立方差公式.docx
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立方差公式
立方差公式
立方差公式：
a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）
推导过程
1.证明如下：
（a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3
所以a3-b3=（a-b）3-（-3a2b+3ab2）
=（a-b）（a-b）2+3ab（a-b）
=（a-b）（a2-2ab+b2+3ab）=（a-b）（a2+ab+b2）
2.（因式分解思想）证明如下：
a3-b3=a3-a2b-b3+a2b
=a2（a-b）+b（a2-b2）
=a2（a-b）+b（a+b）（a-b）
=（a-b）[a2+b（a+b）]
=（a-b）（a2+ab+b2）
立方和公式及其推广：
（1）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）
（2）an+bn=（a+b）[a（n-1）-a（n-2）×b+...+（-1）^（r-1）×a^（n-r）×b^（r-1）+...+b^（n-1）]（n为大于零的奇数，r为中括号内项的序数）（后面括号中各项式的幂之和都为n-1）。
an表示a的n次方。
字母表达
立方和公式
立方差公式
三项立方和公式
推导过程：
完全立方公式
（a-b）3=a3+3ab2-3a2b-b3
立方和累加
正整数范围中
注：
可用数学归纳法证明
2公式证明编辑
迭代法一
我们知道：
0次方和的求和公式
，即
1次方和的求和公式
，即
2次方和的求和公式
，即
——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式
，迭代即得。
具体如下：
（k+1）3-k3=（k3+3k2+3k+1）-k3=3k2+3k+1
利用上面这个式子有：
23-13=3×12+3×1+1
33-23=3×22+3×2+1
43-33=3×32+3×3+1
53-43=3×42+3×4+1
……
（n+1）3-n3=3×n2+3n+1
把上述各等式左右分别相加得到：
（n+1）3-13=3×（12+22+32+……+n2）+3×（1+2+3+……+n）+n×1
n3+3n2+3n+1-1=3×（12+22+32+……+n2）+3×n（n+1）/2+n
（1）
其中12+22+32+……+n2=n（n+1）（2n+1）/6
代入
（1）式，整理後得13+23+33+……+n3=[n（n+1）/2]2
迭代法二
取公式：
系数可由杨辉三角形来确定
那么就得出：
…………⑴
…………⑵
…………⑶
…………
…………（n）.
于是⑴+⑵+⑶+…+（n）有
左边=
右边=
把以上这已经证得的三个公式代入，
得
移项后得
等号右侧合并同类项后得
即
推导完毕。
排列组合法
设数列{
}=n（n+1）（n+2），其n项和为
，且设
=
+
+
+…+
，则
=1×（1+1）×（1+2）+2×（2+1）×（2+2）+…+n（n+1）（n+2）
=
=
=
+3
+2
=
+3×
+2×
=
+
+n（n+1）
又
=1×（1+1）×（1+2）+2×（2+1）×（2+2）+…+n（n+1）（n+2）
=
+
+
+…+
=
（
+
+
+…+
）
=
（
+
+
+…+
）
=
（
+
+
+…+
）
=
（
+
+…+
）
=…
=
=6
∴
由此得
=
。
[1-2]
因式分解证明
3几何验证编辑
图象化立方和公式
透过绘立体的图像，也可验证立方和。
根据右图，设两个立方，总和为：
把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：
要得到
，可使用
的空白位置。
该空白位置可分割为3个部分：
·
·
·
把三个部分加在一起，便得：
=
=
之后，把
减去它，便得：
公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：
=
可透过完全平方公式，得到：
=
=
这样便可证明：
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