第八章 0渗透数学思想方法的教学.docx

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第八章0渗透数学思想方法的教学

第八章　　渗透数学思想方法的教学

　　中学数学教育应加强渗透数学思想方法的教学，这已成为当今数学教育工作者的共识。

如果说数学问题是数学的心脏，那么数学思想方法就是数学科学的精髓、灵魂。

数学教育应建立在数学思想方法和教学手段现代化的基础上，其内容仍以经典的、基础的数学为主，使用现代数学的方法和语言，渗透现代数学的思想方法。

因为只有这样，学生掌握了数学思想方法，就能从整体上、本质上把握数学，优化数学思维品质、实现教育目标，使学生获得终生受益的东西。

就是说：

学生即使把数学知识忘记了，但数学的精神、思想和方法也还会深深地铭刻在头脑中，并长久地学习、工作、生活中发挥积极的作用。

　　因此，在中学数学教学中，渗透数学思想方法的状况，应作为评估数学教学质量的深层次标准来考察；也应该作为区分现代数学教学与传统数学教学的一个重要标志来对待。

　　第一节　数学思想方法与素质教育　　

　　素质，是人们对事实践活动所必须具备的基本条件。

　　一般认为，素质教育是依据人的发展和社会发展的实际需要，以全面提高全体学生的基本品质为根本目的，以尊重学生主体和主动精神、注重开发人的智慧、注重形成人的健全个性、注重人的发展为根本特征的教育。

　　数学素质教育则是素质教育在数学学科中的具体体现，它除保持了素质教育所具有的根本特征外，还要强调培养学生的数学素质。

一个人的数学素质是指在先天基础上，主要通过后天学习所获得的数学观念、知识、能力等的总称，是一种稳定的心理状态，是良好的数学意识，科学的思维品质，较强的创造能力和熟练运用数学语言、符号的能力的有机结合。

　　数学素质教育的内容和功能一般可分为三个层次：

　　第一个层次是知识的运用，即运用数学的意识。

这就要求学生具有数学感，能看到数学在实际中的原型，建立数学形式训练与客观实际应用的联系，把实际问题抽象成数学问题，运用所学数学知识解决实际问题。

　　第二个层次是方法及能力的培养。

即将数学学习成果由数学知识领域向非数学知识领域迁移。

通过数学学习，人们应该能够将由数学教育中获得的思想方法与能力，迁移到所从事的工作和生活中去。

在一定程度上满足和形成参加社会生活所需要的能力要求。

　　第三个层次是观念、精神、品格的形成。

这是具有更普遍意义的非智力因素方面的素质。

通过学习数学，应使学生逐步具备辩证唯物主义的思想，形成相关的优化心理品质，建立起自信心，从而促使知、情、意、行协调发展。

　　我们一方面要端正教育观念，明确培养目标，明确我们究竟要把学生培养成具有怎样数学素质的人才；另一方面要进行数学教育改革，要面向全体学生，要使学生有兴趣学数学，学有所获。

我们的数学教育既要适应社会发展的需要又要使学生的整体水平有所提高。

　　在基础教育阶段的数学教育不仅是要把学生都培养成专业数学工作者，而是要让学生具备一定的科学文化素质。

日本数学家和数学教育家米山国藏说过一段寓意深刻的话：

学生们在初中或高所学到的数学知识，　在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就忘掉了。

然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着重要作用。

　　由此看来，数学的基本知识和基本技能只是学生要学习的一个方面。

而学会数学思想方法并能将其迁移到自己的社会生活中去，对学生是更必要、更重要的。

　　《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用修订版）》（以下简称《大纲》），已于2000年3月由教育部颁发。

学习《大纲》后，我们会认识到：

学好数学思想和方法是初中数学教学目的中的重要内容之一。

《大纲》对教学目的作进一步阐述时明确提出，“基础知识是指：

初中数学中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内部所反映出来的数学思想和方法。

”“思维能力主要是指：

会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理；会合乎逻辑地、准蓉阐述自己的思维和观点；运用数学概念、原理、思想和方法辨明数学关系。

形成良好的思维品质，提高思维水平。

”在培养创新意识时要“会从数学的角度发现和提出问题，并用数学方法加以探索、研究和解决。

”由此可见，《大纲》已把数学思想和方法的教学放在十分重要的地位。

　　世界各国都十分重视数学思想方法的教学。

例如，1989年NCTM（全美数学老师协会）发表了《中小学数学课程与评估标准》。

在这个文件中论述了数学教育改革的目标是：

应当培养出有数学素养的社会成员，并提出作为“有数学素养”标志的五项条件：

（1）懂得数学的价值；

（2）对自己的数学能力有信心；

　　（3）有解决数学课题的能力；

　　（4）学会数学交流；

　　（5）学会数学的思想方法。

　　据袁明德先生介绍，美国初中数学教材把数学思想和方法的讲授放在比较重要的地位，相应的数学知识则是载体，为了突出数学思想和方法，并且考虑到初中学生的基础和接受能力，对一些繁难的内容往往做必要的弱化处理，而不过分追求概念的严谨、体系的完整。

　　1990年，前苏联国家教委颁布的中学数学教育大纲认为，数学的功能包括两个方面：

（1）实践的功能，与人们在生产活动中必须的工具的制造和使用相联系；

（2）精神的功能，与人的思维，以及与掌握认识世界和改造世界的一定的方法——数学方法相联系。

　　普通中学数学教育的基本任务是：

（1）使学生掌握作为现代社会的人在日常生活和生产活动中所必需的，并足以适应其它学科的学习和继续学习之要求的数学知识，能力和技能；

（2）使学生形成关于数学的思想、方法及其对认识世界之作用的概念；

　　（3）用数学手段培养和发展学生个性的理性品质。

　　现在俄罗斯的中学仍然执行这个大纲。

　　美国将学会数学思想方法作为“有数学素养”的标志，俄罗斯把使学生形成关于数学的思想方法列为数学教育的三个基本任务之一。

　　由此可见，重视数学思想方法的教学在我国，在国际上都已成为数学教育改革的一种潮流。

这使我们认识到重视数学思想方法的教学对学生数学素养的培养起着十分重要的作用。

第二节　中学数学思想方法概述

　　方法是一个元概念，它和点、线、面、体、运动、集合等概念一样，不能逻辑地定义，只能概略地描述。

例如，可把“方法”说成是人们在认识世界和改造世界的活动中所采取的方式、手段、途径等的统称。

这里的“方式”、“手段”、“途径”，与“方法”大体上是“同义词”，并非是严格的逻辑定义。

　　人们对“方法”的含义，从未有很大的争论。

一般认为，方法是相对于某一目的而言的，方法是人的一种活动，人在活动中为达到某一目的，可以主观能动地选择、组合和创造各种手段、方式加以实行。

　　人们将学习数学、研究数学、讲授数学和应用数学的活动统称为“数学活动”。

数学方法，顾名思义，就是人们从事数学活动时所用的方法。

数学方法论则是对古今数学方法进行概括、分类、评价以及如何运用的论述。

　　现在再来谈一谈数学思想和数学方法之间的关系。

数学思想，尚不成为一种专有名词，人们常用数学思想来泛指某些有重大意义的、内容比较丰富、体系相当完整的数学成果。

例如坐标思想、极限思想、概率统计思想等。

可是对这些例子来说，将思想换成方法同样适用。

一般地说，数学思想是人们对数学内容的本质认识，是对数学知识和数学方法的进一步抽象和概括，属于对数学规律的理性认识的范畴。

而数学方法则是解决数学问题的手段，具有“行为规则”的意义和一定的可操作性。

同一个数学成果，当用它去解决这个别问题时，就称之为方法；当论及它在数学体系中的价值和意义时，就称之为方法；当论及它在数学体系中的价值和意义时，就称之为思想。

例如“极限”，用它去求导数、求积分时，人们就说极限方法。

当我们讨论它的价值，即将变化过程趋势用数值加以表示，使无限向有限转化时，人们就讲“极限思想”了，为了将这两重意思合在一起说，于是也有“极限思想方法”、“数学思想方法”之类的提法。

M.克莱因（M.Klein）的巨著《古今数学思想》，其实说的都是“古今数学方法”，只不过从数学史角度看，人们更加注重那些数学大师们的思想贡献、文化价值，因而才称之为数学思想。

　　总之，欲将数学思想与数学方法严格区分开来是困难的。

因此，人们常常对这些两者不加区分，而统称为数学思想方法，这样会显得更为方便。

　　现在我们对数学思想方法作进一步的阐述。

　　数学思想方法是在数学科学的发展中形成的，它伴随着数学知识体系的建立而确立，它是数学知识体系的灵魂。

　　数学思想方法是对数学事实、数学概念、数学原理与数学方法的本质认识。

它从属于哲学思想方法和一般科学思想方法，它是数学中具有奠基性、总括性的基础部分，含有传统数学思维方法的精华和现代数学思想方法的基本点，它的内容是随数学内容的发展而发展的，不是一成不变的。

　　在初中数学教材中蕴含着哪些数学思想方法呢？

　　《大纲》在初中代数的教学要求中指出：

“使学生掌握消元、降次、配方、换元等常用的数学方法，解决某些数学问题，理解‘特殊一般特殊’、‘未知已知’、用字母表示数、数形结合和把复杂问题转化成简单问题等基本的思想方法。

”又指出要“使学生了解已知与未知、特殊与一般、正与负、等与不等、常量与变量等辩证关系，以及反映在函数概念中的运动变化观点。

了解反映在数与式的运算和求方程解的过程中的矛盾转化的观点。

　　《大纲》在初中几何的教学要求中指出要“逐步培养学生观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象、概括的能力，逐步使学生掌握简单的推理方法，从而提高学生的思维能力。

”“……几何概念、性质之间的联系和图形的运动、变化，对学生进行辩证唯物主义的教育。

”

　　我们认为数学思想方法，从接受的难易程度的角度可分为三个层次：

　　一是基本具体的数学方法，如配方法、换元法、待定系数法、归纳法与演绎法等；

　　二是科学的逻辑方法，如观察、归纳、类比、抽象概括等方法，以及分析法、综合法与反证法等逻辑方法；

　　三是数学思想，如数形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思维及化归与转化的思想。

　　数学思想方法还可以按其它方式进行分类。

例如，胡炯涛在《数学教学论》中认为：

最高层次的基本数学思想是数学教材的基础与起点，整个中学数学的内容均循着基本数学思想的轨迹而展开。

“符号化与变换思想”，“集合与对应思想”以及“公理化与结构思想”构成了最高层次的基本数学思想。

他认为中学数学基本思想是指：

渗透在中学数学知识与方法中具有普遍而强有力适应性的本质思想。

归纳为十个方面的内容：

符号思想、映射思维、化归思想、分解思想、转换思想、参数思想、归纳思想、类比思想、演绎思想、模型思想。

　　又如，任子朝在《改进高考命题推理素质教育》一文中认为数学思想方法包括：

数形结合的思想，分类讨论的思想，函数与方程的思想，化归与转化的思想；逻辑学中的方法：

分析法、综合法、反证法、归纳法；具体数学方法：

配方法、换元法、待定系数法、同一法等。

第三节　数形结合思想

　　数形结合就是在研究数学问题时，由数思形，以形思数，数形结合考虑问题的一种思想方法。

运用数形结合方法研究数学问题，对于沟通代数与几何的联系，具有指导意义。

　　1.构造数轴或直角坐标系解决某些问题

　　已知：

a、b均为负数，c为正数，且|b|>|a|>|c|，化简

。

　　解：

依题意，画数轴、标出各数。

　　得b

　　∴

　　说明：

通过构造数轴，将表示a、b、c的点标在数轴上后，便能直观地看出b+c<0,a-c<0,b-a<0，再来化简代数式就不易出错了。

　　例2 如图2，已知抛物线y=x2+px+q,交x轴于A、两点，交y轴负半轴于C点，∠ACB=9