最新初三数学二次函数知识点总结可编辑优秀名师资料.docx
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最新初三数学二次函数知识点总结可编辑优秀名师资料
初三数学二次函数知识点总结（可编辑）
初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念:
1.二次函数的概念:
一般地,形如（是常数,）的函数,叫做二次函数。
这里需
要强调:
和一元二次方程类似,二次项系数,而可以为零.二次函数的定义域是全
体实数.
2.二次函数的结构特征:
?
等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2.
?
是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项.二、二次函数的基本形式
1.二次函数基本形式:
的性质:
a的绝对值越大,抛物线的开口越小。
的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
向上轴时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.向下轴时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.2.的性质:
上加下减。
的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
向上轴时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.向下轴时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.3.的性质:
左加右减。
的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
向上Xh时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.向下Xh时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.4.的性质:
的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
向上Xh时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.向下Xh时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.三、二次函数图象的平移1.平移步骤:
方法一:
?
将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;
?
保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:
2.平移规律在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下
移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.方法二:
?
沿轴平移:
向上（下）平移个单位,变成
（或）
?
沿轴平移:
向左（右）平移个单位,变成（或）四、二次函数与的比较
从解析式上看,与是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,
其中.
五、二次函数图象的画法
五点绘图法:
利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及
顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:
顶
点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,（若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点:
开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.
六、二次函数的性质1.当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为.
当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大;当时,有最小值.2.当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为.当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小;当时,有最大值.
七、二次函数解析式的表示方法
1.一般式:
（,,为常数,）;
2.顶点式:
（,,为常数,）;
3.两根式:
（,,是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意:
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数
二次函数中,作为二次项系数,显然.?
当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;?
当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大.
总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小.
2.一次项系数
在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.
?
在的前提下,
当时,,即抛物线的对称轴在轴左侧;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的右侧.
?
在的前提下,结论刚好与上述相反,即
当时,,即抛物线的对称轴在轴右侧;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的左侧.
总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置.
的符号的判定:
对称轴在轴左边则,在轴的右侧则,概括的说就是“左同右异”
总结:
3.常数项?
当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正;?
当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为;?
当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负.总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置.
总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:
1.已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶点式;
3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;
4.已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.
九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达
1.关于轴对称关于轴对称后,得到的解析式是;
关于轴对称后,得到的解析式是;2.关于轴对称关于轴对称后,得到的解析式是;
关于轴对称后,得到的解析式是;3.关于原点对称关于原点对称后,得到的解析式是;关于原点对称后,得到的解析式是;4.关于顶点对称（即:
抛物线绕顶点旋转180?
）关于顶点对称后,得到的解析式是;
关于顶点对称后,得到的解析式是.5.关于点对称
关于点对称后,得到的解析式是根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
十、二次函数与一元二次方程:
1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）:
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数:
?
当时,图象与轴交于两点,其中的是一元二次方程的两根.这两点间的距离?
当时,图象与轴只有一个交点;
?
当时,图象与轴没有交点.
当时,图象落在轴的上方,无论为任何实数,都有;
当时,图象落在轴的下方,无论为任何实数,都有.
2.抛物线的图象与轴一定相交,交点坐标为,;
3.二次函数常用解题方法总结:
?
求二次函数的图象与轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
?
求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
?
根据图象的位置判断二次函数中,,的符号,或由二次函数中,,的符号判断图象的位置,要数形结合;
?
二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
?
与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式本身就是所含字母的二次函数;下面以时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:
抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根
抛物线与轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根
抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.二次函数对应练习试题
一、选择题
1.二次函数的顶点坐标是
A.2,-11B.（-2,7）C.（2,11）D.（2,-3）
2.把抛物线向上平移1个单位,得到的抛物线是（）
ABCD3.函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的
4.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论:
?
a,b同号;?
当和时,函数
值相等;?
?
当时,的值只能取0.其中正确的个数是
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.已知二次函数的顶点坐标（-1,-3.2）及部分图象如图,由图象可知关于的
一元二次方程的两个根分别是（）
A.-1.3B.-2.3C.-0.3D.-3.36.已知二次函数的图象如图所示,则点在（）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
7.方程的正根的个数为（）
A.0个B.1个C.2个3个
8.已知抛物线过点A2,0,B-1,0,与轴交于点C,且OC2.则这条抛物线的解析式为
AB
C.或D.或
二、填空题
9.二次函数的对称轴是,则_______。
10.已知抛物线y-2（x+3）2+5,如果y随x的增大而减小,那么x的取值范围是_______.
11.一个函数具有下列性质:
?
图象过点（-1,2）,?
当<0时,函数值随自变量的增大而增大;满足上述两条性质的函数的解析式是（只写一个即可）。
12.抛物线的顶点为C,已知直线过点C,则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为。
13.二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b,c。
14.如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,在线段AB上离中心M处5米的地方,桥的高度是π取3.14.
三、解答题:
15.已知二次函数图象的对称轴是,图象经过1,-6,且与轴的交点为0,.
1求这个二次函数的解析式;
2当x为何值时,这个函数的函数值为0?
3当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值随x的增大而增大?
16.某种爆竹点燃后,其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式（0t?
2）,其中重力加速度g以10米/秒2计算.这种爆竹点燃后以v020米/秒的初速度上升,
（1）这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地15米?
（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内,判断爆竹是上升,或是下降,并说明理由
17.如图,抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B,此抛物线与轴的另一个交点为C,抛物线顶点为D.
（1）求此抛物线的解析式;
（2）点P为抛物线上的一个动点,求使:
5:
4的点P的坐标。
18.红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理）.当每吨售价为260元时,月销售量为45吨.该建材店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现:
当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7.?
5吨.
综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.设每
吨材料售价为x（元）,该经销店的月利润为y（元）.
（1）当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量;
（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）;（3）该建材店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元?
6确定圆的条件:
（4）小静说:
“当月利润最大时,月销售额也最大.”你认为对吗?
请说明理由.
练习试题答案
一,选择题、
1.A2.C3.A4.B5.D6.B7.C8.C二、填空题、
3、认真做好培优补差工作。
开展一帮一活动，与后进生家长经常联系，及时反映学校里的学习情况，促使其提高成绩，帮助他们树立学习的信心与决心。
9.10.<-311.如等（答案不唯一）12.113.-8714.15三、解答题
1.正切：
15.1设抛物线的解析式为,由题意可得
解得所以
2或-52
145.28—6.3加与减（三）2P81-8316.
（1）由已知得,,解得当时不合题意,舍去。
所以当爆竹点燃后1秒离地15
②顶点坐标：
（，）米.
（2）由题意得,=,可知顶点的横坐标,又抛物线开口向下,所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内,爆竹在上升.
17.
（1）直线与坐标轴的交点A（3,0）,B（0,-3）.则解得
所以此抛物线解析式为.
（2）抛物线的顶点D（1,-4）,与轴的另一个交点C（-1,0）.设P,则.化简得
1、20以内退位减法。
当>0时,得?
P（4,5）或P（-2,5）
当<0时,即,此方程无解.综上所述,满足条件的点的坐标为（4,5）或（-2,5）.
18.
（1）60（吨）.
（2）,化简得:
.（3）.
即;红星经销店要获得最大月利润,材料的售价应定为每吨210元.
1、开展一帮一活动，让优秀学生带动后进生，促使他们的转化。
（4）我认为,小静说的不对.理由:
方法一:
当月利润最大时,x为210元,而对于月销售额来说,
当x为160元时,月销售额W最大.?
当x为210元时,月销售额W不是最大.?
小静说的不对.
13.1—3.4入学教育1加与减
（一）1P2-3方法二:
当月利润最大时,x为210元,此时,月销售额为17325元;而当x为200元时,月销售额为18000元.?
17325<18000,?
当月利润最大时,月销售额W不是最大.?
小静说的不对.
③增减性：
若a>0，当x<时，y随x的增大而减小；当x>时，y随x的增大而增大。
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