等差数列与通项公式.docx

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等差数列与通项公式

环球雅思学科教师辅导学案

1、等差数列的定义

叫做这个数列的公差。

即an-an」=d（n>2,n壬N）

2、等差中项若a,A,b成等差数列，那么A叫做a,b的等差中项。

两个实数a,b的等差中项只有一个，就是这两个数的算术平均数a+b

。

2

3、等差数列的性质

①等差数列的通项公式an=ai+（n-1）d=am+（n-m）d（n亡N）,d=—am。

n-m

an=dn+（a-d）当dho时，它是一个一次函数。

②等差数列的前n项和公式sn=n（ai+an）=nq+n（nT）d.22

d2d2

—n2+（ai-—）n=An2+Bn，当d工0时，它是一个二次函数，由于其常数项为零，所

2

2

的等差中项。

⑧若｛an｝与｛bn｝为等差数列，且前n项和分别为Sn与Sn'，则字=匕bmS2n」

4.等差数列ffl性质的判断和证明

5、知三求二

等差数列有5个基本量，a1,d,n,an，Sn，求解它们，多利用方程组的思想，知三求二。

注意要弄准它们的值。

6、特殊设法

三个数成等差数列，一般设为a-d,a,a+d；

四个数成等差数列，一般设为a—3d,a-d,a+d,a+3d。

制题精讲

1、等差数列的判断方法：

定义法an+-an=d（d为常数）或a^^-a^a^an^（n＞2）。

设｛an｝是等差数列，求证：

以bn=2n壬N*为通项公式的数列｛bn｝为等差数列。

3、等差数列的通项：

an=a^+（n_1）d或a^a^（n-m）d。

4、等差数列的前n和:

Sn.^^尹,—+字

｛an｝的前n项和记为Sn,若a2+a4+盹的值是一个确定的常数，则数列｛a.｝中也为常数的项是（）

D.Si5

ai=1a2+a5=4,an=33,则n为（）

（1）等差数列｛an｝中，a10=30,a20=50，则通项a.=

（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是

4、设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，a12=—8,&=—9,贝US16=

A.11B.19

C.20D.21

Aodc

⑴数列｛an｝中，an=an4中—（n二2,n亡N*）,a^3,前n项和S.=-—，则a1=_,n=

222

⑵已知数列｛an｝的前n项和Sn=12n—n2，求数列｛|an|｝的前n项和Tn.

5、

等差中项：

若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A=Ubo

2

a1、d、n、a及Sn，其中4、d称作为3求2o

a-2d,a-d,a,a+d,a+2d…（公差

提醒：

（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：

基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，

为d）；偶数个数成等差，可设为…，a—3d,a—d,a+d,a+3d，…（公差为2d）

6.等差数列的性质：

（1）当公差dH0时，等差数列的通项公式a^a1+（n-1）d=dn+印-d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和Sn“aj+n（n~“d十佝-d）n是关于n的二次函数且常数项为0.

222

（2）若公差daO，则为递增等差数列，若公差d<0，则为递减等差数列，若公差d=0，则为常数列。

（3）当m+n=P+q时，则有am+an=ap+為，特别地，当m+n=2p时，则有a^a^2ap.

（4）若｛an｝、｛bn｝是等差数列，则｛kan｝、｛kan+pbn｝（k、p是非零常数）、何知q｝（p,q€N*）、

a

S,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等差数列，而｛On｝成等比数列；若｛為｝是等比数列，且0，则｛IgQn｝是等差数列.

等差数列的前n项和为25,前2n项和为100，则它的前3n和为

（5）在等差数列｛an｝中，当项数为偶数2n时，S偶一爲=nd；项数为奇数2n-1时，S奇-2禺=a中,

S2n4=（2n—1）0中（这里a中即^）；S奇:

2禺=（k+1）:

ko

项数为奇数的等差数列｛an｝中，奇数项和为80,偶数项和为75,求此数列的中间项与项数

⑹若等差数列⑷、｛bn｝的前n和分别为人、Bn，且锂"（n），则瞥

Bn

S3n十1a

设｛an｝与｛bn｝是两个等差数列，它们的前n项和分别为Sn和Tn，若—=竺一1，那么」=

Tn4n—3bn

3n中1

⑺“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。

法一：

由不等式组；an仏；an兰°］确定出前多少项为非负（或非正）；法二：

因等差数列前

n壬N。

上述两种方法是运用了哪

Lan+Lan+>0丿

n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性种数学思想？

（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？

等差数列｛an｝中，d=25，S）=Si7，问此数列前多少项和最大？

并求此最大值;

A.dv0B.a7=0

C.S9>S5D.S3与Sz均为Sn的最大值

（2）等差数列｛an｝的前m项和为30，前2m项和为100,则它的前3m项和为（

A.130B.170C.210D.260

■■・

各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。

特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。

类型1an4t=an+f（n）

类型2an+=f（n）an

3n—1

例2：

已知a1=3，an（n3），求a.。

3n+2

类型3an1=Pan+q（其中p,q均为常数，（pq（p—1）hO））。

例:

已知数列｛an｝中，ai=1，an卅=2an+3，求an.

解法（待定系数法）：

把原递推公式转化为：

an+-1=p（an-t），其中t=-^，再利用换元法转化为等比数列求解。

1-P

在数列畑｝中，若ai=1,an+=2an+3（n>1），则该数列的通项a.=

（或anH4=pan+rqn,其中p，q,r

类型4an*=pan+qn（其中P，q均为常数，（pq（p—1）（q—1）h0））。

均为常数）。

例:

已知数列^n｝中，印=5,an+=1an，求a.。

632

解法：

一般地，要先在原递推公式两边同除以qn^，得：

+丄引入辅助数列（其中bn=去），得:

qnqqnqqn

bn十=pbn+1再待定系数法解决。

qq

类型5递推公式为an^=pan++qan（其中P,q均为常数）。

（待定系数法）：

先把原递推公式转化为an七—SanHt=t（an出—san）

其中S，t满足r^p

1st=7

解法一（待定系数——迭加法）：

数列£n｝：

3an七一5an十中2an=0（n工0,n^N），a^a,a^b，求数列的通项公式。

例：

已知数列En｝中，ai=1，a2=2g=|an「如，求an。

1.已知数列｛o」满足Oi=1,O2=3,On七=3On+—2On（门亡N*）.

（I）证明：

数列牯“+-耳｝是等比数列；（II）求数列｛aj的通项公式;

解法：

这种类型一般利用On

ES（n~1）与On=Sn—Sn_i=f（On）-f（On_,）消去Sn（n>2）或与

iSn—Sn」（n>2）

Sn=f（Sn-SnJ（n>2）消去On进行求解。

类型7on+=pon+on+b（pH1、0,aH0）

例:

设数列匚｝:

Oi=4,On=3Onj+2n—1,（n>2），求On.

解法：

这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an卡+x（n+1）+y=p（an+xn+y），与已知递推式比较,

解出x,y,从而转化为&+xn+y｝是公比为p的等比数列。

类型8an+=pan（P>0,a^0）

例：

已知数列｛an｝中，ai=1,an^=—（a>0），求数列ian的通项公式.

a

解法：

这种类型一般是等式两边取对数后转化为an+=pan+q，再利用待定系数法求解。

类型10an+=-pa^

ran+h

a+4

例：

已知数列｛an｝满足性质：

对于n忘N,an4=——,且a—=3,求｛^｝的通项公式.

2an+3

13a-25

例：

已知数列©｝满足：

对于，都有"寺

（1）若印=5,求an；

（2）若ai=3,求an；（3）若印=6,求a.;（4）当取哪些值时，无穷数列｛a.｝不存在?

解法：

如果数列｛an｝满足下列条件：

已知a1的值且对于n^N，都有a卄=~Pa』q（其中P、q、r、h均为常数,ran+h

解法：

这种类型一般可转化为Ezn4〉与Ezn｝是等差或等比数列求解。

类型12归纳猜想法

解法：

数学归纳法

变式：

（2006，全国II,理,22,本小题满分12分）

设数列｛an｝的前n项和为Sn,且方程X2—anx—an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3,…（I）求31,32；

（n）｛an｝的通项公式-

类型13双数列型解法：

根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。

AA

例：

已知数列tan｝中，ai=1；数列fcn｝中，bi=0。

当n>2时，务=—（2an」+6』）b=—（a^+2bn_,），求^，时

33

类型14周期型

1

2an,（0兰an兰—）a

例:

若数列右n〉满足an+=

26

，若ai=—，则a20的值为

17

2an—1,（2兰anv1）

解法：

由递推式计算出前几项，寻找周期。

童方法回顾

一、选择题:

1.

有穷数列1,23,26,29,…，23n+6的项数是

2.

已知数列｛aj的首项ai=1，且an=2%二+1（n>2），则为

an=2n—1

n2

an=2

（n-1）2

某数列第一项为1,并且对所有n>2,n€N*，数列的前n项之积n2,则这个数列的通项公式是

B.an=n2

D.an©

n

若｛an｝是等差数列，且a1+a4+a7=45,32+85+a8=39，贝Ua3+a6+a?

的值是

若等差数列｛an｝的前三项为x—1,x+1,2x+3，则这数列的通项公式为

首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是

-

3

8.

taj中an=n2—9n—100,则值最小的项是

D.第4项或第

1*

已知an=J+[+J（n迂N*卜贝y91+92+n|+a,o的值为

10.在等差数列｛an｝中，若a3+a9+a15+a21=8，贝Ua12等于

A.111.在等差数列｛an｝中，a3+a7—a10=8,a1—a4=4，贝US13等于

A.168

B.156

C.78

152

aj+a2+…+an*

12.数列｛an｝的通项an=2n+1，则由bn=——2（n€N），所确定的数列｛bn｝的前n项和是

二、填空题:

14•在—1,7之间插入三个数，使它们顺次成等差数列，则这三个数分别是

15.数列｛an｝为等差数列，a2与a6的等差中项为5,a3与a?

的等差中项为7,则数列的通项a.等于__

1

16、数列｛an｝为等差数列，S100=145,d=—，贝U81+83+85+…+a99的值为.

三、解答题:

3

17.已知关于x的方程X2—3x+a=0和x2—3x+b=0（a*b）的四个根组成首项为一的等差数列，求a+b的值.

4

18.在数列｛an｝中，a1=2,a17=66，通项公式是项数n的一次函数.

（1）求数列｛an｝的通项公式;

（2）88是否是数列｛an｝中的项.

｛an｝是首项为23,公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负

求前n项和S1的最大值；当0时，求n的最大值.

20.设函数f（x）=log2X—Iogx4（0CX<1），数列（aj的通项a.满足f（2an）=2n（n壬N*）.

（1）求数列｛耳｝的通项公式；

（2）判定数列｛an｝的单调性.

41

21.已知数列｛an｝满足a1=4,an=4—（n>2）,令bn=

an」an-2

（1）求证数列｛bn｝是等差数列;

（2）求数列｛an｝的通项公式.

.甲方案是：

公司在每年年末给每位

22.某公司决定给员工增加工资，提出了两个方案，让每位员工自由选择其中一种

员工增资1000元；乙方案是每半年末给每位员工增资300元.某员工分别依两种方案计算增资总额后得到下表:

工作年限

方案甲

方案乙

最终选择

1

1000

600

方案甲

2

2000

1200

方案乙

>3

方案甲

（说明：

①方案的选择应以让自己获得更多增资为准.②假定员工工作年限均为整数•）

（1）

他这样计算增资总额，结果对吗？

如果让你选择，你会怎样选择增资方案？

说明你的理由;

每一天都是全新的一天，每一天都是进步的一天。

从今天起步，在明天收获!

参考答案

1—

二、填空题:

13.sinJ或an=一（T）2[1-（T）n]•14.1,3,5.15.2n—3.16、60.

三、解答题：

17.解析：

由方程X2—3x+a=0和x2-3x+b=O（a丰b）可设两方程的根分别为xi,X2和X3,X4,由Xi+X2=3禾nX3+X4=3

31

所以，X1,X3,X4,X2（或X3,X1,X2,X4）组成等差数列，由首项X1=—,X1+X3+X4+X2=6，可求公差d=-,

4

所以四项为：

3,5,7,9,•••a+b=3x9.5x731

44444444

18.解析：

（1）设an=An+B由a1=2,aE，得广+»=2,解得广二4

i17A+B=66iB=—2

--an=4n—2

45

⑵令an=88，即4n—2=88得n=—

2

•••88不是数列｛an｝中的项.

19.解析：

（1）由已知a6=a1+5d=23+5d>0,a7=a1+6d=23+6d<0,

2323

解得：

—丄

56

⑵•/dv0,.・.｛an｝是递减数列，又a6>0,a7<0

6x5

•••当n=6时，Sn取得最大值，&=6X23+——（—4）=78

2

t=n±Jn2+2

2a'

20.解析：

⑴•••f（X）=log2X-Iogx4（0cXv1），又f（2an）=2n（n亡N*）,

二f（2an）=log22an—Iog2an4=2n（0c2anv1,即anc0）

a22

令log22n=t，则t-yn,•••t-2nt-2=0,

注意到log22a^=t，因此log22an=n±Jn2+2

另解：

由已知得

寫0

可知数列右n｝是递增数列.

an+1与an的大小.

注：

数列是一类特殊的函数，判定数列的单调性与判定函数的单调性的方法是相同的，只需比较

21.

（1）证明:

a2=242（an-2）

an+1—2=2一=

an

an

an

亠丄丄（nA1）

an卡—22（an-2）2a.-2

1111

故=—（nA1），即bn+1—bn=—（nA1）

an屮—2an—222

二数列｛bn｝是等差数列.

⑵解析：

•/｛是等差数列

an-2

厶=」（n_1）—

an-2a1-222

•••an=2+2

n

2•••数列｛an｝的通项公式an=2+—n

22.解析：

（1）设根据甲方案第n次的增资额为第n年末的增资总额为Tn=500n（ri+1）根据乙方案，第n次的增资额为bn,贝ybn=300n第n年末的增资总额为S2n=300n（2n+1）

•-「=1000,S2=900,T1>S2只工作一年选择甲方案T2=3000,S4=3000,T2=S4

当n>3时，TnVS2n,因此工作两年或两年以上选择乙方案.

（2）要使Tn=500n（n+1）,S2n=an（2n+1）

n+1

S2n>Tn对一切n€N*都成立即a>500

2n+1

an，贝yan=1000n

n十1

可知｛500—｝为递减数列，当n=1时取到最大值.

2n+1

则a>5002=1000（元），即当a>1000时，方案乙总比方案甲多增资

333