《同底数幂的除法》.docx

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《同底数幂的除法》

课例名称

同底数幂的除法

教材版本

人民教育出版社

适用学科

初中数学

适用学段及年级

七年级

课例分析

教学设计分析

1．知识与技能：

会进行同底数幂的除法运算，并能解决一些实际问题，了解零指数幂和负整数指数幂的意义，能进行零指数幂和负整数指数幂的乘除法运算.

2．过程与方法：

经历探索同底数幂除法运算性质的过程，进一步体会幂的意义，经历观察、归纳、猜想、解释等数学活动，体验解决问题方法的多样性，发展学生的合情推理和演绎推理能力以及有条理的表达能力.

3．情感与态度：

在解决问题的过程中了解数学的价值，体会数学的抽象性、严谨性和广泛性

教学过程分析

一）复习回顾

前面我们学习了哪些幂的运算?

 在探索法则的过程中我们用到了哪些方法？

（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

nmnmaaa

 （m,n是正整数）

（2）幂的乘方，底数不变，指数相乘.

mnnmaa）（

（m,n是正整数）

（3）积的乘方等于积中各因数乘方的积.

nnnbaab）（

  （n是正整数）

（二）　情境引入

一种液体每升含有 1012 个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果,科学家们进行了实验,发现1滴杀虫剂可以杀死 109 个此种细菌，

（1）要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？

（2）你是怎样计算的？

（3）你能再举几个类似的算式吗？

注意事项：

解决问题

（1）学生可能根据题意列出算式

9121010

，也有可能列出

9121010

，应让学生认识到两种形式的实质是一样的.

问题

（2）用到的是有理数的运算，教学时应鼓励学生独立思考，在黑板上呈现不同的计算过程，并说明每一步的算理，学生可能出现不同的解决方法：

可能先将幂还原成大数再用分数的约分来计算：

100010101010.........101010........101010101010912912

（滴）；

也可能先逆用同底数幂的乘法再进行约分来计算：

10001010101010）1010（10103939939912

（滴）

问题（3）应尽可能多的在黑板上呈现学生举的算式，在教学时可以通过追问“这些算式举的对不对？

”帮助学生抓住特征：

同底数幂、除法.还可以再追问“这些算式应该叫做什么运算呢？

”引入这节课的研究对象：

同底数幂的除法运算.

（三）　归纳法则

1.计算你列出的算式

（选作）2.计算下列各式，并说明理由（m>n）

;1010）1（nm

;）3（）3）（2（nm

;）21（）21）（3（nm

3.你能用字母表示同底数幂的除法运算法则并说明理由吗？

注意事项：

方式一，如果学生列出的算式比较全面：

既有只含有理数的算式，又有既含字母又含数的算式，还有只含字母的算式，那么教学时可以先引导学生将所列举的算式进行分类，再按照由“数”到“混合”再到“字母”的顺序分三个层次进行探索，让学生自己完成由特殊过渡到一般的过程.

方式二：

如果学生列出的算式不够全面，就可以从特例中归纳出同底数幂除法的运算性质：

nmnmaaa

，培养学生的合情推理能力.在运用符号运算的过程中培养学生的演绎推

理能力.

例1 计算：

;）1（47aa

;）（））（2（36xx

;）3（28mm

）;（））（4（4xyxy

;）5（222bbm

;）（））（6（38nmnm

注意事项：

在教学时应重视对算理的理解，每一小题都应先让学生判断是不是同底数幂的除法运算，再说出每一步运算的道理，有意识地培养他们有条理的思考和语言表达能力.学生可能在计算第（3）（4）小题时出现问题，第（3）题的“－”号，学生在前几节课中解决过类似问题，教学时可以引导他们与第

（2）题对比，加深理解；第（4）题在同底数幂除法计算后增加了积的乘方的运算，应关注学生对学过的几种幂的运算是否能理解和区别，如果学生出现漏算或混淆的情况，可以让先他们判断运算，再说明算理，还可以根据实际教学情况补充几道对比练习，帮助学生提高认识.

（四）　探索拓广

（1）探索

1. 做一做：

     104=10000，                  24 =16

     10（）=1000，                 2（）=8

     10（）=100，                  2（）=4

     10（）=10，                   2（）=2

2. 猜一猜：

下面的括号内该填入什么数？

你是怎么想的？

与同伴交流：

     10（）=1                       2（）=1

     10（）=0.1                     2（）=

21

     10（）=0.01                    2（）=

41

10（）=0.001                   2（）=

81

3.你有什么发现？

能用符号表示你的发现吗？

4.你认为这个规定合理吗？

为什么

注意事项：

 1对学生而言并不困难，教学时学生可能会找到规律：

底数为10时，指数

每减小1，幂的值就会缩小

101

；底数为2时，指数每减小1，幂的值就会缩小

21

.学生也可能进而归纳“底数为a时，指数每减小1，幂的值就会缩小

a1

”可以追问“这里的a能取哪些值？

”从而让学生体会

0a

.

2.对学生来说是有些难度的，可以引导学生保持上面的规律进行猜想，教学时应给学生充分的独立思考和小组交流的时间.

3.从数的变化规律中进行分析、归纳与概括，再将猜想用符号一般性的表示出来得到：

10a

、

ppaa1

，这养的过程可以发展学生的合情推理能力.

4.通过解释结论的合理性来发展学生演绎推理能力，教学时应鼓励学生从不同的角度进行思考和解释，帮助他们更好地理解零指数幂、负整数指数幂的意义.学生可能出现的解释方法有：

方法一，从同底数幂的除法和约分的角度来进行说明：

我们前面这样推导了同底数幂的除法法则

nmaa

nmanmanamaaaaaaaaaa-个个个

，（a≠0，m,n是正整数，且m>n）

当m=n时，我们可以类似的得到

mmaaa0

amamaaaaaa个个

1，（

0a

，m,n为正整数）；

当m

nmpaaa

anamaaaaaa个个

pmnamnaaaaa111个

，（

0a

，p为正整数）.

方法二，从乘除法的逆运算关系来说明：

因为

00mmmaaaa

所以

）,0（10为正整数maaaamm

在这一结论的基础上再进一步得到

因为

10）（aaaapppp

所以

pppaaa11

（

0a

，p为正整数）

（2）拓广

1. 例2 计算：

用小数或分数分别表示下列各数：

4203106.1）3（;87）2（10）1（

2. 议一议：

计算下列各式，你有什么发现？

与同伴交流

20256153）8（）8）（4（;）21（）21）（3（;33）2（;77）1（

3. 当指数拓广到零和负整数范围后，我们前面学过的同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的运算法则是否也成立呢？

注意事项：

 1、主要是为了考察学生对有理数的零指数幂和负整数指数幂意义的理解，教学中应关注学生在计算中出现的问题，及时了解学生存在的困惑.

2、应注意引导学生在计算和交流的基础上，从“数”过渡到“式”，从而得到一般的结论：

只要m、n是整数，前面探索的同底数幂的除法法则

nmnmaaa

就成立. 

在将同底数幂的除法法则拓广到零指数幂和负整数指数幂范围后，学生自然会产生疑问：

前面的几种幂的运算是否也成立呢？

因此，3是2的自然延伸，这里可以让学生类比2自主解决，教师应关注学生是否能独立完成“举特例观察、归纳一般结论”的过程.如果时间较紧，可以让学生组内分工对三种运算分别进行探索

教学反思

五　反馈延伸

反馈练习：

1.计算

;）（））（1（23yy

;）2（412xx

;）3（0mm

;））（4（45rr

;）5（2nnkk

）（））（6（5mnmn

拓展延伸：

（1）

38）（）（abba

（2）（－38）÷（－3）4

注意事项：

反馈练习中学生可能在2计算第（4）小题中出现问题，这里应先转化为同底数幂，再相除，这道题也为拓展延伸做了铺垫.

拓展延伸应注意

（1）中

8）（ba

与

3）（ab

不是同底数幂，计算时应先化成同底，学生既可以把

8）（ba

化成

8）（ab

；也可以把

3）（ab

化成

3）（ba

，教学时应让学生充分交流、展示各自的作法，从而对于算理有更为清楚的认识.

（六）　课堂小结

1.这节课你学到了哪些知识？

2.现在你一共学习了哪几种幂的运算？

它们有什么联系与区别？

谈谈你的理解

3.我们在探索运算法则的过程中用到了哪些方法？

注意事项：

鼓励学生畅谈自己学习体会，激发学生对数学的学习兴趣与信心，还可以根据学情适当引导学生体会幂的运算法则的特点：

①运算中的底数不变，只对指数做运算，且指数的运算比幂的运算低一级②法则中的底数和指数具有普遍性，既可以是数，也可以是式③幂的运算中指数都是整数.

（七）　布置作业

1．完成课本习题1.4

2．预习作业：

（1）纳米是一种长度单位， 1米=1,000,000,000纳米，你能用科学记数法表示1,000,000,000吗？

反过来，1纳米等于多少米呢？

你能用今天学的知识解决吗？

这个结果还能用科学记数法表示吗？

（2）你知道生物课中接触的洋葱表皮细胞的直径是多少吗？

照相机的快门时间是多长呢？

中彩票头奖的可能性是多大？

头发的直径又是多少呢？

生活中你还见到过哪些较小的数？

请你查阅资料，下节课与同伴交流.

从学生学习视角分析

在教学时应重视对算理的理解，每一小题都应先让学生判断是不是同底数幂的除法运算，再说出每一步运算的道理，有意识地培养他们有条理的思考和语言表达能力.学生可能在计算第（3）（4）小题时出现问题，第（3）题的“－”号，学生在前几节课中解决过类似问题，教学时可以引导他们与第

（2）题对比，加深理解；第（4）题在同底数幂除法计算后增加了积的乘方的运算，应关注学生对学过的几种幂的运算是否能理解和区别，如果学生出现漏算或混淆的情况，可以让先他们判断运算，再说明算理，还可以根据实际教学情况补充几道对比练习，帮助学生提高认识

特色之处

1、主要是为了考察学生对有理数的零指数幂和负整数指数幂意义的理解，教学中应关注学生在计算中出现的问题，及时了解学生存在的困惑.

2、应注意引导学生在计算和交流的基础上，从“数”过渡到“式”，从而得到一般的结论：

只要m、n是整数，前面探索的同底数幂的除法法则

nmnmaaa

就成立. 

在将同底数幂的除法法则拓广到零指数幂和负整数指数幂范围后，学生自然会产生疑问：

前面的几种幂的运算是否也成立呢？

因此，3是2的自然延伸，这里可以让学生类比2自主解决，教师应关注学生是否能独立完成“举特例观察、归纳一般结论”的过程.如果时间较紧，可以让学生组内分工对三种运算分别进行探索