比较|m与|p|时，即比较|b+c|*|c|与a*（a+b）,得（c-a）*（a+b+c）=c-a<0,即|m|<|p|,所以m>p
综上所述：
m>p>n
这是一般方法，楼上给的那种方法是特殊化方法，在考试时节约时间，不失为一种好方法
（四）P为△ABC边BC上的一点，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，求∠ACB的度数。
过C作CD⊥AP,垂足位D,连接BD.
∵∠APC=60°∴PC＝2PD
又∵PC=2PB∴PB＝PD∴∠BDP＝∠PBD＝30°
又∵∠PCD＝30°＝∠PBD∴BD＝CD
∵∠ABD＝∠ABP－DBP＝15°
∠BAP＝∠APC－∠ABP＝15°
∴AD＝BD
∴AD＝CD
∴∠ACD＝45°
∴∠ACB＝45°＋30°＝75°
（五）如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E.F连接EF,EF与AD交于G,AD与EF垂直吗？
证明你的结论
如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E.F连接EF,EF与AD交于G,AD与EF垂直吗？
证明你的结论
因为AD是△ABC的角平分线
所以∠BAD=∠CAD;
因为DE⊥AB,DF⊥AC
所以∠DEA=∠DFA=90°;
AD为公共边;
所以ΔADE和ΔADF全等（AAS）
所以AE=AF
ΔAEF为等腰三角形
所以AD⊥EF（等腰三角形三线共线）
（六）
已知双曲线y=k/x与直线y=x/4相交于A、B两点,第一象限上的点M（m,n）（在A点左侧）是双曲线y=k/x上的动点,过点B作BD‖y轴交x轴于点D，过N（0,-n）作NC‖x轴交双曲线y=k/x于点E，交BD于点C
1.若点D坐标是（-8，0）求A、B两点坐标及k的值
2.若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式
3.设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p-q的值
解：
（1）∵D（－8，0），∴B点的横坐标为－8，代入中，得y=－2．
∴B点坐标为（－8，－2）．而A、B两点关于原点对称，∴A（8，2）．
从而．k=8*2=16
（2）∵N（0，－n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，
∴，B（－2m，－n\2），C（－2m，－n），E（－m，－n）．
S矩形DCNO=2mn=2k，S△DBO=1\2mn=1\2k，S△OEN=1\2mn=1\2k，
∴S四边形OBCE=S矩形DCNO－S△DBO－S△OEN=k．∴．k=4
由直线y=1\4x及双曲线y=4\x，得A（4，1），B（－4，－1），
∴C（－4，－2），M（2，2）．
设直线CM的解析式是y=ax+b，由C、M两点在这条直线上，得
解得．a=b=2\3∴直线CM的解析式是y=2\3x+2\3
（3）分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别为A1、M1．
设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为－a．
于是．p=ma\mp=a-m\m
同理q=m+a\m，
∴p-q=-2．
（七）如图在三角形ABC中,∠ACB=90°,点e为AB中点,连接CE,过点E作ED⊥BC于点D,在DE的延长线上取一点F，使AF=CE，求证：
四边形ACEF是平行四边形、
在△ABC中,∠ACB=90°,点E为AB的中点,∴CE=BE=AE∴∠ECB＝∠EBC
∵AF=CE=AE∴∠AFE＝∠AEF
∵∠AEF=∠BED=90°-∠B
∠BAC＝90°-∠B
∴∠AEF=∠BAC∴∠F＝∠ACE
∵AE＝AE∴⊿AEC≌⊿AEB∴EF=BC
由已知，EF‖BC
∴四边形ACEF是平行四边形
（8）证明：
取BF的中点M ，连接OM
∵正方形ABCD中，BO =DO
∴OM//DF 且OM=1/2DF
∵BF平分∠DBC
∴∠DBF=∠CBF=22.5°
∴∠OEM=90°-DBF=67.5°
∠OME=∠BFC=67.5°
∴∠OEM= ∠OME
∴OE=OM=1/2DF
（9）如图，已知△ABC是等边三角形，点D，F分别在线段BC，AB上，∠EFB=60°，DC=EF
1.求证：
四边形CDEF是平行四边行.
2.若BF=EF,求证：
AE=AD
证明∵△ABC是等边三角形
∴∠B=60°
∵∠EFB=60°
∴∠B=∠EFB
即EF‖BC
∵DC=EF
∴四边形EFCD是平行四边形（一组对边平行且相等）
（2）连接BE，
∵∠EFB=60°，BF=EF
∴三角形BEF为等边三角形
即BE=BF=EF，∠ABE=60°
∵四边形EFCD是平行四边形
∴CD=EF
即BE=CD
又∵△ABC为等边三角形
∴AB=AC，∠ACD=60°即∠ABE=∠ACD
在△ABE和△ACD中
BE=CD，∠ABE=∠ACD，AB=AC
∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴AE=AD
（十）如图，在半径为根号5，圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在弧AB上．
（1）求正方形CDEF的边长；
（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．
考点：
扇形面积的计算；勾股定理；正方形的性质．
分析：
（1）连接OF，设正方形的边长为a．根据等腰直角三角形的性质，得OD=CD=a，在直角三角形OEF中，根据勾股定理列方程求解；
（2）阴影部分的面积即为半径为根号5，圆心角等于45°的扇形AOB面积减去正方形的面积和等腰直角三角形的面积．
解答：
解：
（1）连接OF，设正方形的边长为a．在Rt△OEF中，a2+（2a）2=（
）2
解得a=1．
答：
正方形的边长为1；
（2）阴影部分的面积=45π×5/360-1/2-1=5π/8-3/2
点评：
此题要能够发现等腰直角三角形的直角边等于正方形的边长，熟练运用勾股定理列方程求解，掌握扇形的面积公式．
（九）（2010•防城港）两块完全一样的含30°角三角板重叠在一起，若绕长直角边中点M转动，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点，如图所示，∠A=30°，AC=10，则此时两直角顶点C，C′间的距离是
5
5
．
考点：
旋转的性质；等边三角形的判定与性质．
分析：
连接CC′，因为点M为AC的中点，也是A′C′的中点，由旋转的性质可知，MC=MC′=MA′，可证△A′C′C为直角三角形，而∠A′=∠A=30°，从而可证△MCC′为等边三角形，即可求CC′=MC．
解答：
解：
连接C′C，
∵M是AC的中点，AC=10，△ABC，△A′B′C′是两块完全一样的含30°角三角板重叠在一起的，
∴AM=CM=
1
2
A′C′，
即CM=A′M=C′M，
∴△A′C′C为直角三角形，
∵CM=A′M，
∴∠A′=∠A′CM=30°，
∵∠A′=∠A=30°，
∴∠A′C′C=60°，
∴等腰三角形△MCC′是等边三角形，
∴C′C=CM=A′M=C′M=
1
2
AC=5．
∴C′C长为5．
（一十）如图，从一个边长为2的菱形铁皮中剪下一个圆心角为60°的扇形．
（1）求这个扇形的面积（结果保留π）．
（2）在剩下的一块余料中，能否从余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥请说明理由．
（3）当∠B为任意值时，
（2）中的结论是否仍然成立？
请说明理由．
考点：
扇形面积的计算；勾股定理；弧长的计算．
分析：
（1）扇形的面积公式是：
S=
nπr2
360
，代入公式就可以求出扇形的面积；
（2）、（3）要判断能否从余料剪出一个圆与此扇形围成一个圆锥，就是比较余料部分的内切圆的半径与圆锥的底面半径的大小关系．
解答：
解：
（1）如图，
∵AB=AC=2，
∴S=
nπR2
360
=
2
3
π；
（2）连接AC、BD，BD交弧AC于E点，圆心在DE上，
由勾股定理：
BD=2
3
；
DE=2
3
-2≈1.46，
弧AC的长：
l=
nπR
180
=
2π
3
；
∴2πr=
2π
3
，
∴2r=
2
3
≈0.67＜1.46=DE；
另一方面，如图：
由于∠ADE=30°，过O作OF⊥AD，则OD=2OF=2r，因此DE≥3r；
所以能在余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．
（3）当∠B=90°时，不能剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．
理由：
弧AC的长：
l=
nπR
180°
=π，2πr=π，∴2r=1；
由勾股定理求得：
BD=2
2
，DE=2
2
-2≈0.82＜1=2r；
因此∠B为任意值时，
（2）中的结论不一定成立．
点评：
圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（一十一）如图，AB是圆O的直径，半径OC⊥AB过OC的中点M,作弦EF∥AB连接EB,BC
求
（1）EF与AB的长度比
（2）求证角ABE=1/2角CBE
问题补充：
满意回答
（1）∵CM=MO=（1/2）OC=（1/2）OF
直角三角形直角边等于斜边的一半
∴∠MOF=π/3∠EOF=2π/3
因弦长之比等于对应弧长之比
所以EF/AB=（2π/3）/π=2/3
∵∠EOF=2π/3
∴∠EOA=（1/2）（π-∠EOF）=π/6
∵∠EOA=2∠ABE
∴∠ABE=π/12
∵∠COE=π/2-∠EOA=π/3∠COE=2∠CBE
∴∠CBE=π/6
∴角ABE=1/2角CBE
已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列选项中⊙O的半径为ab/a+b的是（ ）
第一图圆O半径为ab/（a+b+c）——这是利用面积法，ab等于三角形面积的2倍，（a+b+c）*圆半径等于三角形面积的2倍，所以得此结论。
第二图同样利用面积法，可以得出圆半径=ab/（a+c）。
——可以连接OB，得到两个小三角形，高都是半径，底分别为a和c，所以得此结论。
第三图连接OC，可以得到两个三角形，同样利用面积法可得到半径=ab/（a+b）
所以选C。
继续追问：
来自手机问问 第一个为什么（a+b+c）*半径等于三角形面积两倍啊？
补充回答：
分别连接OA、OB、OC，得到三个高相等（高为圆半径）的三角形，所以大三角形面积=a*半径/2+b*半径/2+c*半径/2，所以（a+b+c）*半径=三角形面积的2倍。
（一十二）如图已知直线Y=1/2x与双曲线y=k/x（K>0）交于a,b两点，且点A的横坐标为4
（1）求K的值
（2）若双曲线Y=K/X（x>0）上一点C的纵坐标为8求三角形AOC的面积。
（3）过原点O的另一条直线L交双曲线Y=K/X（K>0）于P、Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P,Q为顶点组成的四边形面积为24，求P的坐。
解：
（1）∵点A横坐标为4，
∴当x=4时，y=2．
∴点A的坐标为（4，2），
∵点A是直线y=1/2x与双曲线y=8/x（k＞0）的交点，
∴k=4×2=8；
（2）∵点C在双曲线上，
当y=8时，x=1，
∴点C的坐标为（1，8）．
过点A、C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON．
∵S矩形ONDM=32，S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4．
∴S△AOC=S矩形ONDM-S△ONC-S△CDA-S△OAM=32-4-9-4=15；
（3）∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，
∴OP=OQ，OA=OB，
∴四边形APBQ是平行四边形，
∴S△POA=S平行四边形APBQ×1/4=1/4×24=6，
设点P的横坐标为m（m＞0且m≠4），
得P（m，8/m），
过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，
∵点P、A在双曲线上，
∴S△POE=S△AOF=4，
若0＜m＜4，如图3，
∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF，
∴S梯形PEFA=S△POA=6．
∴1/2（2+8/m）•（4-m）=6．
∴m=2，m=-8，
∴P（2，4）；
若m＞4，如图4，
∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE，
∴S梯形PEFA=S△POA=6．
∴1/2（2+8/m）•（m-4）=6，
解得m=8，m=-2（舍去），
∴P（8，1）．
∴点P是P（的坐标2，4）或P（8，1）．
（14）
二次函数y=2/3x²-1/3x的图像经过△AOB的三个顶点，其中A（-1，m），B（n,n）。
（1）求A、B的坐标
（2）在坐标平面上找点C，使以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形。
①这样的点C有几个？
②能否将抛物线y=2/3x²-1/3x平移后经过A、C两点，若能，求出平移后经过A、C两点的一条抛物线的解析式；若不能，说明理由。
解：
（1）∵
的图象过点A（－1，m）
∴
，即m＝1.
同理：
解得，n＝0（舍）或n＝2
∴A（－1，1），B（2，2）
（2）①这样的C点有3个.②能.
当平移后的抛物线经过A、C1两个点时，将B点向左平移3个单位再向下平移1个单位．使点B移到A点，这时点O随着原抛物线平移到C1点。
∴经过A,C1两点的抛物线的解析式为
.
即
附：
另两条平移后抛物线的解析式分别为：
i）经过A、C2两点的抛物线的解析式为
ii）设经过A、C3两点的抛物线的解析式为
，OC3可看作线段AB向右平移1个单位再向下平移1个单位得到.
∴C3（3，1）
依题意，得
解得
∴经过A、C3两点的抛物线的解析式为
（15）已知抛物线y=（1/2）x2-mx+2m-（7/2）．
已知抛物线y=（1/2）x2-mx+2m-（7/2）.
（1）试说明：
无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x－1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．
①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
十六.
如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x²+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）求b，c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在
（2）的条件下：
①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；
②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？
若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．
解：
（1）由已知得：
A（-1，0），B（4，5），
∵二次函数y=x²+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（4，5），
∴ 1-b+c=0 16+4b+c=5 ，
解得：
b=-2，c=-3；
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