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初中阶段几种重要的数学思想方法

初中阶段几种重要的数学思想方法（数形结合思想）

数形结合“数”与“形”作为数学中最古老最重要的两个方面，一直就是一对矛盾体。

正如矛和盾总是同时存在一样，有“数”必有“形”，有“形”必有“数”。

华罗庚先生曾说过：

“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。

切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！

”寥寥数语，把数形之妙说得淋漓尽致。

“数形结合”作为数学中的一种重要思想，在高中数学中占有极其重要的地位。

关于这一点，查查近年高考试卷，就可见一斑。

在多年来的高考题中，数形结合应用广泛，大多是“以形助数”，比较常见的是在解方程和不等式、求函数的最值问题、求复数和三角函数等问题中，巧妙运用“数形结合”思想解题，可以化抽象为具体，效果事半功倍。

题目：

同学们好，今天我要和大家一起分享一种非常重要的数学思想：

数形结合思想。

我国著名数学家华罗庚说过：

“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。

一位伟大的数学家留给了我们上面这句经典名言，为什么他会有这样的论断和感慨呢？

今天让我们结合几道题来体悟他的这句至理名言。

产生了初等几何中最为重要的定理之一：

勾股定理。

勾股定理被称为“数形结合”史最为壮丽的篇章，这是历史上被人们关注最多的定理，关注它的人上至帝王总统，下至平民百姓。

据说它的证明方法至今已超过500种，仅西方的数学家毕达哥拉斯的一本专著上就给出了367种证明方法。

作为本讲结束语的这道题，我还是先不“数形结合”是初中数学教学过程中一个很重要的方法，“数”和“形”是数学中两个最基本的概念。

“数”是数量关系的体现，“形”是空间形式的体现，两者是对立统一的关系。

我们在探讨数量关系时，常常借助于图形直观地去研究；而在研究图形时，又常常借助于图形间隐含的数量关系去求解。

一般而言，在初中数学中，涉及到以下方面的内容时，采用“数形结合”法往往更直观、有效。

一、实数内容体现“数形结合”思想

数轴的引入是实数内容体现“数形结合”思想的有力证明。

因为数轴上的点与实数是一一对应的关系，所以，两个实数大小的比较，可以通过它们在数轴上对应的点的位置进行判断。

相反，数与绝对值则可通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻画。

二、不等式内容蕴藏着“数形结合”思想

义务教育新课标教材《数学》七年级下册第九章内容是一元一次不等式和一元一次不等式组。

一元一次不等式的解法虽然与一元一次方程的解法相似，但学生不易理解一元一次不等式的解有无数个。

在教学时，为了加深七年级学生对不等式的解集的理解，教师可在必要时把不等式解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到不等式有无限多个解。

另外，还有一些习题要求通过数轴上所表示的点的位置去求变量的取值范围或详细值，这里就隐含着“数形结合”的思想方法。

三、应用题的解答可借助“数形结合”思想

对于一道已知条件十分复杂的应用题，将“数”与“形”结合，借助图形来分析，就直观、清楚多了。

“数”与“形”的有机结合，确实能为解题带来方便。

它能使抽象的问题形象化、直观化，复杂的问题简单化，两者之间的互助与关联能开辟出一条解题捷径，是一种有效的解题策略。

四、函数及其图像巧妙凸现“数形结合”思想

“函数及其图像”是初中数学的一个重要内容，同时也是一个难点内容。

有关函数的问题让许多学生感到畏惧，其实函数与方程、不等式之间有着非常密切的联系，在解题时要善于将它们“牵手”，将它们的“形”与对应的“数”结合起来，会使很多棘手问题迎刃而解，且解法简捷、独特。

五、三角函数问题蕴含“数形结合”思想

在解有关三角函数的问题中，运用“数形结合”的思想，不仅能直观地发现解题途径，而且可以避免复杂的计算与推理，大大简化解题过程。

六、方案设计问题是“数形结合”能力的综合体现

这类有关图案设计的问题，渗透着对学生的审美观念、联想思维的检测，可以培养学生大胆而严谨的思维，不仅能展现“数”与“形”的有序结合所产生的“美”与“妙”，更能直接反映出“数”“形”思想的结合，能引导学生更好地发现与创造。

在解题过程中，巧妙地将“数”与“形”有机地结合起来，往往能使问题的解答简明、直观和有趣，对培养学生思维的广阔性、层次性以及能力的提升也是十分有效和有益的。

打算讲了，这也算是一道“数缺形时少直观”的题目了。

二、数形结合思想

1.数与形是数学中两个最古老的、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，如某些代数问题、三角问题往往都有几何背景，而借助其背景图形的性质，可使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观，以便于探求解题思路或找到问题的结论.数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法，因此它在数学中占有重要的地位.

2.数形结合的解题方法特点是具有直观性、灵活性、深刻性，并跨越各科的知识界限，有较强的综合性.在复习中加强这方面的训练，对巩固和加深有关数学知识的理解、打好基础、提高能力是非常重要的.

数形结合解题就是在解决与几何图形有关的问题时，将图形信息转换成代数的信息，利用数量特征，将其转化为代数问题；在解决与数量有关的问题时，根据数量的结构特征，构造出相应的几何图形，即化为几何问题。

从而利用数形的辩证统一和各自的优势尽快地得到解题途径，这对提高分析和解决问题的能力将有极大的帮助.

数形结合的主要方法有：

解析法、三角法、图象法等.

3.数形结合的主要途径：

（1）形转化为数：

即用代数方法研究几何问题，这是解析几何的基本特点.

（2）数转化为形：

即根据给出的“数式”的结构特点，构造出与之相应的几何图形，用几何方法解决代数问题.

（3）数形结合：

即用形研究数，用数研究形，相互结合，使问题变得直观、简捷、思路易寻.

4、在运用数形结合时，要注意两点：

（1）“形”中觅“数”：

很多数学问题，需要根据图形寻求数量关系，将几何问题代数化，以数助形，使问题获解.

（2）“数”上构“形”：

很多数学问题，本身是代数方面的问题，但通过观察可发现它具有某种几何特征，由于这种几何特征可以发现数与形之间的新关系　，从而将代数问题化为几何问题，使问题获解.

以上两者之间是相互联系的.例如在解析几何中，虽然研究的主要方面是用函数方法解决几何问题，但是由于我们在研究中得到某些代数表达式具有明显的几何意义，则可在确定合适的坐标系后获得几何解释，从而能借助几何方法加以解决.

“数形结合”是一种极其重要的思想方法．例如，我们可以利用数轴解分式不等式

1

x

＜1（x≠0）．先考虑不等式的临界情况：

方程

1

x

=1的解为x=1．如图，数轴上表示0和1的点将数轴“分割”成x＜0、0＜x＜1和x＞1三部分（0和1不算在内），依次考察三部分的数可得：

当x＜0和x＞1时，

1

x

＜1成立．理解上述方法后，尝试运用“数形结合”的方法解决下列问题：

（1）分式不等式

1

x

1

x

＞1的解集是；

（2）求一元二次不等式x2-x＜0的解集；

（3）求绝对值不等式|x+1|＞5的解集．

解：

（1）由题意可得出：

0＜x＜1．

故答案为：

0＜x＜1．

（2）解方程x2-x=0，得x=0和x=1，

画数轴得出：

，

∴x2-x＜0的解集为：

0＜x＜1；

（3）不等式|x+1|＞5的解为：

x=4或x=-6，

画数轴得：

，

∴|x+1|＞5的解集是：

x＞4和x＜-6．

分析：

（1）利用已知中当x＜0和x＞1时，

＜1成立，即可得出分式不等式…（点击上面的蓝色链接“查看完整答案与解析”字样可以查看完整答案）

试验法与数学实验,倒推法,递推法,构造法,调整法,赋值法,排序法,抽屉原理,极端原理,容斥原理,利用整数性质,利用对称性,利用周期性,利用任意性,想象力与创造力

初中数学中蕴含的数学思想方法很多,最基本最主要的有：

转化的思想方法,数形结合的思想方法,分类讨论的思想方法,函数与方程的思想方法等.

1.对应的思想和方法：

在初一代数入门教学中,有代数式求值的计算值,通过计算发现：

代数式的值是由代数式里字母的取值所决定的,字母的不同取值可得不同的计算结果.这里字母的取值与代数式的值之间就建立了一种对应关系,再如实数与数轴上的点,有序实数对与坐标平面内的点都存在对应关系……在进行此类教学设计时,应注意渗透对应的思想,这样既有助于培养学生用变化的观点看问题,有助于培养学生的函数观念.

2.数形结合的思想和方法

数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略.著名数学家华罗庚先生说：

“数与形本是相倚依,怎能分作两边飞,数缺形时少直觉,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休.”这充分说明了数形结合思想在数学研究和数学应用中的重要性.

①由数思形,数形结合,用形解决数的问题.

例如在《有理数及其运算》这一章教学中利用“数轴”这一图形,巩固“具有相反意义的量”的概念,了解相反数,绝对值的概念,掌握有理数大小的道理,理解有理数加法、乘法的意义,掌握运算法则等.实际上,对学生来说,也只有通过数形结合,才能较好地完成本章的学习任务.另外,《一元一次方程》中列方程解应用题中画示意图,常常会给解决问题带来思路.第九章《生活中的数据》“统计图的选择”及“复习形统计图”,利用图形来展示数据,很直观明了.

②由形思数,数形结合,用形解决数的问题.例如第四章的《平面图形及其位置关系》中,用数量表示线段的长度,用数量表示角的度数,利用数量的比较来进行线段的比较、角的比较等.

3.整体的思想和方法

整体思想就是考虑数学问题时,不是着眼于它的局部特征,而是把注意和和着眼点放在问题的整体结构上,通过对其全面深刻的观察,从宏观整体上认识问题的实质,把一些彼此独立但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法.整体思想在处理数学问题时,有广泛的应用.

4.分类的思想和方法

教材中进行分类的实例比较多,如有理数、实数、三角形、四边形等分类的教学不仅可以使学生明确分类的重要性：

一是使有关的概念系统化、完整化；二是使被分概念的外延更清楚、更深刻、更具体,并且还能使学生掌握分数的要点方法：

（1）分类是按一定的标准进行的,分类的标准不同,分类的结果也不相同；

（2）要注意分类的结果既无遗漏,也不能交叉重复；（3）分类要逐级逐次地进行,不能越级化分,如不能把实数分为整数、分数和无理数.

5.类比联想的思想和方法

数学教学设计在考虑某些问题时常根据事物间的相似点提出假设和猜想,从而把已知事物的属性类比推广到类似的新事物中去,促进发现新结论.如分式的各种运算法则就是与小学学过的分数的运算法则类比联想到的；再如由天平的平衡条件比得出等式的基本性质,这种方法体现了“法故而知新”和“以旧引新”的教学设计原则,这样的设计起点低,学生学起来更容易接受.教学中由于提供了思维发生的背景材料,既活跃了课堂气氛,又有利于在和谐、轻松的氛围中完成新知识的学习.

6.逆向思维的方法

所谓逆向思维就是把问题倒过来或从问题的反面思考或逆用某些数学公式、法则解决问题.加强逆向思维的训练,可以培养学生思维的灵活性和发散性,使学生掌握的数学知识得到有效的迁移,如绝对值等于2的数有几个,平方得4的数是什么,立方得6的数是什么,是学习绝对值、有理数的乘方后的逆去用,还有分配律的逆用等.

7.化归与转化的思想和方法

化归意识是指在解决问题的过程中,对问题进行转化,使之成为简单、熟知问题的基本解题模式,它是使一种数学对象在一定条件下转化为另一种数学对象的思想和方法.如有理数的减法运算是利用了相反数的概念转化为加法；学习方程和方程组时,通过逐步“消元”或“降次”的方法使“多元”转化为“一元”“、高次”转化为“低次”方程进行求解；将多边形的内角和转化为三角形的内角和进行研究等问题都是化归思想的运用,它们均采用将“未知”转化为“已知”、将“陌生”转化“熟知”、将“复杂”转化为“简单”的解题方法,其核心就是将有等解决的问题转化为已有明确解决程序的问题,以便利用已有的理论、技术来加以处理,从而培养学生用联系的、发展的、运动变化的观点观察事物、认识问题.

试验法与数学实验,倒推法,递推法,构造法,调整法,赋值法,排序法,抽屉原理,极端原理,容斥原理,利用整数性质,利用对称性,利用周期性,利用任意性,想象力与创造力

初中数学中蕴含的数学思想方法很多,最基本最主要的有：

转化的思想方法,数形结合的思想方法,分类讨论的思想方法,函数与方程的思想方法等.

1.对应的思想和方法：

在初一代数入门教学中,有代数式求值的计算值,通过计算发现：

代数式的值是由代数式里字母的取值所决定的,字母的不同取值可得不同的计算结果.这里字母的取值与代数式的值之间就建立了一种对应关系,再如实数与数轴上的点,有序实数对与坐标平面内的点都存在对应关系……在进行此类教学设计时,应注意渗透对应的思想,这样既有助于培养学生用变化的观点看问题,有助于培养学生的函数观念.

2.数形结合的思想和方法

数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略.著名数学家华罗庚先生说：

“数与形本是相倚依,怎能分作两边飞,数缺形时少直觉,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休.”这充分说明了数形结合思想在数学研究和数学应用中的重要性.

①由数思形,数形结合,用形解决数的问题.

例如在《有理数及其运算》这一章教学中利用“数轴”这一图形,巩固“具有相反意义的量”的概念,了解相反数,绝对值的概念,掌握有理数大小的道理,理解有理数加法、乘法的意义,掌握运算法则等.实际上,对学生来说,也只有通过数形结合,才能较好地完成本章的学习任务.另外,《一元一次方程》中列方程解应用题中画示意图,常常会给解决问题带来思路.第九章《生活中的数据》“统计图的选择”及“复习形统计图”,利用图形来展示数据,很直观明了.

②由形思数,数形结合,用形解决数的问题.例如第四章的《平面图形及其位置关系》中,用数量表示线段的长度,用数量表示角的度数,利用数量的比较来进行线段的比较、角的比较等.

3.整体的思想和方法

整体思想就是考虑数学问题时,不是着眼于它的局部特征,而是把注意和和着眼点放在问题的整体结构上,通过对其全面深刻的观察,从宏观整体上认识问题的实质,把一些彼此独立但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法.整体思想在处理数学问题时,有广泛的应用.

4.分类的思想和方法

教材中进行分类的实例比较多,如有理数、实数、三角形、四边形等分类的教学不仅可以使学生明确分类的重要性：

一是使有关的概念系统化、完整化；二是使被分概念的外延更清楚、更深刻、更具体,并且还能使学生掌握分数的要点方法：

（1）分类是按一定的标准进行的,分类的标准不同,分类的结果也不相同；

（2）要注意分类的结果既无遗漏,也不能交叉重复；（3）分类要逐级逐次地进行,不能越级化分,如不能把实数分为整数、分数和无理数.

5.类比联想的思想和方法

数学教学设计在考虑某些问题时常根据事物间的相似点提出假设和猜想,从而把已知事物的属性类比推广到类似的新事物中去,促进发现新结论.如分式的各种运算法则就是与小学学过的分数的运算法则类比联想到的；再如由天平的平衡条件比得出等式的基本性质,这种方法体现了“法故而知新”和“以旧引新”的教学设计原则,这样的设计起点低,学生学起来更容易接受.教学中由于提供了思维发生的背景材料,既活跃了课堂气氛,又有利于在和谐、轻松的氛围中完成新知识的学习.

6.逆向思维的方法

所谓逆向思维就是把问题倒过来或从问题的反面思考或逆用某些数学公式、法则解决问题.加强逆向思维的训练,可以培养学生思维的灵活性和发散性,使学生掌握的数学知识得到有效的迁移,如绝对值等于2的数有几个,平方得4的数是什么,立方得6的数是什么,是学习绝对值、有理数的乘方后的逆去用,还有分配律的逆用等.

7.化归与转化的思想和方法

化归意识是指在解决问题的过程中,对问题进行转化,使之成为简单、熟知问题的基本解题模式,它是使一种数学对象在一定条件下转化为另一种数学对象的思想和方法.如有理数的减法运算是利用了相反数的概念转化为加法；学习方程和方程组时,通过逐步“消元”或“降次”的方法使“多元”转化为“一元”“、高次”转化为“低次”方程进行求解；将多边形的内角和转化为三角形的内角和进行研究等问题都是化归思想的运用,它们均采用将“未知”转化为“已知”、将“陌生”转化“熟知”、将“复杂”转化为“简单”的解题方法,其核心就是将有等解决的问题转化为已有明确解决程序的问题,以便利用已有的理论、技术来加以处理,从而培养学生用联系的、发展的、运动变化的观点观察事物、认识问题。