长方体与正方体.docx

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长方体与正方体

知识点睛

对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查。

如如图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱。

①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等。

（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形）。

②长方体的表面积和体积的计算公式是：

长方体的表面积：

S长方体＝2（ab＋bc＋ca）;

长方体的体积：

V长方体＝abc。

③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，

它的六个面都是正方形。

如果它的棱长为a，那么：

S正方体＝6a2，

V正方体＝a3。

【例1】

【超常班】下图中共有多少个面？

多少条棱？

【超常3班】下图中共有多少个面？

多少条棱？

【超常2班】如如图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长，

那么新的几何体的表面积是多少？

【超常1班】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？

【补充】把一个正方体的一个顶点切掉，则剩下的立体图形有几个面？

几个顶点？

几条棱？

【例2】

【超常班】一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形，现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少平方厘米？

【例2】

【超常3班】如图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块。

那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?

【例2】

【超常2班】如图是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？

【例3】

【超常班】要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？

【例3】

【超常3班】如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积。

【例3】

【超常2班】如图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？

【例3】

【超常1班】如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米。

【例4】

【超常班】将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方体只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？

【例4】

【超常3班】有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色。

求被涂成红色的表面积。

【例4】

【超常2班】如图，这是一个用若干块体积相同的小正方体粘成的模型。

把这个模型的表面（包括底面）都涂成红色，那么，把这个模型拆开以后，有三面涂上红色的小正方体比有两面涂上红色的小正方体多______块。

【例4】

【超常1班】如图是4×5×6正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？

【例4】

【超常班】一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切n次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块，则n的取值是_____。

【例5】

【超常班】一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切n次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块，则n的取值是_____。

【例5】

【超常3班】右图是由27块小正方体构成的3×3×3的正方体。

如果将其表面涂成红色，则在角上的8个小正方体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余18块小方块中，有12个两面是红的，6个一面是红的。

这样两面有红色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红色的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍。

问：

由多少块小正方体构成的正方体，表面涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一点红色也没有的小方块是三面有红色的小方块的八倍？

【例5】

【超常2班】有6个相同的棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米的长方体，把它们的某些面染上红色，使得有的长方体只有1个面是红色的，有的长方体恰有2个面是红色的，有的长方体恰有3个面是红色的，有的长方体恰有4个面是红色的，有的长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体6个面都是红色的，染色后把所有长方体分割成棱长为1厘米的小正方体。

分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体最多有多少个？

【例5】

【超常1班】三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？

【例6】

【超常班】一根长方体木料，体积是0.078立方米。

已知这根木料长1.3米。

宽为3分米，高该是多少分米?

孙健同学把高错算为3分米。

这样，这根木料的体积要比0.078立方米多多少?

【例6】

【超常3班】某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条（如图所示）在三个方向上的加固。

所用尼龙编织条分别为365厘米，405厘米，485厘米。

若每个尼龙加固时接头重叠都是5厘米。

问这个长方体包装箱的体积是多少立方米?

【例6】

【超常2班】一个长方体的表面积是33.66平方分米，其中一个面的长是2.3分米，宽是2.1分米，它的体积是_____立方分米。

【例6】

【超常1班】把一根长2.4米的长方体木料锯成5段（如图），表面积比原来增加了96平方厘米。

这根木料原来的体积是_____立方厘米。