所以，当x＝3时，S取最大值9.]
表格信息类建模问题
【例1】 某国2015年至2018年国内生产总值（单位：
万亿元）如下表所示：
年份
2015
2016
2017
2018
x（年）
0
1
2
3
生产总值（万亿元）
8.2067
8.9442
9.5933
10.2398
（1）画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
（2）利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；
（3）利用关系式预测2019年该国的国内生产总值．
[解]
（1）根据表中数据画出函数图形，如图所示．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数为y＝kx＋b.
把直线通过的两点（0,8.2067）和（3,10.2398）代入上式，解方程组，可得k＝0.6777，b＝8.2067.
所以它的一个函数关系式为y＝0.6777x＋8.2067.
（2）由
（1）中得到的关系式为f（x）＝0.6777x＋8.2067，计算出2016年和2017年的国内生产总值分别为
f
（1）＝0.6777×1＋8.2067＝8.8844，
f
（2）＝0.6777×2＋8.2067＝9.5621.
与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．
（3）2019年，即x＝4，由上述关系式，得y＝f（4）＝0.6777×4＋8.2067＝10.9175，
即预测2019年该国的国内生产总值约为10.9175万亿元．
（1）根据表格信息，画出图像；
（2）根据图像特征，选定函数模型；
（3）用待定系数法求出函数解析式；
（4）检验模型．
1．
（1）某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
x
1.99
3
4
5.1
8
y
0.99
1.58
2.01
2.35
3.00
现有如下5个模拟函数：
（ ）
①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x；⑤y＝
＋1.74.
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________（填序号）．
（2）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：
高峰时间段用电价格表
高峰月用电量（单位：
千瓦时）
高峰电价（单位：
元/千瓦时）
50及以下的部分
0.568
超过50至200的部分
0.598
超过200的部分
0.668
低谷时间段用电价格表
低谷月用电量（单位：
千瓦时）
低谷电价（单位：
元/千瓦时）
50及以下的部分
0.288
超过50至200的部分
0.318
超过200的部分
0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元．（用数字作答）
（1）④
（2）148.4 [
（1）画出散点图如图所示．
由图可知上述点大体在函数y＝log2x的图像上，故选择y＝log2x可以近似地反映这些数据的规律．故填④.
（2）高峰时间段200千瓦时的电费为50×0.568＋150×0.598＝118.1（元），低谷时间段100千瓦时的电费为50×0.288＋50×0.318＝30.3（元），所以这个家庭该月应付电费为118.1＋30.3＝148.4（元）．]
图像信息解读问题
【例2】 如图1是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图像．
图1 图2 图3
（1）试说明图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；
（2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示．你能根据图像，说明这两种建议的意义吗？
（3）此问题中直线斜率的实际意义是什么？
（4）图1、图2、图3中的票价分别是多少元？
[解]
（1）点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示盈利．
（2）图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价．
（3）斜率表示票价．
（4）图1、2中的票价是2元，图3中的票价是4元．
1．这类问题应结合图像的特征，观察坐标轴所代表的含义，紧扣题目的语言描述，并把它转化为数学特征（单调性、最值、解析式等）即可解决．
2．挖掘图像中的信息是关键．
2．电信局为了配合客户的不同需要，设有A，B两种优惠方案，这两种方案的应付话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示（实线部分）（注：
图中MN∥CD）．试问：
（1）若通话时间为2小时，按方案A，B各付话费多少元？
（2）方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？
（3）通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？
[解] 由图可知M（60,98），N（500,230），C（500,168），MN∥CD.
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA（x），fB（x），
则fA（x）＝
fB（x）＝
（1）当通话时间为2小时，A，B两种方案的话费分别为116元、168元．
（2）因为当x>500时，fB（x＋1）－fB（x）＝
（x＋1）＋18－
x－18＝
＝0.3，
所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．
（3）由题图可知，当0≤x≤60时，fA（x）当x>500时，fA（x）>fB（x）；
当60fB（x），
即
x＋80>168，解得x>
.
综上，当通话时间在
范围内，方案B比方案A优惠.
数据拟合
[探究问题]
1．建立拟合函数的步骤是什么？
提示：
依据问题给出的数据，建立反映数据变化规律的拟合函数的探索步骤为：
（1）首先建立直角坐标系，画出散点图；
（2）根据散点图设出比较接近的、可能的函数模型的解析式；
（3）利用待定系数法求出各解析式；
（4）对模型拟合程度进行检验，若拟合程度差，重新选择拟合函数，若拟合程度好，符合实际问题，就用这个函数模型解释实际问题．
2．今有一组试验数据如下表所示：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
u
1.5
4.04
7.5
12
18.01
则能体现这些数据关系的函数模型是（ ）
A．u＝log2tB．u＝2t－2
C．u＝
D．u＝2t－2
提示：
可以先描出各点（如图），并利用数据点直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．
由图可知，图像不是直线上的点，排除选项D；图像不符合对数函数的图像特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，
＝
＝4，由表格知当t＝3时，u＝4.04，模型u＝
能较好地体现这些数据关系．故选C.
【例3】 某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
投资A种商品金额（万元）
1
2
3
4
5
6
获纯利润（万元）
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40
投资B种商品金额（万元）
1
2
3
4
5
6
获纯利润（万元）
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51
该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不知投资A，B两种商品各多少最合算．请你帮助该经营者制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润．（结果保留两个有效数字）
[思路探究] 先画出投资额与获利的图像，再选择函数模型．
[解] 设投资额为x万元时，获得的利润为y万元．在直角坐标系中画出散点图并依次连接各点，如图所示，观察散点图可知图像接近直线和抛物线，因此可考虑用二次函数描述投资A种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系；用一次函数描述投资B种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系．
设二次函数的解析式为y＝－a（x－4）2＋2（a＞0），
一次函数的解析式为y＝bx.
把x＝1，y＝0.65代入y＝－a（x－4）2＋2（a＞0），
得0.65＝－a（1－4）2＋2，解得a＝0.15.
故前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数关系可近似地用y＝－0.15（x－4）2＋2表示．
把x＝4，y＝1代入y＝bx，得b＝0.25，
故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y＝0.25x表示．
令下月投入A，B两种商品的资金分别为xA万元、xB万元，总利润为W万元，得
W＝yA＋yB＝－0.15（xA－4）2＋2＋0.25xB，
其中xA＋xB＝12，
则W＝－0.15
＋0.15·
＋2.6（0≤xA≤12），
则当xA＝
≈3.2万元时，W取得最大值，
0.15·
＋2.6≈4.1万元，此时xB＝
≈8.8（万元）．
即投资A商品3.2万元，投资B商品8.8万元时，下月可获得的最大纯利润为4.1万元．
此类题为开放性的探究题，函数模型不确定，需要我们去探索尝试，找到最适合的模型，此类题目解题的一般步骤为：
1作图：
根据已知数据作出散点图；
2选择函数模型：
根据散点图，结合基本初等函数的图像形状，找出比较接近的函数模型；
3求出函数模型：
选出几组数据代入，求出函数解析式；
4利用所求得的函数模型解决问题.
3．某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系（见下表）：
x
…
30
40
45
50
…
y
…
60
30
15
0
…
（1）在所给的坐标系中（如图），根据表中提供的数据描出实数对（x，y）对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f（x）；
（2）设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润．
[解] 根据上表作图，点（30,60），（40,30），（45,15），（50,0）近似在同一条直线上，设直线方程为y＝kx＋b（k≠0），
∴
∴y＝－3x＋150（x∈N）．
经检验点（30,60），（40,30）也在此直线上，
故所求函数关系式为
y＝－3x＋150（x∈N）．
（2）依题意有P＝y（x－30）
＝（－3x＋150）（x－30）
＝－3（x－40）2＋300，
∴当x＝40时，P有最大值300.
故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润.
1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：
（1）利用给定的函数模型解决实际问题；
（2）建立确定性的函数模型解决实际问题；
（3）建立拟合函数模型解决实际问题．
2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．
3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图等使实际问题数学符号化．
1．思考辨析
（1）在建立实际问题的函数模型时，除了要考虑变量的数学意义，还要考虑变量的实际意义．（ ）
（2）由函数模型得到的解就是实际问题的解．（ ）
[答案]
（1）√
（2）×
2．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了akm，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了bkm（b＜a），当他想起诗句“不到长城非好汉”时，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图像大致为（ ）
A B C D
C [由题意可知，s是关于时间t的一次函数，所以其图像特征是直线上升．由于中间休息了一段时间，该段时间的图像应是平行于横轴的一条线段．然后原路返回，图像下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升．故选C.]
3．国内快递1000g以内的包裹的邮资标准如下表：
运送距离x（km）
0＜x≤500
500＜x≤1000
1000＜x≤1500
…
邮资y（元）
5.00
6.00
7.00
…
如果某人在西安要快递800g的包裹到距西安1200km的某地，那么他应付的邮资是（ ）
A．5.00元B．6.00元
C．7.00元D．8.00元
C [由题意可知，当x＝1200时，y＝7.00元，故选C.]
4.要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户，如图所示，窗框为定长l的条件下，要使窗户透光面积S最大，窗户应具有怎样的尺寸？
[解] 由题意得窗框总长l＝
x＋x＋2y，
∴y＝
，∴S＝
x2＋xy
＝
x2＋x·
＝－
＋
.
由
得x∈
，
当x＝
时，Smax＝
，
此时y＝
＝
，
所以，当矩形的高等于半圆的半径时，窗户透光面积最大．
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