离散数学习题答案.docx
《离散数学习题答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《离散数学习题答案.docx(73页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
离散数学习题答案
离散数学习题参考答案
习题一
1、构造公式(p∧q)∨(¬p∧¬q)、p↔q的真值表。
2、构造公式¬(p∨q)与¬p∧¬q的真值表。
3、构造公式p、p∧p、p∨p的真值表。
4、构造公式p∨(q∧r)、(p∨q)∧(p∨r)的真值表。
5、构造公式p∨(p∧r)、p的真值表。
6、构造公式p∧(p∨r)、p的真值表。
7、构造公式p↔q、¬q↔¬p的真值表。
8、构造公式(p→q)∧(p→¬q)、¬p的真值表。
9、构造公式p、¬¬p的真值表。
10、构造公式p∨¬p、p∧¬p的真值表
略
习题二
一、分别用等算演算与真值表法,判断下列公式是否存在主析取范式或主合取范式,若有,请写出来。
(1)(¬p→q)→(¬q∨p)
(2)(¬p→q)→(q∧r)
(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)
(4)¬(q→¬p)∧¬p
(5)(p∧q)∨(¬p∨r)
(6)(p→(p∨q))∨r
(7)(p∧q)∨r
(8)(p→q)∧(q→r)
(9)(p∧q)→q
(10)¬(r↔p)∧p∧q
解:
(1)
p
q
¬p
(¬p→q)
¬q
(¬q∨p)
(¬p→q)→(¬q∨p)
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
存在主析取范式=成真赋值对应的小项的析取
=m00∨m10∨m11=(¬p∧¬q)∨(p∧¬q)∨(p∧q)
主析取范式=成假赋值对应的大项的合取
=M01=p∨¬q
等值演算:
(¬p→q)→(¬q∨p)
⇔¬(¬¬p∨q)∨(p∨¬q)
⇔¬(p∨q)∨(p∨¬q)
⇔(¬p∧¬q)∨(p∨¬q)
⇔(¬p∨(p∨¬q))∧(¬q∨(p∨¬q))
⇔(¬p∨p∨¬q)∧(¬q∨p∨¬q)
⇔(1∨¬q)∧(p∨¬q)
⇔(p∨¬q)
这是大项,故为大项的合取,称为主合取范式
(¬p→q)→(¬q∨p)
⇔(p∨¬q)
⇔(p)∨(¬q)
⇔(p∧1)∨(1∧¬q)
⇔(p∧(q∨¬q))∨((p∨¬p)∧¬q)
⇔(p∧q)∨(p∧¬q)∨(p∧¬q)∨(¬p∧¬q)
⇔(p∧q)∨(p∧¬q)∨(¬p∧¬q)
因为一个公式的值不是真,就是假,因此当我们得到一个公的取值为真的情况时,剩下的组合是取值为假,因此当得到小项的析取组成的主析取范式后,可以针对剩下的组合写出主合取范式。
如当我们得到(¬p→q)→(¬q∨p)的大项之合取(p∨¬q)后,使(p∨¬q)为假时(p,q)的值为(0,1),故其标记为M01,剩余的取值为(0,0),(1,0),(1,1),故小项之析取为m00∨m10∨m11。
反之,若先得到其小项的析取,也可得到其大项的合取。
反正这两者将其所有组合瓜分完毕。
(2)(¬p→q)→(q∧r)
p
q
r
¬p
¬p→q
(q∧r)
结果
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
主析取范式=m000∨m001∨m011∨m111=(¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧q∧r)
主合取范式=M010∧M100∧M101∧M110=(p∨¬q∨r)∧(¬p∨q∨r)∧(¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨¬q∨r)
(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)
p
q
r
(q∧r)
(p∨(q∧r))
(p∨q∨r)
(p∨(q∧r))
→(p∨q∨r)
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
永真式,所有小项的析取得到其主析取范式
=(¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧¬r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧¬r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)
由于没为假的指派,所以没有为假赋值,所对应的大项合取构成的合取,即没有主合取范式。
¬(p∨(q∧r))∨(p∨q∨r)=(¬p∧¬(q∧r))∨(p∨q∨r)=((¬p∧¬q)∨(¬p∧¬r))∨(p∨q∨r)=
(¬p∧¬q)∨(¬p∧¬r)∨p∨q∨r=¬(p∨q)∨(¬p∧¬r)∨p∨q∨r=1永真
(4)¬(q→¬p)∧¬p
p
q
¬p
(q→¬p)
¬(q→¬p)
结果
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
没有成真的赋值,从而没有对应的小项,因此没有小项构成的主析取范式
永假式即矛盾式,为假指派对应的大项合取=(p∨q)∧(p∨¬q)∧(¬p∨q)∧(¬p∨¬q)
原式=¬(¬q∨¬p)∧¬p=(q∧p)∧¬p=0
(5)(p∧q)∨(¬p∨r)
p
q
r
(p∧q)
¬p
(¬p∨r)
(p∧q)∨(¬p∨r)
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
主析取范式
(¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧¬r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)
主合取范式
M100=¬p∨q∨r
原式=((p∧q)∨¬p)∨r=((p∨¬p)∧(¬p∨q))∨r=(1∧(¬p∨q))∨r=¬p∨q∨r这就是大项也
剩下的赋值对应的就是小项
(6)(p→(p∨q))∨r
p
q
r
(p∨q)
(p→(p∨q))
(p→(p∨q))∨r
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
永真式,只有小项组成的主析取范式。
没有为假的赋值,所以没有成假赋值对应的大项的合取,即没有主合取范式。
原式=(¬p∨(p∨q))∨r=(1∨q)∨r=1
(7)(p∧q)∨r
p
q
r
(p∧q)
(p∧q)∨r
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
主析取范式=m001∨m011∨m101∨m110∨m111=
(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)
主合取范式=M000∧M010∧M100=(p∨q∨r)∧(p∨¬q∨r)∧(¬p∨q∨r)
(p∧q)∨r
=(p∧q∧1)∨(1∧1∧r)
=(p∧q∧(¬r∨r))∨((¬p∨p)∧(¬q∨q)∧r)
=(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)
(p∧q)∨r
=(p∨r)∧(q∨r)
=(p∨0∨r)∧(0∨q∨r)
=(p∨(¬q∧q)∨r)∧((¬p∧p)∨q∨r)
=(p∨¬q∨r)∧(p∨q∨r)∧(¬p∨q∨r)∧(p∨q∨r)
=(p∨¬q∨r)∧(p∨q∨r)∧(¬p∨q∨r)
(8)(p→q)∧(q→r)
p
q
r
(p→q)
(q→r)
(p→q)∧(q→r)
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
主析取范式=m000∨m001∨m011∨m111
=(¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧q∧r)
主合取范式=M010∧M100∧M101∧M110=
=(p∨¬q∨r)∧(¬p∨q∨r)∧(¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨¬q∨r)
(p→q)∧(q→r)=(¬p∨q)∧(¬q∨r)
=(¬p∨q∨0)∧(0∨¬q∨r)
=(¬p∨q∨(¬r∧r))∧((¬p∧p)∨¬q∨r)
=(¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨q∨r)∧(¬p∨¬q∨r)∧(p∨¬q∨r)
(p→q)∧(q→r)=(¬p∨q)∧(¬q∨r)
=(¬p∧¬q)∨(¬p∧r)∨(q∧¬q)∨(q∧r)
=(¬p∧¬q∧1)∨(¬p∧1∧r)∨(1∧q∧r)
=(¬p∧¬q∧(¬r∨r))∨(¬p∧(¬q∨q)∧r)∨((¬p∨p)∧q∧r)
=(¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧q∧r)
=(¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧q∧r)
(9)(p∧q)→q
p
q
(p∧q)
(p∧q)→q
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
永真式,只有小项的析取构成的主析取范式=(¬p∧¬q)∨(¬p∧q)∨(p∧¬q)∨(p∧q)
没有为假的指派,所以没有由大项的合取构成的主合取范式
(p∧q)→q
=¬(p∧q)∨q
=(¬p∨¬q)∨q
=¬p∨¬q∨q
=1
(10)¬(r↔p)∧p∧q
p
q
r
r↔p
¬(r↔p)
¬(r↔p)∧p∧q
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
主析取范式=m110=p∧q∧¬r
主合取范式=M000∧M001∧M010∧M011∧M100∧M101∧M111
=(p∨q∨r)∧(p∨q∨¬r)∧(p∨¬q∨r)∧(p∨¬q∨¬r)∧(¬p∨q∨r)∧(¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨¬q∨¬r)
¬(r↔p)∧p∧q
=¬((¬p∨r)∧(p∨¬r))∧p∧q
=((p∧¬r)∨(¬p∧r))∧p∧q
=(p∧¬r∧p∧q)∨(¬p∧r∧p∧q)
=(p∧q∧¬r)
¬(r↔p)∧p∧q
=¬((p∧r)∨(¬p∧¬r))∧p∧q
=((¬p∨¬r)∧(p∨r))∧p∧q
=(¬p∨¬r)∧(p∨r)∧p∧q
=(¬p∨¬r)∧((p∨r)∧p)∧q
=(¬p∨¬r)∧p∧q
=(¬p∨(¬q∧q)∨¬r)∧(p∨(¬q∧q)∨(¬r∧r))∧((¬p∧p)∨q∨(¬r∧r))
=(¬p∨¬q∨¬r)∧(¬p∨q∨¬r)∧
(p∨¬q∨¬r)∧(p∨¬q∨r)∧(p∨q∨¬r)∧(p∨q∨r)∧
∧(¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨q∨r)∧(p∨q∨¬r)∧(p∨q∨r)
=(p∨q∨r)∧(p∨q∨¬r)∧(p∨¬q∨r)∧(p∨¬q∨¬r)∧(¬p∨q∨r)∧(¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨¬q∨¬r)
=M000∧M001∧M010∧M011∧M100∧M101∧M111
二、应用题
1、某次课间休息时,1位同学作为主持人与另外3位同学进行猜数游戏,主持人说这个数是30、50、70中的某一个,你们三位同学各猜一次,然后主持人分析每人猜数的结果,从而最终确定是哪个数。
同学1说:
这个数是30,不是50
同学2说:
这个数是50,不是70
同学3说:
这个数既不是30,也不是50
主持人听后说道:
你们3人中,有一人全对,有二人对了一半,请问到底是哪个数。
解:
令S表示“这个数是30”,W表示“这个数是50”,Q表示“这个数是70”
同学1的话:
S∧¬W
同学2的话:
W∧¬Q
同学3的话:
¬S∧¬W
对于每个人来说,只有二个选择:
全对、对一半,对一半又分成:
第一句对第二句错、第一句错第二句对,因此每个同学的对错情况为:
√√、√×、×√,因此3个人共有3*3*3=27种可能的情况,其中有些情况不符合“有一人全对,有二人对了一半”而剔除。
我们按“√√、√×、×√”顺序,构造“类真值表”来分析其组合情况
同学1
同学2
同学3
命题公式
分析
√√
√√
√√
不必写
不可能全对
√√
√√
√×
不必写
不可能有2个对
√√
√√
√×
不必写
不可能有2个对
√√
√×
√√
不必写
不可能有2个对
√√
√×
√×
S∧¬W∧W∧Q∧¬S∧W=0
真值为0不对
√√
√×
√×
S∧¬W∧W∧Q∧S∧¬W=0
真值为0不对
√√
√×
√√
不必写
不可能有2个对
√√
√×
√×
S∧¬W∧¬W∧Q∧¬S∧W=0
真值为0不对
√√
√×
√×
S∧¬W∧¬W∧¬Q∧S∧¬W=S∧¬W∧¬Q
可能对的,是30
不是50,不是70
√×
√√
√×
S∧W∧W∧¬Q∧¬S∧W=0
不可能
√×
√√
√×
S∧W∧W∧¬Q∧S∧¬W=0
不可能
√×
√×
√√
S∧W∧W∧Q∧¬S∧¬W=0
不可能
√×
√×
√√
S∧W∧¬W∧¬Q∧¬S∧¬W=0
不可能
√×
√√
√×
×S,¬W,W,¬Q,S,W=0
不可能
×√
√√
×√
¬S,¬W,W,¬Q,S,¬W=0
不可能
×√
√×
√√
¬S,¬W,W,Q,¬S,¬W=0
不可能
×√
×√
√√
¬S,¬W,¬W,¬Q,¬S,¬W=
3个数都不是,不可能
答案是:
是30,不是50,不是70
同学1说:
这个数是30,不是50全对
同学2说:
这个数是50,不是70第一句错第二句对
同学3说:
这个数既不是30,也不是50第一句错第二句对
2、设计一个如下的电路图:
它有三个输入p1、p2、p3,当其中有2个及以上的值为1时输出的结果为1,其他情况下输出0。
请给出其真值表,同时针对此真值表给出主析取范式、主合取范式,并给出其最简单的表达式。
答:
与课堂例题一样
在真实的教材将其换成了如下习题
2、设计一个如下的电路图:
它有三个输入p1、p2、p3,当其中任意二个的值为0时输出的结果为1,其他情况下输出0。
请给出其真值表,同时针对此真值表给出主析取范式、主合取范式,并给出其最简单的表达式。
p1
p2
p3
表达式的值
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
其主析取范式=m000∨m001∨m010∨m100
=(¬p1∧¬p2∧¬p3)∨(¬p1∧¬p2∧p3)∨(¬p1∧p2∧¬p3)∨(p1∧¬p2∧¬p3)
=((¬p1∧¬p2)∧(¬p3∨∧p3))∨(((¬p1∧p2)∨(p1∧¬p2))∧¬p3)
=(¬p1∧¬p2)∨(((¬p1∧p2)∨(p1∧¬p2))∧¬p3)
其主合取范式=M011∧M101∧M110∧M111
=(p1∨¬p2∨¬p3)∧(¬p∨p2∨¬p3)∧(¬p1∨¬p2∨p3)∧(¬pq∨¬p2∨¬p3)
=(((p1∨¬p2)∧(¬p1∨p2))∨¬p3)∧(¬p1∨¬p2)
3、某年级要从1班、2班、3班、4班、5班中选出一名才子主持元旦晚会,每班最多一人,也可能没有,这些人满足如下条件,请确定最终选择哪些班级的学生:
(1)如果1班有人选中,则2班有人选中。
(2)若5班有人选上则1班与2班均有人选上。
(3)5班与4班必有一班有被选中。
(4)3班与4班同时有人选上或同时没人选上。
解:
用One表示1班选了人,Two表示2班选了人,Three表示3班选了人,Four表示4班选了人,Five表示5班选了人。
则这4个条件依次为
One→Two,Five→(One∧Two),Four∨Five,Three↔Four
满足这4个条件,即这4个条件的值均为真即为1,所以其合取为1
(One→Two)∧(Five→(One∧Two))∧(Four∨Five)∧(Three↔Four)=1,
将以上合取范式转换为主析取范式,因此双条件应转换为析取式的合取式
原式=
(¬One∨Two)∧(¬Five∨(One∧Two))∧(Four∨Five)∧((¬Three∨Four)∧(Three∨¬Four))
=[(¬One∨Two)∧(¬Five∨(One∧Two))]∧(Four∨Five)∧(¬Three∨Four)∧(Three∨¬Four)
=[(¬One∧¬Five)∨(¬One∧(One∧Two)∨(Two∧¬Five)∨(Two∧(One∧Two)]∧(Four∨Five)∧(¬Three∨Four)∧(Three∨¬Four)
={[(¬One∧¬Five)∨(Two∧¬Five)∨(Two∧One)]∧(Four∨Five)}
∧(¬Three∨Four)∧(Three∨¬Four)
={[(¬One∧¬Five∧Four)∨(Two∧¬Five∧Four)∨(Two∧One∧Four)∨(Two∧One∧Five)]
∧(¬Three∨Four)}∧(Three∨¬Four)
={(¬One∧¬Five∧Four∧¬Three)∨
(¬One∧¬Five∧Four)∨
(Two∧¬Five∧Four∧¬Three)∨
(Two∧¬Five∧Four)∨
(Two∧One∧Four∧¬Three)∨
(Two∧One∧Four)∨
(Two∧One∧Five∧¬Three)∨
(Two∧One∧Five∧Four)}∧(Three∨¬Four)
=(¬One∧¬Five∧Four∧Three)∨
(Two∧¬Five∧Four∧Three)∨
(Two∧One∧Four∧Three)∨
(Two∧One∧Five∧¬Three∧¬Four)∨
(Two∧One∧Five∧Four∧Three)
=(¬One∧Three∧Four∧¬Five)∨
(Two∧Three∧Four∧¬Five)∨
(One∧Two∧Three∧Four)∨
(One∧Two∧¬Three∧¬Four∧Five)∨
(One∧Two∧Three∧Four∧Five)
一班
二班
三班
四班
五班
条件1
条件2
条件3
条件4
方案一
无
不限
有
有
无
满足
满足
满足
满足
方案二
不限
有
有
有
无
满足
满足
满足
满足
方案三
有
有
有
有
不限
满足
满足
满足
满足
方案四
有
有
无
无
有
满足
满足
满足
满足
方案五
有
有
有
有
有
满足
满足
满足
满足
(1)如果1班有人选中,则2班有人选中。
(2)若5班有人选上则1班与2班均有人选上。
(3)5班与4班必有一班有被选中。
(4)3班与4班同时有人选上或同时没人选上。
按照某位帅哥的质疑,经仔细思考,应该将其转换为主析取范式,所以最终结果为:
=(¬One∧1∧Three∧Four∧¬Five)∨
(1∧Two∧Three∧Four∧¬Five)∨
(One∧Two∧Three∧Four∧1)∨
(One∧Two∧¬Three∧¬Four∧Five)∨
(One∧Two∧Three∧Four∧Five)
=(¬One∧¬Two∧Three∧Four∧¬Five)∨(¬One∧Two∧Three∧Four∧¬Five)∨
(¬One∧Two∧Three∧Four∧¬Five)∨(One∧Two∧Three∧Four∧¬Five)∨
(One∧Two∧Three∧Four∧¬Five)∨(One∧Two∧Three∧Four∧Five)∨
(One∧Two∧¬Three∧¬Four∧Five)∨(One∧Two∧Three∧Four∧Five)
=(¬One∧¬Two∧Three∧Four∧¬Five)∨(¬One∧Two∧Three∧Four∧¬Five)∨
(One∧Two∧Three∧Four∧¬Five)∨(One∧Two∧Three∧Four∧Five)∨
(One∧Two∧¬Three∧¬Four∧Five)
一班
二班
三班
四班
五班
条件1
条件2
条件3
条件4
方案一
无
无
有
有
无
满足
满足
满足
满足
方案二
无
有
有
有
无
满足
满足
满足
满足
方案三
有
有
有
有
无
满足
满足
满足
满足
方案四
有
有
有
有
有
满足
满足