运筹学胡运权版第三章运输问题课后习题答案资料.docx
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运筹学胡运权版第三章运输问题课后习题答案资料
P66:
8.某部门有3个生产同类产品的工厂(产地),生产的产品由4个销售点出售,各工厂A1,A2,A3的生产量、各销售点B1,B2,B3,B4的销售量(假定单位为t)以及各工厂到销售点的单位运价(元/t)示于下表中,问如何调运才能使总运费最小?
表
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
12
4
11
16
A2
2
10
3
9
10
A3
8
5
11
6
22
销量
8
14
12
14
48
解:
一、该运输问题的数学模型为:
可以证明:
约束矩阵的秩为r(A)=6.从而基变量的个数为6.
二、给出运输问题的初始可行解(初始调运方案)
1.最小元素法
思想:
优先满足运价(或运距)最小的供销业务。
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
12
4
11
16
A2
8
2
10
3
9
2
8
10
A3
8
5
11
6
22
销量
8
14
12
14
48
①
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
12
4
11
16
A2
8
2
10
2
3
9
②
8
10
A3
8
5
11
6
22
销量
①
8
14
10
14
48
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
12
10
4
10
11
166
A2
8
2
10
2
3
9
②
8
10
A3
8
5
11
6
22
销量
①
8
14
③
10
14
48
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
12
10
4
10
11
166
A2
8
2
10
2
3
9
②
8
10
A3
8
14
5
11
14
6
228
销量
①
8
④
14
③
10
14
48
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
12
10
4
10
11
166
A2
8
2
10
2
3
9
②
8
10
A3
8
14
5
11
8
14
6
⑤
220
销量
①
8
④
14
③
10
146
48
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
12
10
4
6
10
11
⑥
160
A2
8
2
10
2
3
9
②
8
100
A3
8
14
5
11
8
14
6
⑤
220
销量
①
8
④
14
③
10
⑥
140
48
此时得到一个初始调运方案(初始可行解):
其余(非基)变量全等于零。
此解满足所有约束条件,且基变量(非零变量)的个数为6(等于m+n-1=3+4-1=6).
总运费为(目标函数值)
2.伏格尔(Vogel)法
伏格尔法的基本思想:
运输表中各行各列的最小运价与次小运价之差值(罚数)应尽可能地小。
或者说:
优先供应罚数最大行(或列)中最小运费的方格,以避免将运量分配到该行(或该列)次小运距的方格中。
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
行差额
A1
4
12
4
11
16
0
A2
2
10
3
9
10
1
A3
8
5
11
6
22
1
销量
8
14
12
14
48
列差额
2
5
1
3
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
行差额
A1
4
12
4
11
16
0
A2
2
10
3
9
8
10
1
A3
8
14
5
11
14
6
22
1→2
销量
8
14
12
14
48
列差额
2
①
5
1
3
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
行差额
A1
4
12
4
11
16
0
A2
2
10
3
9
0
10
②
1
A3
8
14
5
11
8
14
6
22
1
销量
8
14
12
14
48
列差额
2
①
5
1
3
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
行差额
A1
4
12
4
11
16
0
A2
8
2
10
3
8
9
0
102
②
1
A3
8
14
5
11
8
14
6
22
1
销量
8
14
12
14
48
列差额
③
2
①
5
1
3
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
行差额
A1
4
12
12
4
12
11
164
⑤
7
A2
8
2
10
3
2
8
9
0
100
②
6
A3
8
14
5
11
8
14
6
22
1
销量
8
14
12
14
48
列差额
③
2
①
5
④
1
3
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
行差额
A1
4
12
12
4
4
12
11
160
⑤
7
A2
8
2
10
3
2
8
9
0
100
②
6
A3
8
14
5
11
8
14
6
22
1
销量
8
14
12
140
48
列差额
③
2
①
5
④
1
⑥
3
此时得到一个初始调运方案(初始可行解):
x13=12,x14=4,x21=8,x24=2,x32=14,x34=8
其余(非基)变量全等于零。
此解满足所有约束条件,且基变量(非零变量)的个数为6(等于m+n-1=3+4-1=6)。
总运费为(目标函数值):
三、解的最优性检验
⒈闭回路法(以下的闭回路都是顺时针方向)
看非基变量的检验数是否满足:
(1)首先对用最小元素法所确定的初始基本可行解进行检验。
参见前面的计算结果,可知非基变量分别为:
x11,x12,x22,x24,x31,x33。
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
X11
4
12
10
4
6
11
16
A2
8
2
10
2
3
9
10
A3
8
14
5
11
8
6
22
销量
8
14
12
14
48
σ11=C11+C23-(C13+C21)=4+3–(4+2)=1
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
X12
12
10
4
6
11
16
A2
8
2
10
2
3
9
10
A3
8
14
5
11
8
6
22
销量
8
14
12
14
48
σ12=C12+C34-(C14+C32)=12+6–(11+5)=2
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
12
10
4
6
11
16
A2
8
2
X22
10
2
3
9
10
A3
8
14
5
11
8
6
22
销量
8
14
12
14
48
σ22=C22+C13+C34-(C23+C14+C32)=10+4+6–(3+11+5)=20–19=1
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
X11
4
12
10
4
6
11
16
A2
8
2
10
2
3
X24
9
10
A3
8
14
5
11
8
6
22
销量
8
14
12
14
48
σ24=C24+C13-(C14+C23)=9+4–(11+3)=-1
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
12
10
4
6
11
16
A2
8
2
10
2
3
9
10
A3
X31
8
14
5
11
8
6
22
销量
8
14
12
14
48
σ31=C31+C14+C23-(C34+C13+C21)=8+11+3–(6+4+2)=22–12=10
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
12
10
4
6
11
16
A2
8
2
10
2
3
9
10
A3
8
14
5
X33
11
8
6
22
销量
8
14
12
14
48
σ33=C33+C14-(C13+C34)=11+11–(4+6)=12
由于σ24=C24+C13-(C14+C23)=9+4–(11+3)=-1<0,所以当前方案不是最优方案。
(2)然后对用伏格尔法所确定的初始基本可行解进行检验。
参见前面的计算结果,可知非基变量分别为:
x11,x12,x22,x23,x31,x33。
(伏格尔法)
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
X11
4
12
12
4
4
11
16
A2
8
2
10
3
2
9
10
A3
8
14
5
11
8
6
22
销量
8
14
12
14
48
σ11=C11+C24-(C14+C21)=4+9–(11+2)=0
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
X12
12
12
4
4
11
16
A2
8
2
10
3
2
9
10
A3
8
14
5
11
8
6
22
销量
8
14
12
14
48
σ12=C12+C34-(C14+C31)=12+6–(11+5)=2
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
12
12
4
4
11
16
A2
8
2
X22
10
3
2
9
10
A3
8
14
5
11
8
6
22
销量
8
14
12
14
48
σ22=C22+C34-(C24+C32)=10+6–(9+5)=16–14=2
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
12
12
4
4
11
16
A2
8
2
10
X23
3
2
9
10
A3
8
14
5
11
8
6
22
销量
8
14
12
14
48
σ23=C23+C14-(C13+C24)=3+11–(4+9)=14-13=1
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
12
12
4
4
11
16
A2
8
2
10
3
2
9
10
A3
X31
8
14
5
11
8
6
22
销量
8
14
12
14
48
σ31=C31+C24-(C21+C34)=8+9–(2+6)=17-8=9
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
12
12
4
4
11
16
A2
8
2
10
3
2
9
10
A3
8
14
5
X33
11
8
6
22
销量
8
14
12
14
48
σ33=C33+C14-(C13+C34)=11+11–(4+6)=22-10=12
由于所有非基变量的检验数都大于零,说明当前方案是最优方案,最优解为:
x11=12,x14=4,x21=8,x24=2,x32=14,x34=8。
2位势法
(1)首先对用最小元素法所确定的初始基本可行解进行检验。
参见前面的计算结果,可知基变量分别为:
x13,x14,x21,x23,x32,x34。
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
12
10
4
6
11
16
A2
8
2
10
2
3
9
10
A3
8
14
5
11
8
6
22
销量
8
14
12
14
48
构造方程组:
u1+v3=c13=4
u1+v4=c14=11
u2+v1=c21=2
u2+v3=c23=3
u3+v2=c32=5
u3+v4=c34=6
令自由变量u1=0,将其代入方程组,得:
u1=0,v3=4,v4=11,u3=-5,v2=10,u2=-1,v1=3,将其代入非基变量检验数:
σij=Cij-(ui+vj),得:
σ11=C11-(u1+v1)=4–(0+3)=1
σ12=C12-(u1+v2)=12–(0+10)=2
σ22=C22-(u2+v2)=10–(-1+10)=1
σ24=C24-(u2+v4)=9–(-1+11)=-1
σ31=C31-(u3+v1)=8–(-5+3)=10
σ33=C33-(u3+v3)=11–(-5+4)=12
与闭回路法计算的结果相同。
(2)然后对用伏格尔法所确定的初始基本可行解进行检验。
参见前面的计算结果,可知基变量分别为:
x13,x14,x21,x24,x32,x34。
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
12
12
4
4
11
16
A2
8
2
10
3
2
9
10
A3
8
14
5
11
8
6
22
销量
8
14
12
14
48
构造方程组:
u1+v3=c13=4
u1+v4=c14=11
u2+v1=c21=2
u2+v4=c24=9
u3+v2=c32=5
u3+v4=c34=6
令自由变量u1=0,将其代入方程组,得:
u1=0,v3=4,v4=11,u3=-5,v2=10,u2=-2,v1=4,将其代入非基变量检验数:
σij=Cij-(ui+vj),得:
σ11=C11-(u1+v1)=4–(0+4)=0
σ12=C12-(u1+v2)=12–(0+10)=2
σ22=C22-(u2+v2)=10–(-2+10)=2
σ23=C23-(u2+v3)=3–(-2+4)=-1
σ31=C31-(u3+v1)=8–(-5+4)=9
σ33=C33-(u3+v3)=11–(-5+4)=12
与闭回路法计算的结果相同。
四、解的改进(用闭回路法调整)
在使用最小元素法求得的初始方案中,由于σ24<0,说明当前方案不是最优,需要改进或调整。
见表1中非基变量x24所在的闭回路,调整量为ε=min{2,6}=2。
调整过程见表2:
表1
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
12
10
4
6
11
16
A2
8
2
10
2
3
9
10
A3
8
14
5
11
8
6
22
表2
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
12
10+2
4
6-2
11
16
A2
8
2
10
2-2
3
0+2
9
10
A3
8
14
5
11
8
6
22
表3
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
12
12
4
4
11
16
A2
8
2
10
3
2
9
10
A3
8
14
5
11
8
6
22
调整后的结果如表3所示,此结果正好与使用伏格尔法求得的结果相同,因此最优性检验过程同前,由于非基变量的检验系数都大于等于零,因此该方案是最优方案,最优解为:
x13=12,x14=4,x21=8,x24=2,x32=14,x34=8。
将最优解代入到目标函数中,得总运费为(目标函数值):
P66:
9.
解:
首先列出这一问题的产销平衡表,见表1。
表1
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
A2
A3
3
1
7
11
9
4
3
2
10
10
8
5
7
4
9
销量
3
6
5
6
一、该运输问题的数学模型为:
可以证明:
约束矩阵的秩为r(A)=6.从而基变量的个数为6.
二、给出运输问题的初始可行解(初始调运方案)
1.最小元素法
第1步,从表1中找出最小运价为1,表示应先将A2的产品供应B1。
在表中A2和B1的交叉格处填上3,得表2。
将表2中的B1列运价划去,得表3
表2
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
A2
A3
3
31
7
11
9
4
3
2
10
10
8
5
7
41
9
销量
3
6
5
6
①
表3
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
A2
A3
3
31
7
11
9
4
3
2
10
10
8
5
7
41
9
销量
3
6
5
6
第2步,在表3未划去的元素中再找出最小运价为2,确定A2多余的1t物资供应B3。
得表4。
将表4的A2行运价划去,得表5