点P的直角坐标

化成极坐标（限定

＞0,0≤

＜

）；

例3.若以极点为原点,极轴为

轴正半轴,建立直角坐标系.

（1）已知A的极坐标

求它的直角

坐标；

（2）已知点B和点C的直角坐标为

，求它们的极坐标.

＞0,0≤

＜2

）

变式训练：

在极坐标系中,已知三点

.判断

三点是否在一条直线上.

四．总结升华：

1．极坐标与直角坐标互化的前提条件是什么？

2．互化的公式？

3.极坐标与直角坐标的区别：

平面直角坐标系

极坐标

定位方式

横坐标、纵坐标

点与坐标

点与坐标一一对应

外在形式

原点，x，y轴

本质

两线相交定点

§2.3直线和圆的极坐标方程（学案）

学习目标：

掌握极坐标方程的意义，能在极坐标中求直线和圆的极坐标方程

学习重点：

直线和圆的极坐标方程的求法

学习难点：

对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解

一．复习引入：

问题提出：

1、直角坐标系建立可以描述点的位置；极坐标是否也有同样作用？

2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程；极坐标系的建立是否可以求曲线方程？

复习回顾：

1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？

2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义是什么？

二．讲解新课：

1．引例：

以极点O为圆心5为半径的圆上任意一点极径为5，反过来，极径为5的点都在这个圆上。

因此，以极点为圆心，5为半径的圆可以用方程______________来表示。

2．定义：

如果曲线C上的点与一个二元方程

建立了如下的关系：

（1）曲线C上的每个点的极坐标中至少有一组

满足______________;

（2）_____________________________的点都在曲线C上。

那么方程

叫作曲线C的极坐标方程，曲线C叫作极坐标方程

的曲线。

三．实例分析

例1．求经过点

且与极轴垂直的直线

的极坐标方程。

变式训练：

已知点

的极坐标为

，求过点

且垂直于极轴的直线极坐标方程。

例2．求经过点A（2,0）、倾斜角为

的直线的极坐标方程。

反思：

以上题目均为求直线的极坐标方程，方法是设动点的极坐标，抓住几何图形特征建立r与q的关系式。

例3．求圆心在（a,0）（a>0）、半径为a的圆的极坐标方程。

例4.求圆心在A（2,0），半径为1的圆的极坐标方程。

变式训练：

1.求圆心在

且过极点的圆

的极坐标方程。

2.极坐标方程（p-1）（

）=（p

0）表示的图形是（）

（A）两个圆

（B）两条直线

（C）一个圆和一条射线

（D）一条直线和一条射线

反思：

求圆的极坐标方程方法和步骤是什么？

四．总结升华：

1.如何求直线和圆的极坐标方程？

2．极坐标系中曲线与方程的关系和直角坐标系中曲线与方程的关系是一致的，即不同的坐标系表示同一曲线。

3、求直线和圆的极坐标方程的步骤是什么？

§2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化（学案）

学习目标：

掌握极坐标系中直线和圆的方程，会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化。

学习重点：

会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化

学习难点：

寻找关于ρ，θ的等式

一．问题探究：

问题1：

分别表示什么曲线？

问题2：

上述方程分别表示了直线与圆，它们的直角坐标方程分别是什么？

问题3：

极坐标与直角坐标互化的公式是什么？

二．典例剖析

例1．将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程。

（1）ρcosθ

=0；

（2）

；

（3）

反思：

曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的方法是什么？

例2．将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程。

（1）x-y-2=0；

（2）

；

（3）

；

（4）

；

（5）

.

反思归纳：

曲线的直角坐标方程化为极坐标方程的方法是什么？

例3.把极坐标方程ρ=

化为直角坐标方程。

变式训练.：

（1）4ρsin2

=5的直角坐标方程是______________它表示什么曲线？

（2）极坐标方程4sin2θ=3的直角坐标方程是_________________________

（3）已知圆的极坐标方程：

ρ=2sin（θ+

），则圆心的极坐标是_________,半径为_______

例4.把下列直角坐标方程化成极坐标方程：

（1）x=5

（2）2x-5y=0

（3）

（4）

（5）

三．总结升华：

1.极坐标与直角坐标互化公式是什么？

2.如何看一个极坐标方程表示什么曲线？

§3柱坐标系和球坐标系

学习目标：

了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法；了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。

学习重点：

体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系。

学习难点：

利用它们进行简单的数学应用。

一．复习引入：

问题：

如何在空间里确定点的位置？

有哪些方法？

二.新知探究：

1、柱坐标系

设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，用（r,θ）（ρ≥0,0≤θ<2π）表示点在平面oxy上的极坐标，点P的位置可用有序数组____________表示，

把建立上述对应关系的坐标系叫做______________系。

有序数组___________叫点P的柱坐标，其中r≥0,0≤θ<2π,z∈R

空间点P的直角坐标（x,y,z）与柱坐标（r,θ,Z）之间的变换关系为：

思考：

（1）柱坐标满足方程r=常数，的点所构成的图形是什么?

（2）柱坐标满足方程

=常数，的点所构成的图形是什么?

（3）柱坐标满足方程z=常数，的点所构成的图形是什么？

2、球坐标系

设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，连接OP，记|OP|=

，OP与OZ轴正向所夹的角为

，P在oxy平面的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为

，点P的位置可以用有序数组___________表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫_________系（或空间极坐标系）

有序数组__________叫做点P的球坐标，其中

≥0，0≤

≤

，0≤

＜2

。

空间点P的直角坐标

与球坐标

之间的变换关系为：

思考：

（1）球坐标满足方程r=常数,的点所构成的图形是什么?

（2）极坐标满足方程

=常数,的点所构成的图形是什么?

（3）极坐标满足方程

=常数,的点所构成的图形是什么？

三．实例分析：

例1．建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点.

变式训练：

建立适当的柱坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点.

例2.将点M的球坐标

化为直角坐标.

变式训练：

1.将点M的直角坐标

化为球坐标.

2.将点M的柱坐标

化为直角坐标.

例4.已知点M的柱坐标为

点N的球坐标为

求线段MN的长度.

思考:

在球坐标系中,集合

表示的图形的体积为多少?

四、总结升华：

1.柱坐标与直角坐标互化公式及各字母表示的意义？

2.球坐标与直角坐标互化公式及各字母表示的意义？

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