所以,当x=3时,S取最大值9.]
表格信息类建模问题
【例1】 某国2015年至2018年国内生产总值(单位:
万亿元)如下表所示:
年份
2015
2016
2017
2018
x(年)
0
1
2
3
生产总值(万亿元)
8.2067
8.9442
9.5933
10.2398
(1)画出函数图形,猜想它们之间的函数关系,近似地写出一个函数关系式;
(2)利用得出的关系式求生产总值,与表中实际生产总值比较;
(3)利用关系式预测2019年该国的国内生产总值.
[解]
(1)根据表中数据画出函数图形,如图所示.从函数的图形可以看出,画出的点近似地落在一条直线上,设所求的函数为y=kx+b.
把直线通过的两点(0,8.2067)和(3,10.2398)代入上式,解方程组,可得k=0.6777,b=8.2067.
所以它的一个函数关系式为y=0.6777x+8.2067.
(2)由
(1)中得到的关系式为f(x)=0.6777x+8.2067,计算出2016年和2017年的国内生产总值分别为
f
(1)=0.6777×1+8.2067=8.8844,
f
(2)=0.6777×2+8.2067=9.5621.
与实际的生产总值相比,误差不超过0.1万亿元.
(3)2019年,即x=4,由上述关系式,得y=f(4)=0.6777×4+8.2067=10.9175,
即预测2019年该国的国内生产总值约为10.9175万亿元.
(1)根据表格信息,画出图像;
(2)根据图像特征,选定函数模型;
(3)用待定系数法求出函数解析式;
(4)检验模型.
1.
(1)某学校开展研究性学习活动,一组同学获得了下面的一组试验数据:
x
1.99
3
4
5.1
8
y
0.99
1.58
2.01
2.35
3.00
现有如下5个模拟函数:
( )
①y=0.58x-0.16;②y=2x-3.02;③y=x2-5.5x+8;④y=log2x;⑤y=
+1.74.
请从中选择一个模拟函数,使它能近似地反映这些数据的规律,应选________(填序号).
(2)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价,该地区的电网销售电价表如下:
高峰时间段用电价格表
高峰月用电量(单位:
千瓦时)
高峰电价(单位:
元/千瓦时)
50及以下的部分
0.568
超过50至200的部分
0.598
超过200的部分
0.668
低谷时间段用电价格表
低谷月用电量(单位:
千瓦时)
低谷电价(单位:
元/千瓦时)
50及以下的部分
0.288
超过50至200的部分
0.318
超过200的部分
0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时,低谷时间段用电量为100千瓦时,则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元.(用数字作答)
(1)④
(2)148.4 [
(1)画出散点图如图所示.
由图可知上述点大体在函数y=log2x的图像上,故选择y=log2x可以近似地反映这些数据的规律.故填④.
(2)高峰时间段200千瓦时的电费为50×0.568+150×0.598=118.1(元),低谷时间段100千瓦时的电费为50×0.288+50×0.318=30.3(元),所以这个家庭该月应付电费为118.1+30.3=148.4(元).]
图像信息解读问题
【例2】 如图1是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图像.
图1 图2 图3
(1)试说明图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义;
(2)由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议,如图2、3所示.你能根据图像,说明这两种建议的意义吗?
(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么?
(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元?
[解]
(1)点A表示无人乘车时收支差额为-20元,点B表示有10人乘车时收支差额为0元,线段AB上的点表示亏损,AB延长线上的点表示盈利.
(2)图2的建议是降低成本,票价不变,图3的建议是提高票价.
(3)斜率表示票价.
(4)图1、2中的票价是2元,图3中的票价是4元.
1.这类问题应结合图像的特征,观察坐标轴所代表的含义,紧扣题目的语言描述,并把它转化为数学特征(单调性、最值、解析式等)即可解决.
2.挖掘图像中的信息是关键.
2.电信局为了配合客户的不同需要,设有A,B两种优惠方案,这两种方案的应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)(注:
图中MN∥CD).试问:
(1)若通话时间为2小时,按方案A,B各付话费多少元?
(2)方案B从500分钟以后,每分钟收费多少元?
(3)通话时间在什么范围内,方案B才会比方案A优惠?
[解] 由图可知M(60,98),N(500,230),C(500,168),MN∥CD.
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x),fB(x),
则fA(x)=
fB(x)=
(1)当通话时间为2小时,A,B两种方案的话费分别为116元、168元.
(2)因为当x>500时,fB(x+1)-fB(x)=
(x+1)+18-
x-18=
=0.3,
所以方案B从500分钟以后,每分钟收费0.3元.
(3)由题图可知,当0≤x≤60时,fA(x)当x>500时,fA(x)>fB(x);
当60fB(x),
即
x+80>168,解得x>
.
综上,当通话时间在
范围内,方案B比方案A优惠.
数据拟合
[探究问题]
1.建立拟合函数的步骤是什么?
提示:
依据问题给出的数据,建立反映数据变化规律的拟合函数的探索步骤为:
(1)首先建立直角坐标系,画出散点图;
(2)根据散点图设出比较接近的、可能的函数模型的解析式;
(3)利用待定系数法求出各解析式;
(4)对模型拟合程度进行检验,若拟合程度差,重新选择拟合函数,若拟合程度好,符合实际问题,就用这个函数模型解释实际问题.
2.今有一组试验数据如下表所示:
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
u
1.5
4.04
7.5
12
18.01
则能体现这些数据关系的函数模型是( )
A.u=log2tB.u=2t-2
C.u=
D.u=2t-2
提示:
可以先描出各点(如图),并利用数据点直观地认识变量间的关系,选择合适的函数模型来刻画它.
由图可知,图像不是直线上的点,排除选项D;图像不符合对数函数的图像特征,排除选项A;当t=3时,2t-2=23-2=6,
=
=4,由表格知当t=3时,u=4.04,模型u=
能较好地体现这些数据关系.故选C.
【例3】 某个体经营者把开始六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表:
投资A种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40
投资B种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51
该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品,但不知投资A,B两种商品各多少最合算.请你帮助该经营者制订一个资金投入方案,使得该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润.(结果保留两个有效数字)
[思路探究] 先画出投资额与获利的图像,再选择函数模型.
[解] 设投资额为x万元时,获得的利润为y万元.在直角坐标系中画出散点图并依次连接各点,如图所示,观察散点图可知图像接近直线和抛物线,因此可考虑用二次函数描述投资A种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系;用一次函数描述投资B种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系.
设二次函数的解析式为y=-a(x-4)2+2(a>0),
一次函数的解析式为y=bx.
把x=1,y=0.65代入y=-a(x-4)2+2(a>0),
得0.65=-a(1-4)2+2,解得a=0.15.
故前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数关系可近似地用y=-0.15(x-4)2+2表示.
把x=4,y=1代入y=bx,得b=0.25,
故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y=0.25x表示.
令下月投入A,B两种商品的资金分别为xA万元、xB万元,总利润为W万元,得
W=yA+yB=-0.15(xA-4)2+2+0.25xB,
其中xA+xB=12,
则W=-0.15
+0.15·
+2.6(0≤xA≤12),
则当xA=
≈3.2万元时,W取得最大值,
0.15·
+2.6≈4.1万元,此时xB=
≈8.8(万元).
即投资A商品3.2万元,投资B商品8.8万元时,下月可获得的最大纯利润为4.1万元.
此类题为开放性的探究题,函数模型不确定,需要我们去探索尝试,找到最适合的模型,此类题目解题的一般步骤为:
1作图:
根据已知数据作出散点图;
2选择函数模型:
根据散点图,结合基本初等函数的图像形状,找出比较接近的函数模型;
3求出函数模型:
选出几组数据代入,求出函数解析式;
4利用所求得的函数模型解决问题.
3.某商场经营一批进价是30元/件的商品,在市场试销中发现,此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见下表):
x
…
30
40
45
50
…
y
…
60
30
15
0
…
(1)在所给的坐标系中(如图),根据表中提供的数据描出实数对(x,y)对应的点,并确定y与x的一个函数关系式y=f(x);
(2)设经营此商品的日销售利润为P元,根据上述关系写出P关于x的函数关系式,并指出销售单价x为多少元时,才能获得最大日销售利润.
[解] 根据上表作图,点(30,60),(40,30),(45,15),(50,0)近似在同一条直线上,设直线方程为y=kx+b(k≠0),
∴
∴y=-3x+150(x∈N).
经检验点(30,60),(40,30)也在此直线上,
故所求函数关系式为
y=-3x+150(x∈N).
(2)依题意有P=y(x-30)
=(-3x+150)(x-30)
=-3(x-40)2+300,
∴当x=40时,P有最大值300.
故销售单价为40元时,才能获得最大日销售利润.
1.函数模型的应用实例主要包括三个方面:
(1)利用给定的函数模型解决实际问题;
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题;
(3)建立拟合函数模型解决实际问题.
2.在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时,一是要注意自变量的取值范围,二是要检验所得结果,必要时运用估算和近似计算,以使结果符合实际问题的要求.
3.在实际问题向数学问题的转化过程中,要充分使用数学语言,如引入字母、列表、画图等使实际问题数学符号化.
1.思考辨析
(1)在建立实际问题的函数模型时,除了要考虑变量的数学意义,还要考虑变量的实际意义.( )
(2)由函数模型得到的解就是实际问题的解.( )
[答案]
(1)√
(2)×
2.某同学家门前有一笔直公路直通长城,星期天,他骑自行车匀速前往,他先前进了akm,觉得有点累,就休息了一段时间,想想路途遥远,有些泄气,就沿原路返回骑了bkm(b<a),当他想起诗句“不到长城非好汉”时,便调转车头继续前进,则该同学离起点的距离与时间的函数关系图像大致为( )
A B C D
C [由题意可知,s是关于时间t的一次函数,所以其图像特征是直线上升.由于中间休息了一段时间,该段时间的图像应是平行于横轴的一条线段.然后原路返回,图像下降,再调转车头继续前进,则直线一致上升.故选C.]
3.国内快递1000g以内的包裹的邮资标准如下表:
运送距离x(km)
0<x≤500
500<x≤1000
1000<x≤1500
…
邮资y(元)
5.00
6.00
7.00
…
如果某人在西安要快递800g的包裹到距西安1200km的某地,那么他应付的邮资是( )
A.5.00元B.6.00元
C.7.00元D.8.00元
C [由题意可知,当x=1200时,y=7.00元,故选C.]
4.要在墙上开一个上部为半圆,下部为矩形的窗户,如图所示,窗框为定长l的条件下,要使窗户透光面积S最大,窗户应具有怎样的尺寸?
[解] 由题意得窗框总长l=
x+x+2y,
∴y=
,∴S=
x2+xy
=
x2+x·
=-
+
.
由
得x∈
,
当x=
时,Smax=
,
此时y=
=
,
所以,当矩形的高等于半圆的半径时,窗户透光面积最大.