数学新学案同步人教A版必修一讲义第一章集合与函数概念12 122 第1课时 Word版含答案.docx

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数学新学案同步人教A版必修一讲义第一章集合与函数概念12122第1课时Word版含答案

1.2.2　函数的表示法

第1课时　函数的表示法

学习目标

　1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图象上获取有用的信息．

知识点一　解析法

思考　一次函数如何表示？

答案　y＝kx＋b（k≠0）．

梳理　一般地，解析法是指：

用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．

知识点二　图象法

一般地，图象法是指：

用图象表示两个变量之间的对应关系；这样可以直观形象地表示两变量间的变化趋势．

知识点三　列表法

思考　在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字．设找的人序号为x，x＝1,2,3，…，100.第x个人写下的数字为y，则x与y之间是不是函数关系？

能否用解析式表示？

答案　对于任一个x的值，都有一个他写的数字与之对应，故x，y之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示．这时可以制作一个表格来表示x的值与y的值之间的对应关系．

梳理　一般地，列表法是指：

列出表格来表示两个变量之间的对应关系．

函数三种表示法的优缺点

1．y＝x＋1与y＝x＋1，x∈N是同一个函数．（×）

2．在坐标平面上，一个图形就是一个函数图象．（×）

3．函数y＝f（x）的图象上任一点（x0，y0）必满足y0＝f（x0）．（√）

4．列表法表示y＝f（x），y对应的那一行数字可能出现相同的情况．（√）

类型一　解析式的求法

例1　根据下列条件，求f（x）的解析式．

（1）f（f（x））＝2x－1，其中f（x）为一次函数；

考点　求函数的解析式

题点　待定系数法求函数解析式

解　由题意，设f（x）＝ax＋b（a≠0），

则f（f（x））＝af（x）＋b＝a（ax＋b）＋b

＝a2x＋ab＋b＝2x－1，

由恒等式性质，得

∴

或

∴所求函数解析式为

f（x）＝

x＋1－

或f（x）＝－

x＋1＋

.

（2）f（2x＋1）＝6x＋5；

考点　求函数的解析式

题点　换元法求函数解析式

解　方法一　设2x＋1＝t，则x＝

，

∴f（t）＝6·

＋5＝3t＋2.

∴f（x）＝3x＋2.

方法二　f（2x＋1）＝6x＋5＝3（2x＋1）＋2，

∴f（x）＝3x＋2.

（3）f（x）＋2f（－x）＝x2＋2x.

考点　求函数的解析式

题点　方程组法求函数解析式

解　∵f（x）＋2f（－x）＝x2＋2x，

将x换成－x，得f（－x）＋2f（x）＝x2－2x，

∴联立以上两式消去f（－x），得3f（x）＝x2－6x，

∴f（x）＝

x2－2x.

反思与感悟　

（1）如果已知函数类型，可以用待定系数法．

（2）如果已知f（g（x））的表达式，想求f（x）的解析式，可以设t＝g（x），然后把f（g（x））中每一个x都换成t的表达式．

（3）如果条件是一个关于f（x），f（－x）的方程，我们可以用x的任意性进行赋值．如把每一个x换成－x，其目的是再得到一个关于f（x），f（－x）的方程，然后利用消元法消去f（－x）．

跟踪训练1　根据下列条件，求f（x）的解析式．

（1）f（x）是一次函数，且满足3f（x＋1）－f（x）＝2x＋9；

考点　求函数的解析式

题点　待定系数法求函数解析式

解　由题意，设f（x）＝ax＋b（a≠0），

∵3f（x＋1）－f（x）＝2x＋9，

∴3a（x＋1）＋3b－ax－b＝2x＋9，

即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，

由恒等式性质，得

∴a＝1，b＝3.

∴所求函数解析式为f（x）＝x＋3.

（2）f（x＋1）＝x2＋4x＋1；

考点　求函数的解析式

题点　换元法求函数解析式

解　方法一　设x＋1＝t，则x＝t－1，

f（t）＝（t－1）2＋4（t－1）＋1，

即f（t）＝t2＋2t－2.

∴所求函数解析式为f（x）＝x2＋2x－2.

方法二　f（x＋1）＝（x＋1－1）2＋4（x＋1－1）＋1

＝（x＋1）2＋2（x＋1）－2，

∴f（x）＝x2＋2x－2.

（3）2f 

＋f（x）＝x（x≠0）．

考点　求函数的解析式

题点　方程组法求函数解析式

解　∵f（x）＋2f 

＝x，将原式中的x与

互换，

得f 

＋2f（x）＝

.

于是得关于f（x）的方程组

解得f（x）＝

－

（x≠0）．

类型二　函数的画法及应用

命题角度1　画函数图象

例2　画出函数y＝

＋x的图象．

考点　函数图象

题点　求作或判断函数的图象

解　当x<0时，y＝

＋x＝x－1；

当x>0时，y＝

＋x＝x＋1.

取点A（－1，－2），B（0，－1），C（0,1），D（1,2）．

其中，由于x＝0不在定义域内，B，C两点画成空心点，图象如下：

反思与感悟　描点法作函数图象的三个关注点

（1）画函数图象时首先关注函数的定义域，所画图象横坐标的范围必须与定义域保持一致．

（2）图象是实线或实心点，定义域外的部分有时可用虚线或空心点来定位整个图象．

（3）要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．

跟踪训练2　作出下列函数的图象并求出其值域．

（1）y＝2x＋1，x∈[0,2]；

（2）y＝

，x∈[2，＋∞）；

（3）y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．

考点　函数图象

题点　求作或判断函数的图象

解　

（1）列表：

x

0

1

2

y

1

2

3

4

5

当x∈[0,2]时，图象是直线的一部分，

观察图象可知，其值域为[1,5]．

（2）列表：

x

2

3

4

5

…

y

1

…

当x∈[2，＋∞）时，图象是反比例函数y＝

的一部分，观察图象可知其值域为（0,1]．

（3）列表：

x

－2

－1

0

1

2

y

0

－1

0

3

8

画出图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．

由图可得函数的值域是[－1,8]．

命题角度2　函数图象的应用

例3　已知f（x）的图象如图所示，则f（x）的定义域为________，值域为________．

考点　函数图象

题点　函数图象的应用

答案　[－2,4]∪[5,8]　[－4,3]

解析　函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．

反思与感悟　函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．

跟踪训练3　函数f（x）＝x2－4x＋3（x≥0）的图象与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．

考点　函数图象

题点　函数图象的应用

解　f（x）＝x2－4x＋3（x≥0）的图象如图，

f（x）与直线y＝m有2个不同交点，由图易知－1

类型三　列表法表示函数及应用

例4　已知函数f（x）由下表给出，求满足f（f（x））>f（3）的x的值.

x

1

2

3

f（x）

2

3

1

考点　函数的表示法

题点　函数的表示法

解　∵f（3）＝1.

当f（f（x））>1时，f（x）＝1或2.

当f（x）＝1时，x＝3.

当f（x）＝2时，x＝1.

∴满足条件的x的值为1或3.

反思与感悟　列表法能直接地表示x的值与对应y的值，解题时要充分利用这个特点给x求y或给y求x.

跟踪训练4　若函数f（x）如下表所示：

x

0

1

2

3

f（x）

2

2

1

0

（1）求f（f

（1））的值；

（2）若f（f（x））＝1，求x的值．

考点　函数的表示法

题点　函数的表示法

解　

（1）∵f

（1）＝2，∴f（f

（1））＝f

（2）＝1.

（2）设f（x）＝t，由表知，当f（t）＝1时，对应的t＝2，

即f（x）＝2，再由表求得当且仅当x＝0或1时，f（x）＝2.

∴x＝0或x＝1.

1．已知函数f（x）由下表给出，则f（f（3））等于（　　）

x

1

2

3

4

f（x）

3

2

4

1

A.1B．2C．3D．4

考点　函数的表示法

题点　函数的表示法

答案　A

2．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点（0,0），则此二次函数的解析式可以是（　　）

A．f（x）＝x2－1

B．f（x）＝－（x－1）2＋1

C．f（x）＝（x－1）2＋1

D．f（x）＝（x－1）2－1

考点　求函数的解析式

题点　待定系数法求函数解析式

答案　D

3．已知正方形的边长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为（　　）

A．y＝

x（x>0）B．y＝

x（x>0）

C．y＝

x（x>0）D．y＝

x（x>0）

考点　求函数的解析式

题点　实际问题的函数解析式

答案　A

4．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是（　　）

考点　函数图象

题点　函数图象的判断与理解

答案　C

5．画出y＝2x2－4x－3，x∈（0,3]的图象，并求出y的最大值、最小值．

考点　函数图象

题点　函数图象的应用

解　y＝2x2－4x－3（0

由图易知，当x＝3时，ymax＝2×32－4×3－3＝3.

由y＝2x2－4x－3＝2（x－1）2－5，

∴当x＝1时，ymin＝－5.

1．如何求函数的解析式

（1）待定系数法求函数解析式

当已知所要求的解析式f（x）的类型时，如是一次函数、二次函数等，即可设出f（x）的解析式，然后根据已知条件确定其系数．

（2）已知f（g（x））＝h（x），求f（x），常用的有两种方法：

①换元法，即令t＝g（x），解出x，代入h（x）中，得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意：

换元后新元的范围．

②配凑法，即从f（g（x））的解析式中配凑出“g（x）”，即用g（x）来表示h（x），然后将解析式中的g（x）用x代替即可．

③方程组法：

当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．

2．如何作函数的图象

一般地，作函数图象主要有三步：

列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图象，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．

3．如何用函数图象

常借助函数图象研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图象交点问题．

一、选择题

1．以下形式中，不能表示“y是x的函数”的是（　　）

A

x

1

2

3

4

y

4

3

2

1

B.

C．y＝x2

D．x2＋y2＝1

考点　函数的表示法

题点　函数的表示法

答案　D

解析　D中，当x＝0时，有两个y值与它对应，根据函数的定义知，x2＋y2＝1不能表示y是x的函数．

2．一次函数f（x）的图象过点A（－1,0）和B（2,3），则下列各点在函数f（x）的图象上的是（　　）

A．（2,1）B．（－1,1）

C．（1,2）D．（3,2）

考点　求函数的解析式

题点　待定系数法求函数解析式

答案　C

解析　设一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0），

又图象过点A（－1,0），B（2,3），

则有

解得

故y＝x＋1.

结合选项中各点的坐标，C中的点（1,2）满足y＝x＋1.

3．一个面积为100cm2的等腰梯形，上底长为xcm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为（　　）

A．y＝50x（x>0）B．y＝100x（x>0）

C．y＝

（x>0）D．y＝

（x>0）

考点　求函数的解析式

题点　实际问题的函数解析式

答案　C

解析　由

·y＝100，得2xy＝100.

∴y＝

（x>0）．

4．函数y＝

的大致图象是（　　）

考点　函数图象

题点　求作或判断函数的图象

答案　A

解析　y＝

定义域为{x|x≠－1}，排除C，D，

当x＝0时，y＝0，排除B.

5．函数y＝f（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的解析式为（　　）

A．f（x）＝（x－a）2（b－x）

B．f（x）＝（x－a）2（x＋b）

C．f（x）＝－（x－a）2（x＋b）

D．f（x）＝（x－a）2（x－b）

考点　函数图象

题点　函数图象的应用

答案　A

解析　由图象知，当x＝b时，f（x）＝0，排除B，C；

又当x>b时，f（x）<0，排除D.故选A.

6．如果f

＝

，则当x≠0,1时，f（x）等于（　　）

A.

B.

C.

D.

－1

考点　求函数的解析式

题点　换元法求函数解析式

答案　B

解析　令

＝t，则x＝

，代入f

＝

，

则有f（t）＝

＝

，故选B.

7．已知函数f（x－1）＝x2－3，则f

（2）的值为（　　）

A．－2B．6

C．1D．0

考点　求函数的解析式

题点　换元法求函数解析式

答案　B

解析　方法一　令x－1＝t，则x＝t＋1，

∴f（t）＝（t＋1）2－3，

∴f

（2）＝（2＋1）2－3＝6.

方法二　f（x－1）＝（x－1）2＋2（x－1）－2，

∴f（x）＝x2＋2x－2，∴f

（2）＝22＋2×2－2＝6.

方法三　令x－1＝2，∴x＝3，∴f

（2）＝32－3＝6.

8．（2017·济宁高一检测）已知函数f（2x＋1）＝3x＋2，且f（a）＝2，则a的值为（　　）

A．8B．1

C．5D．－1

考点　求函数的解析式

题点　换元法求函数解析式

答案　B

解析　令3x＋2＝2，得x＝0.

令a＝2x＋1，代入x＝0，得a＝1.

二、填空题

9．若正比例函数

的图象经过第二、四象限，则m＝________.

考点　求函数的解析式

题点　待定系数法求函数解析式

答案　－2

解析　因为

是正比例函数，

所以有m2－3＝1，m＝±2.

又图象经过第二、四象限，所以m＝－2.

10．已知函数f（x），g（x）分别由下表给出：

则满足f（g（x））＝g（f（x））的x的值为________.

x

1

2

3

4

f（x）

1

3

1

3

g（x）

3

2

3

2

考点　函数的表示法

题点　函数的表示法

答案　2或4

解析　当x＝1时，f（g

（1））＝f（3）＝1，g（f

（1））＝g

（1）＝3.

当x＝2时，f（g

（2））＝f

（2）＝3，g（f

（2））＝g（3）＝3.

当x＝3时，f（g（3））＝f（3）＝1，g（f（3））＝g

（1）＝3.

当x＝4时，f（g（4））＝f

（2）＝3，g（f（4））＝g（3）＝3.

满足f（g（x））＝g（f（x））的x的值只有2或4.

11．已知f（x）＋3f（－x）＝2x＋1，则f（x）的解析式是________．

考点　求函数的解析式

题点　方程组法求函数解析式

答案　f（x）＝－x＋

解析　因为f（x）＋3f（－x）＝2x＋1，①

所以把①中的x换成－x，得f（－x）＋3f（x）＝－2x＋1.②

由①②解得f（x）＝－x＋

.

三、解答题

12．已知f（x）是一次函数，且满足3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f（x）．

考点　求函数的解析式

题点　待定系数法求函数解析式

解　设f（x）＝ax＋b（a≠0），

则3f（x＋1）－2f（x－1）＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b

＝ax＋b＋5a＝2x＋17，

∴a＝2，b＝7，∴f（x）＝2x＋7.

13．画出函数f（x）＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：

（1）比较f（0），f

（1），f（3）的大小；

（2）若x1

（3）求函数f（x）的值域．

考点　函数图象

题点　函数图象的应用

解　因为函数f（x）＝－x2＋2x＋3的定义域为R，

列表：

x

－1

0

1

3

y

0

3

4

0

描点，连线，得函数图象如图：

（1）根据图象，容易发现f（0）＝3，

f

（1）＝4，f（3）＝0，

所以f（3）

（1）．

（2）根据图象，容易发现当x1

（3）根据图象，可以看出函数的图象是以（1,4）为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为（－∞，4]．

四、探究与拓展

14．已知函数p＝f（m）的图象如图所示，则

（1）函数p＝f（m）的定义域为________．

（2）函数p＝f（m）的值域为________．

（3）p∈________时，只有唯一的m值与之对应．

考点　函数图象

题点　函数图象的应用

答案　

（1）[－3,0]∪[1,4]　

（2）[－2,2]　（3）（0,2]

解析　

（1）观察函数p＝f（m）的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m≤0或1≤m≤4，所以定义域为[－3,0]∪[1,4]．

（2）由图知值域为[－2,2]．

（3）由图知：

p∈（0,2]时，只有唯一的m值与之对应．

15．已知函数f（x）＝x2＋（a＋1）x＋b满足f（3）＝3，且f（x）≥x恒成立，求f（x）的解析式．

考点　求函数的解析式

题点　待定系数法求函数解析式

解　由f（3）＝3，得b＝－3a－9.

由f（x）≥x恒成立可知，x2＋ax＋b≥0恒成立，

所以a2－4b≤0，所以a2＋12a＋36＝（a＋6）2≤0，

所以a＝－6，b＝9.

所以f（x）＝x2－5x＋9.