一元二次方程知识点章末重难点题型举一反三.docx
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一元二次方程知识点章末重难点题型举一反三
专题1.2一元二次方程章末重难点题型
【考点1一元二次方程的概念】
【方法点拨】解决此类问题掌握一元二次方程的定义是关键；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并
且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
【例1】（2020•富顺县校级一模）下列关于x的方程：
①ax2+bx+c＝0；②x2
3＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【答案】解：
一元二次方程只有④，共1个，
故选：
A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
【变式1-1】（2020春•青羊区校级期末）关于x的方程（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m＝（ ）
A．2或﹣2B．2C．﹣2D．0
【分析】根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，即|m|＝2，且m+2≠0，解出m的值即可．
【答案】解：
由题意可知：
|m|＝2，且m+2≠0，
所以m＝±2且m≠﹣2．
所以m＝2．
故选：
B．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，要注意系数不为0，这是比较容易漏掉的条件．
【变式1-2】（2020春•太湖县期末）若关于x的方程
7＝0是一元二次方程，则a＝ ．
【分析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a的值．
【答案】解：
∵关于x的方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程，
∴a2+1＝2，且a﹣1≠0，
解得，a＝﹣1．
故答案为：
﹣1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．
【变式1-3】（2020秋•新罗区校级期中）已知关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0．
（1）当m为何值时，该方程为一元二次方程？
（2）当m为何值时，该方程为一元一次方程？
【分析】
（1）由一元二次方程的定义可得关于m的不等式，可求得m的取值；
（2）由一元一次方程的定义可利关于m的方程，可求得m的值．
【答案】解：
（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0为一元二次方程，
∴m2﹣1≠0，解得m≠±1，
即当m≠±1时，方程为一元二次方程；
（2）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0为一元一次方程，
∴m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，解得m＝﹣1，
即当m为﹣1时，方程为一元一次方程．
【点睛】本题主要考查方程的定义，掌握一元一次方程、一元二次方程的定义是解题的关键．
【考点2一元二次方程的一般形式】
【方法点拨】一元二次方程的一般形式：
ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【例2】（2020春•沙坪坝区校级月考）将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（ ）
A．﹣4，2B．4x，﹣2C．﹣4x，2D．3x2，2
【分析】首先把﹣4x移到等号左边，把右边化为0，然后再确定答案．
【答案】解：
∵﹣3x2﹣2＝﹣4x，
∴﹣3x2+4x﹣2＝0，
则3x2﹣4x+2＝0
则一次项是﹣4x，常数项是2，
故选：
C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
【变式2-1】（2019秋•青龙县期中）已知一元二次方程﹣5x2+16x+3＝0，若把二次项系数变为正数，且使得方程根不变的是（ ）
A．5x2+16x+3＝0B．5x2﹣16x﹣3＝0
C．5x2+16x﹣3＝0D．5x2﹣16x+3＝0
【分析】本题主要是考查的移项的问题，移项的依据是等式的基本性质一：
在等式的左右两边同时加上或减去同一个数或式子，所得结果仍然是等式．因此注意移项时要变号．
【答案】解：
方程﹣5x2+16x+3＝0的二次项系数化为正数，得5x2﹣16x﹣3＝0．
故选：
B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．
【变式2-2】（2020春•招远市期末）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项是0，则m的值（ ）
A．1B．1或2C．2D．±1
【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【答案】解：
由题意，得
m2﹣3m+2＝0且m﹣1≠0，
解得m＝2，
故选：
C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：
ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【变式2-3】（2020秋•邗江区校级月考）已知M＝2x2﹣2x+1，N＝ax2+bx+c（a，b，c为常数），若存在x使得M＝N，则a，b，c的值可以分别为（ ）
A．1，﹣1，0B．1，0，﹣1C．0，1，﹣1D．0，﹣1，1
【分析】把M与N代入M＝N中，整理为一般形式，判断方程有解即可得到结果．
【答案】解：
由M＝2x2﹣2x+1，N＝ax2+bx+c（a，b，c为常数），且M＝N，
得到2x2﹣2x+1＝ax2+bx+c，即（a﹣2）x2+（b+2）x+c﹣1＝0，
则a，b，c的值可以分别为0，﹣1，1，即﹣2x2+x＝0，方程有解，
故选：
D．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握其一般形式是解本题的关键．
【考点3一元二次方程的解】
【方法点拨】一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二
次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.
【例3】（2020春•沙坪坝区校级期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2020+2a﹣2b的值为（ ）
A．2018B．2020C．2022D．2024
【分析】把x＝﹣1代入方程即可求得a﹣b的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．
【答案】解：
∵把x＝﹣1代入ax2+bx﹣1＝0得：
a﹣b﹣1＝0，
∴a﹣b＝1，
∴2014+2a﹣2b＝2020+2（a﹣b）＝2020+2＝2022．
故选：
C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解题时，逆用一元二次方程解的定义易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析．
【变式3-1】（2020•中山市校级一模）a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2a2﹣2a+2020的值是（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
【分析】根据一元二次方程根的定义得到a2+a＝1，再把﹣2a2﹣2a+2020变形为﹣2（a2+a）+2020，然后利用整体代入的方法计算．
【答案】解：
∵a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，
∴a2+a﹣1＝0，即a2+a＝1，
∴﹣2a2﹣2a+2020＝﹣2（a2+a）+2020＝﹣2×1+2020＝2018．
故选：
A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【变式3-2】（2020春•崇川区校级期末）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为（ ）
A．2020B．﹣2020C．2019D．﹣2019
【分析】先把a代入对已知进行变形，再利用整体代入法求解．
【答案】解：
∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a2﹣1＝a，﹣a2+a＝﹣1，
∴﹣a3+2a+2020＝﹣a（a2﹣1）+a+2020＝﹣a2+a+2020＝2019．
故选：
C．
【点睛】考查了一元二次方程的解的知识，解题关键是把a的值代入原方程，从中获取代数式a2﹣1的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
【变式3-3】（2020春•雁塔区校级期末）已知m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2017m
3的值等于 ．
【分析】利用m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根得到m2＝2018m﹣1，m2+1＝2018m，利用整体代入的方法得到原式＝m
2，然后通分后再利用整体代入的方法计算．
【答案】解：
∵m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，
∴m2﹣2018m+1＝0，
∴m2＝2018m﹣1，m2+1＝2018m，
∴m2﹣2017m
3＝2018m﹣1﹣2017m
3
＝m
2
2
2
＝2018+2
＝2020．
故答案为2020．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【考点4解一元二次方程（指定方法）】
【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握直接开方法、配方法、公式法、因式分解法的步骤.
【例4】（2020秋•合肥校级期中）用指定的方法解下列方程：
（1）4（x﹣1）2﹣36＝0（直接开平方法）
（2）2x2﹣5x+1＝0（配方法）
（3）（x+1）（x﹣2）＝4（公式法）
（4）2（x+1）﹣x（x+1）＝0（因式分解法）
【分析】
（1）方程变形后，利用平方根的定义开方即可求出解；
（2）方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解；
（3）方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，当根的判别式大于等于0时，代入求根公式即可求出解；
（4）方程左边提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【答案】解：
（1）方程变形得：
（x﹣1）2＝9，
开方得：
x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，
解得：
x1＝4，x2＝﹣2；
（2）方程变形得：
x2
x
，
配方得：
x2
x
（x
）2
，
开方得：
x
±
，
则x1
，x2
；
（3）方程整理得：
x2﹣x﹣6＝0，
这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6，
∵△＝1+24＝25，
∴x
，
则x1＝3，x2＝﹣2；
（4）分解因式得：
（x+1）（2﹣x）＝0，
解得：
x1＝﹣1，x2＝2．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，以及直接开平方法，熟练掌握各自解法是解本题的关键．
【变式4-1】（2020春•文登区期末）解下列方程：
（1）（y﹣2）（y﹣3）＝12；
（2）4（x+3）2＝25（x﹣1）2；
（3）2x2+3x﹣1＝0（请用配方法解）．
【分析】
（1）根据因式分解法即可求出答案．
（2）根据因式分解法即可求出答案．
（3）根据配方法即可求出答案．
【答案】解：
（1）∵（y﹣2）（y﹣3）＝12，
∴y2﹣5y﹣6＝0，
∴（y﹣6）（y+1）＝0，
∴y＝6或y＝﹣1．
（2）∵4（x+3）2＝25（x﹣1）2，
∴4（x+3）2﹣25（x﹣1）2＝0，
∴[2（x+3）﹣5（x﹣1）][2（x+3）+5（x﹣1）]＝0，
∴（﹣3x+11）（7x+1）＝0，
∴x
或x
．
（3）∵2x2+3x﹣1＝0，
∴x2
x
0，
∴x2
x
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