二次函数期末复习题基础中等.docx
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二次函数期末复习题基础中等
二次函数期末复习题(基础-中等)
知识导图
考点精练
考点一:
二次函数的定义、解析式、图象及性质
1.(金华)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论:
①a>0;②c>0;③b2﹣4ac>0,其中正确的个数是( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
第1题第2题
2.(凉山州)已知二次函数y=ax2+bx+1的大致图象如图所示,那么函数y=ax+b的图象不经过( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.若二次函数y=(m+1)x2+m2﹣2m﹣3的图象经过原点,则m的值必为( )
A.﹣1或3B.﹣1C.3D.无法确定
4.(陕西)对于抛物线y=ax2+(2a﹣1)x+a﹣3,当x=1时,y>0,则这条抛物线的顶点一定在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
5.抛物线y=3(x+2)2﹣2的顶点坐标是 .
6.若抛物线y=﹣x2+bx+c经过点(﹣2,3),则2c﹣4b﹣9= .
7.(辽阳)如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与y轴交于点C,点D的坐标为(0,﹣1),在第四象限抛物线上有一点P,若△PCD是以CD为底边的等腰三角形,则点P的横坐标为.
考点二:
二次函数的图象变换
1.把抛物线y=﹣2x2向上平移1个单位,再向右平移1个单位,得到的抛物线是( )
A.y=﹣2(x+1)2+1B.y=﹣2(x﹣1)2+1
C.y=﹣2(x﹣1)2﹣1D.y=﹣2(x+1)2﹣1
2.(山西)将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位,再向上平移5个单位,得到抛物线的函数表达式为( )
A.y=(x+1)2﹣13B.y=(x﹣5)2﹣3
C.y=(x﹣5)2﹣13D.y=(x+1)2﹣3
3.(山西)抛物线y=﹣2x2﹣4x﹣5经过平移得到y=﹣2x2,平移方法是( )
A.向左平移1个单位,再向下平移3个单位
B.向左平移1个单位,再向上平移3个单位
C.向右平移1个单位,再向下平移3个单位
D.向右平移1个单位,再向上平移3个单位
4.如果将抛物线y=x2﹣2x﹣1向上平移,使它经过点A(0,3),那么所得新抛物线的表达式是 .
5.(宁波)如图抛物线y=ax2﹣5ax+4a与x轴相交于点A、B,且过点C(5,4).
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标.
(2)请你设计一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限,并写出平移后抛物线的解析式.
考点三:
用待定系数法求二次函数解析式
1.(宁波)已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0),B(3,0),且过点C(0,﹣3).
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在直线y=﹣x上,并写出平移后抛物线的解析式.
2.(牡丹江)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C,对称轴是直线x=﹣3,B(﹣1,0),F(0,1),请解答下列问题:
(1)求抛物线的解析式;
(2)写出抛物线顶点E的坐标,并判断AC与EF的位置关系.
考点四:
二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系
1.抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点个数是( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
2.(随州)对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3,下列结论错误的是( )
A.它的图象与x轴有两个交点B.方程x2﹣2mx=3的两根之积为﹣3
C.它的图象的对称轴在y轴的右侧D.x<m时,y随x的增大而减小
3.(2018•莱芜)函数y=ax2+2ax+m(a<0)的图象过点(2,0),则使函数值y<0成立的x的取值范围是( )
A.x<﹣4或x>2B.﹣4<x<2C.x<0或x>2D.0<x<2
4.如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B(﹣1,3),与x轴的交点A在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,以下结论:
①b2﹣4ac=0;②a+b+c>0;③2a﹣b=0;④c﹣a=3;
⑤(a+c)2>b2。
其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.(大庆)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣1,0)、点B(3,0)、点C(4,y1),若点D(x2,y2)是抛物线上任意一点,有下列结论:
①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a;
②若﹣1≤x2≤4,则0≤y2≤5a;
③若y2>y1,则x2>4;
④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和
其中正确结论的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
6.若抛物线y=2x2+mx+8与x轴只有一个公共点,则m的值为 .
7.(兴安盟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线的顶点为A(1,﹣4),且与x轴交于B、C两点,点B的坐标为(3,0).
(1)写出C点的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)观察图象直接写出函数值为正数时,自变量的取值范围.
8.(荆州)已知关于x的一元二次方程x2+(k﹣5)x+1﹣k=0,其中k为常数.
(1)求证:
无论k为何值,方程总有两个不相等实数根;
(2)已知函数y=x2+(k﹣5)x+1﹣k的图象不经过第三象限,求k的取值范围;
(3)若原方程的一个根大于3,另一个根小于3,求k的最大整数值.
考点五:
建立二次函数模型解决实际问题
1.(株洲)某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为x轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x(单位:
米)的一部分,则水喷出的最大高度是( )
A.4米B.3米C.2米D.1米
第1题第3题
2.(河北)某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y=
(x>0),若该车某次的刹车距离为5m,则开始刹车时的速度为( )
A.40m/sB.20m/sC.10m/sD.5m/s
3.(枣庄)小敏在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y=﹣
x2+3.5的一部分(如图),若命中篮圈中心,则他与篮底的距离L是( )
A.3.5mB.4mC.4.5mD.4.6m
4.(营口)某服装店购进单价为15元童装若干件,销售一段时间后发现:
当销售价为25元时平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为 元时,该服装店平均每天的销售利润最大.
5.(安徽)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y= .
6.如图所示,某农场要建一个矩形的菜地ABCD,四边用木栏围成,其中AB边留一个2米的门(门不用木栏).现有木栏长40米,设CD=x,菜地面积为y.
(1)菜地的面积能达到120平方米吗?
说明理由;
(2)求菜地的面积的最大值.
7.某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于50%.经试销发现,销售量P(件)与销售单价x(元)符合一次函数关系,当销售单价为65元时销售量为55件,当销售单价为75元时销售量为45件.(Ⅰ)求P与x的函数关系式;
(Ⅱ)若该商场获得利润为y元,试写出利润y与销售单价x之间的关系式;
(Ⅲ)销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?
8.如图是某公园一喷水池,在水池中央有一垂直于地面的喷水柱,喷水时,水流在各方向沿形状相同的抛物线落下.若水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y=﹣(x﹣1)2+2.25
(1)求喷出的水流离地面的最大高度;
(2)求喷嘴离地面的高度;
(3)若把喷水池改成圆形,那么水池半径至少为多少时,才能使喷出的水流不落在水池外?
9.(随州)如图,某足球运动员站在点O处练习射门,将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位:
m)与飞行时间t(单位:
s)之间满足函数关系y=at2+5t+c,已知足球飞行0.8s时,离地面的高度为3.5m.
(1)足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高?
最大高度是多少?
(2)若足球飞行的水平距离x(单位:
m)与飞行时间t(单位:
s)之间具有函数关系x=10t,已知球门的高度为2.44m,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28m,他能否将球直接射入球门?
二次函数期末复习题(基础-中等)
参考答案与试题解析
考点一
1.【解答】解:
①∵抛物线的开口向下,
∴a<0,错误;
②∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上,
∴c>0,正确;
③∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b2﹣4ac>0,正确.
∴有2个正确的.故选:
C.
2.【解答】解:
由图中二次函数的图象开口向下可得a<0,
再由对称轴x=﹣
<0,可得b<0,
那么函数y=ax+b的图象经过二、三、四象限,
因此图象不经过第一象限.故选:
A.
3.【解答】解:
根据题意得m2﹣2m﹣3=0,
所以m=﹣1或m=3,
又因为二次函数的二次项系数不为零,即m+1≠0,
所以m=3.
故选:
C.
4.【解答】解:
把x=1,y>0代入解析式可得:
a+2a﹣1+a﹣3>0,
解得:
a>1,
所以可得:
﹣
,
,
所以这条抛物线的顶点一定在第三象限,故选:
C.
5.【解答】解:
由y=3(x+2)2﹣2,根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(﹣2,﹣2).
故答案为:
(﹣2,﹣2).
6.【解答】解:
∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点(﹣2,3),
∴﹣(﹣2)2﹣2b+c=3,
整理得,﹣2b+c=7,
∴2c﹣4b﹣9=2(c﹣2b)﹣9=2×7﹣9=5,
故答案为5.
7.【解答】解:
令x=0,则y=﹣3,
所以,点C的坐标为(0,﹣3),
∵点D的坐标为(0,﹣1),
∴线段CD中点的纵坐标为
×(﹣1﹣3)=﹣2,
∵△PCD是以CD为底边的等腰三角形,
∴点P的纵坐标为﹣2,
∴x2﹣2x﹣3=﹣2,
解得x1=1﹣
,x2=1+
,
∵点P在第四象限,
∴点P的横坐标为1+
.故选:
A.
考点二
1.【解答】解:
∵函数y=﹣2x2的顶点为(0,0),
∴向上平移1个单位,再向右平移1个单位的顶点为(1,1),
∴将函数y=﹣2x2的图象向上平移1个单位,再向右平移1个单位,得到抛物线的解析式为y=﹣2(x﹣1)2+1,故选:
B.
2.【解答】解:
因为y=x2﹣4x﹣4=(x﹣2)2﹣8,
所以抛物线y=x2﹣4x﹣4的顶点坐标为(2,﹣8),把点(2,﹣8)向左平移3个单位,再向上平移5个单位所得对应点的坐标为(﹣1,﹣3),所以平移后的抛物线的函数表达式为y=(x+1)2﹣3.故选:
D.
3.【解答】解:
y=﹣2x2﹣4x﹣5=﹣2(x+1)2﹣3,则该抛物线的顶点为(﹣1,﹣3),
根据顶点由(﹣1,﹣3)平移到(0,0),得到向右平移1个单位,再向上平移3个单位.
故选:
D.
4.【解答】解:
设平移后的抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣1+b,
把A(0,3)代入,得3=﹣1+b,解得b=4,
则该函数解析式为y=x2﹣2x+3.故答案是:
y=x2﹣2x+3.
5.【解答】解:
(1)把点C(5,4)代入抛物线y=ax2﹣5ax+4a,
得25a﹣25a+4a=4,
解得a=1.
∴该二次函数的解析式为y=x2﹣5x+4.
∵y=x2﹣5x+4=(x﹣
)2﹣
,
∴顶点坐标为P(
,﹣
).
(2)如先向左平移3个单位,再向上平移4个单位.
得到的二次函数解析式为y=(x﹣
+3)2﹣
+4=(x+
)2+
,即y=x2+x+2.
考点三
1.【解答】解:
(1)∵抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3,0),
可设抛物线解析式为y=a(x﹣1)(x﹣3),
把C(0,﹣3)代入得:
3a=﹣3,
解得:
a=﹣1,
故抛物线解析式为y=﹣(x﹣1)(x﹣3),即y=﹣x2+4x﹣3,
∵y=﹣x2+4x﹣3=﹣(x﹣2)2+1,
∴顶点坐标(2,1);
(2)先向左平移2个单位,再向下平移1个单位,得到的抛物线的解析式为y=﹣x2,平移后抛物线的顶点为(0,0)落在直线y=﹣x上(答案不唯一).
2.【解答】解:
(1)∵B(﹣1,0),抛物线的对称轴是直线x=﹣3,
∴A(﹣5,0),
根据题意得:
,解得:
,
∴抛物线的解析式为:
y=﹣x2﹣6x﹣5;
(2)当x=﹣3时,y=﹣(﹣3)2﹣6×(﹣3)﹣5=4,∴顶点E(﹣3,4),
当x=0时,y=﹣5,∴C(0,﹣5),
设直线AC的解析式为:
y=kx+b,
把A(﹣5,0)和C(0,﹣5)代入得:
,解得:
,
∴直线AC的解析式为:
y=﹣x﹣5,
同理可得:
直线EF的解析式为:
y=﹣x+1,
∴AC∥EF.
考点四
1.【解答】解:
当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,解得x1=﹣1,x2=3.
则抛物线与x轴的交点坐标为(﹣1,0),(3,0).故选:
C.
2.【解答】解:
A、∵b2﹣4ac=(2m)2+12=4m2+12>0,
∴二次函数的图象与x轴有两个交点,故此选项正确,不合题意;
B、方程x2﹣2mx=3的两根之积为:
=﹣3,故此选项正确,不合题意;
C、m的值不能确定,故它的图象的对称轴位置无法确定,故此选项错误,符合题意;
D、∵a=1>0,对称轴x=m,
∴x<m时,y随x的增大而减小,故此选项正确,不合题意;故选:
C.
3.【解答】解:
抛物线y=ax2+2ax+m的对称轴为直线x=﹣
=﹣1,
而抛物线与x轴的一个交点坐标为(2,0),
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(﹣4,0),
∵a<0,
∴抛物线开口向下,
∴当x<﹣4或x>2时,y<0.
故选:
A.
4.【解答】解:
①由图象可知:
△>0,
∴b2﹣4ac>0,故①错误;
②∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B(﹣1,3),
∴抛物线的对称轴为x=﹣1
∴(﹣3,0)关于直线x=﹣1的对称点坐标为(1,0),
(﹣2,0)关于直线x=﹣1的对称点坐标为(0,0)
由图象可知,令x=1代入y=ax2+bx+c,
∴y=a+b+c<0,故②错误;
③由对称轴可知:
x=
=﹣1,
∴2a﹣b=0,故③正确;
④∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B(﹣1,3),
∴3=a﹣b+c,
∵b=2a,
∴c﹣a=3,故④正确;
⑤令x=1,y=a+b+c<0,
令x=﹣1,y=a﹣b+c>0,
∴(a+c)2﹣b2=(a﹣b+c)(a+b+c)<0,
∴(a+c)2<b2,故⑤错误
故选:
B.
5.【解答】解:
抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3),即y=ax2﹣2ax﹣3a,
∵y=a(x﹣1)2﹣4a,
∴当x=1时,二次函数有最小值﹣4a,所以①正确;
当x=4时,y=a•5•1=5a,
∴当﹣1≤x2≤4,则﹣4a≤y2≤5a,所以②错误;
∵点C(4,5a)关于直线x=1的对称点为(﹣2,5a),
∴当y2>y1,则x2>4或x<﹣2,所以③错误;
∵b=﹣2a,c=﹣3a,
∴方程cx2+bx+a=0化为﹣3ax2﹣2ax+a=0,
整理得3x2+2x﹣1=0,解得x1=﹣1,x2=
,所以④正确.故选:
B.
6.【解答】解:
∵抛物线与x轴只有一个公共点,
∴△=0,
∴b2﹣4ac=m2﹣4×2×8=0;
∴m=±8.
故答案为:
±8.
7.【解答】解:
(1)∵顶点为A(1,﹣4),且与x轴交于B、C两点,点B的坐标为(3,0),
∴点C的坐标为(﹣1,0),
设抛物线的解析式为y=a(x﹣3)(x+1),
把A(1,﹣4)代入,可得
﹣4=a(1﹣3)(1+1),
解得a=1,
∴抛物线的解析式为y=(x﹣3)(x+1),
即y=x2﹣2x﹣3;
(2)由图可得,当函数值为正数时,
自变量的取值范围是x<﹣1或x>3.
8.【解答】
(1)证明:
∵△=(k﹣5)2﹣4(1﹣k)=k2﹣6k+21=(k﹣3)2+12>0,
∴无论k为何值,方程总有两个不相等实数根;
(2)解:
∵二次函数y=x2+(k﹣5)x+1﹣k的图象不经过第三象限,二次项系数a=1,
∴抛物线开口方向向上,
∵△=(k﹣3)2+12>0,
∴抛物线与x轴有两个交点,
设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1,x2,
∴x1+x2=5﹣k>0,x1•x2=1﹣k≥0,
解得k≤1,
即k的取值范围是k≤1;
(3)解:
设方程的两个根分别是x1,x2,
根据题意,得(x1﹣3)(x2﹣3)<0,
即x1•x2﹣3(x1+x2)+9<0,
又x1+x2=5﹣k,x1•x2=1﹣k,
代入得,1﹣k﹣3(5﹣k)+9<0,
解得k<
.则k的最大整数值为2.
考点五
1.【解答】解:
∵水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x,
∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标,
∴y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,
∴顶点坐标为:
(2,4),
∴喷水的最大高度为4米,故选:
A.
2.【解答】解:
当刹车距离为5m时,
即y=5,代入二次函数解析式:
5=
x2.
解得x=±10,(x=﹣10舍),
故开始刹车时的速度为10m/s.故选:
C.
3.【解答】解:
如图,把C点纵坐标y=3.05代入y=
x2+3.5中得:
x=±1.5(舍去负值),即OB=1.5,
所以L=AB=2.5+1.5=4m.故选:
B.
4.【解答】解:
设定价为x元,每天的销售利润为y.
根据题意得:
y=(x﹣15)[8+2(25﹣x)]=﹣2x2+88x﹣870,
∴y=﹣2x2+88x﹣870=﹣2(x﹣22)2+98,
∵a=﹣2<0,
∴抛物线开口向下,
∴当x=22时,y最大值=98.故答案为:
22.
5.【解答】解:
∵一月份新产品的研发资金为a元,
2月份起,每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,
∴2月份研发资金为a×(1+x),
∴三月份的研发资金为y=a×(1+x)×(1+x)=a(1+x)2.
故填空答案:
a(1+x)2.
6.【解答】解:
(1)设CD=x,则AD=
=21﹣x,
根据题意得:
x(21﹣x)=120,
整理得:
x2﹣21x+120=0,
∵△=b2﹣4ac=441﹣480<0,
∴菜地的面积不能达到120平方米.
(2)根据题意得:
y=x(21﹣x)=﹣x2+21x=﹣(x﹣
)2+
,
所以面积的最大值为
.
7.【解答】解:
(Ⅰ)设P=kx+b,
根据题意,得:
,解得:
,
则P=﹣x+120;
(Ⅱ)y=(x﹣60)(﹣x+120)=﹣x2+180x﹣7200=﹣(x﹣90)2+900;
(Ⅲ)∵销售单价不低于成本单价,且获利不得高于50%,
∴60≤x≤(1+50%)×60,即60≤x≤90,
又当x≤90时,y随x的增大而增大,
∴当x=90时,y取得最大值,最大值为900,
答:
销售单价定为90元时,商场可获得最大利润,最大利润是900元.
8.【解答】解:
(1)∵水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y=﹣(x﹣1)2+2.25,
∴喷出的水流离地面的最大高度为:
2.25m;
(2)当x=0,则y=﹣(0﹣1)2+2.25=1.25(m),
答:
喷嘴离地面的高度为1.25m;
(3)由题意可得;y=0时,0=﹣(x﹣1)2+2.25
解得:
x1=﹣0.5,x2=2.5,
答:
水池半径至少为2.5m时,才能使喷出的水流不落在水池外.
9.【解答】解:
(1)由题意得:
函数y=at2+5t+c的图象经过(0,0.5)(0.8,3.5),
∴
,解得:
,
∴抛物线的解析式为:
y=﹣
t2+5t+
,
∴当t=
时,y最大=4.5;
(2)把x=28代入x=10t得t=2.8,
∴当t=2.8时,y=﹣
×2.82+5×2.8+
=2.25<2.44,
∴他能将球直接射入球门.