陕西中考第25题隐形圆专项训练.docx

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陕西中考第25题隐形圆专项训练

陕西中考第25题隐形圆专项训练

1．问题发现：

（1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，点E是AC的中点，点F在BC边上，将△ECF沿着EF折叠后得到△EPF，连接BP并使得BP最小，请画出符合题意的点P；

问题探究：

（2）如图②，已知在△ABC和△EBD中，∠ACB＝∠BDE＝90°，AC＝BC＝4

，BD＝DE＝2

，连接CE，点F是CE的中点，连接AF，求AF的最大值．

问题解决：

（3）西安大明宫遗址公园是世界文化遗产，全国重点文物保护单位，为了丰富同学们的课外学习生活，培养同学们的探究实践能力，周末光明中学的张老师在家委会的协助下，带领全班同学去大明宫开展研学活动．在公园开设的一处沙地考古模拟场地上，同学们参加了一次模拟考古游戏．张老师为同学们现场设计了一个四边形ABCD的活动区域，如图③所示，其中BD为一条工作人员通道，同学们的入口设在点A处，AD⊥BD，AD∥BC，∠DCB＝60°，AB＝2

米．在上述条件下，小明想把宝物藏在距入口A尽可能远的C处让小鹏去找，请问小明的想法是否可以实现？

如果可以，请求出AC的最大值及此时△BCD区域的面积，如果不能，请说明理由．

2．问题发现

（1）如图1，AB是⊙O的弦，直线L交⊙O于点C，在直线L上找一点P，使得∠APB＜∠ACB，请画出满足条件的一个∠APB．

问题探究

（2）如图2，已知射线OM、ON，OM⊥ON，点A、B在射线ON上，点P是射线OM上一动点，AB＝6

，OB＝2

，当∠APB最大时，请求出此时OP的长．

问题解决

（3）如图3，某公园准备修建一室外儿童游乐园，地面道路ON边的AB段为儿童游乐园的入口，安全管理部门准备在与地面道路ON夹角为∠NOM的射线OM方向上确定一点P，并架设横杆PQ，使得PQ∥AB且PQ＝3m，在点Q处安装一摄像头，对入口段AB实施监控（点A、B、O、P、Q、M、N在同一平面内）．已知OA＝8m，AB＝

m，tan∠MON＝

．调研发现，当∠AQB最大时监控效果最好．请问能否找到一个点P，从而确定点Q，使得∠AQB达到最大？

如果存在，请确定点P的位置，并求出此时sin∠AQB的值；如果不存在，请说明理由．

3．问题背景

（1）如图

（1）△ABC内接于⊙O，过A作⊙O的切线l，在l上任取一个不同于点A的点P，连接PB、PC，比较∠BPC与∠BAC的大小，并说明理由．

问题解决

（2）如图

（2），A（0，2），B（0，4），在x轴正半轴上是否存在一点P，使得cos∠APB最小？

若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

拓展应用

（3）如图（3），在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD于D，E是AB上一点，AE＝AD，P是DE右侧四边形ABCD内一点，若AB＝8，CD＝11，tan∠C＝2，S△DEP＝9，求sin∠APB的最大值．

4．问题探究

（1）如图①，在正方形ABCD内，请画出使∠BPC＝90°的所有点P；

（2）如图②，已知矩形ABCD，AB＝9，BC＝10，在矩形ABCD内画出使∠BPC＝60°的所有点P，并求出△APD面积的最小值；

（3）随着社会发展，农业观光园走进了我们的生活．某农业观光园的平面示意图如图3所示的四边形ABCD，其中∠A＝120°，∠B＝∠C＝90°，AB＝

km，BC＝6km，观光园的设计者想在园中找一点P，使得点P与点A、B、C、D所连接的线段将整个观光园分成四个区域，用来进行不同的设计与规划，从实用和美观的角度他们还要求在△BPC的区域内∠BPC＝120°，且△APD的区域面积最小，试问在四边形ABCD内是否存在这样的点P，使得∠BPC＝120°，且△APD面积最小？

若存在，请你在图中画出点P点的位置，并求出△APD的最小面积．若不存在，说明理由．

5．问题提出：

（1）如图①，△ABC是等边三角形，AB＝4，若点O是△ABC的内心，则OA的长为　　；

问题探究：

（2）如图②，已知△ABC，∠BAC＝30°，AD是△ABC的高，且AD＝6，求△ABC面积的最小值．

问题解决：

（3）如图③，如图，有一块矩形ABCD的钢板，AB＝6+4

，BC＝12+8

，现截去一块直角△ABE钢板，其中∠AEB＝30°，工人师傅想将剩下的钢板合理利用，截出一个四边形BMFN，满足点F在边CD上，DF：

CF＝

：

2，点M在BE上，点N在BC上，且∠MFN＝90°，请问这个四边形BMFN的面积是否存在最大值？

若存在，试求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．

6．问题提出：

（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；

问题探究：

（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；

问题解决：

（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE＝120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？

若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）

7．问题提出：

（1）如图①，已知线段AB及AB外点C，试在线段AB上确定一点D，使得CD最短．

问题探究：

（2）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sin∠ABC＝

，D为AB中点，点E为AC边上的一个动点，请求出△BDE周长的最小值．

问题解决：

（3）如图③，有一个矩形花坛ABCD．AB＝10m，AD＝24m，根据设计造型要求，在AB上任取一动点E、连ED，过点A作AF⊥ED，交DE于点F，在FD上截取FP＝

AF，连接PB、PC；现需在△PBC的区内种植一种黄色花卉，在矩形内的其它区域种植一种红色花卉，已知种植这种黄色花卉每平方米需200元，种植这种红色花卉每平方米需180元，完成这两种花卉的种植至少需花费多少元？

（结果保留整数，参考数据：

≈1.7）

8．[探索发现]

（1）如图①，△ABC与△ADE为等腰三角形，且两顶角∠ABC＝∠ADE，连接BD与CE，则△ABD与△ACE的关系是　　；

[操作探究]

（2）在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中点，在线段AD上任取一点P，连接PB，将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．

请你探究，当点E在直线AD上时，如图②所示，连接CE，判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．

[拓展应用]

（3）在

（2）的应用下，请在图③中画出△BPE，使得点E在直线AD的右侧，连接CE，试求出点P在线段AD上运动时，AE的最小值．

9．问题提出

（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点O是△ABC的外接圆的圆心，则OB的长为　　

问题探究

（2）如图②，已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝6，点E为AD的中点，以BC为直径作半圆O，点P为半圆O上一动点，求E、P之间的最大距离；

问题解决

（3）某地有一块如图③所示的果园，果园是由四边形ABCD和弦CB与其所对的劣弧场地组成的，果园主人现要从入口D到

上的一点P修建一条笔直的小路DP．已知AD∥BC，∠ADB＝45°，BD＝120

米，BC＝160米，过弦BC的中点E作EF⊥BC交

于点F，又测得EF＝40米．修建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？

10．问题探究

如图1，点P是等边△ABC外接圆的弧BC上任意一点，连接AP，并在AP上截取PD＝PB．

（1）判断：

△BPD是　　三角形；

（2）证明：

PB+PC＝PA．

问题解决

（3）近年来，我国多个地区出现了严重的干旱现象，许多村庄出现了饮水困难．为了解决老百姓饮水问题．解放军某部到某地打井取水．已知同一地平线上的三村庄A、B、C位置如图2所示，其中村庄A在村庄B的北偏东30°方向6km处，村庄C在村庄B的正东方向8km处，现选取一点P打水井，因地形原因，需∠BPC＝120°，要使水井P到三个村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小．请在图中画出水井P的位置，并说明理由，同时求出此时输水管的总长度．（结果保留根号）

11．问题提出：

（1）如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝6，则△ABC的外接圆半径R的值为　　．

问题探究：

（2）如图②，⊙O的半径为10，弦AB＝16，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值和最小值．

问题解决：

（3）如图③所示，AB、AC、弧BC是某新区的三条规划路．其中，AB＝8km，AC＝4km，∠BAC＝60°，弧BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在弧BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F．也就是，分别在弧BC、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，则此时AP的值＝　　，PE+EF+FP的最小值为　　（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）．

12．发现问题：

（1）如图1，AB为⊙O的直径，请在⊙O上求作一点P，使∠ABP＝45°．（不必写作法）

问题探究：

（2）如图2，等腰直角三角形△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3

，D是AB上一点，AD＝2

，在BC边上是否存在点P，使∠APD＝45°？

若存在，求出BP的长度，若不存在，请说明理由．

问题解决：

（3）如图3，为矩形足球场的示意图，其中宽AB＝66米、球门EF＝8米，且EB＝FA．点P、Q分别为BC、AD上的点，BP＝7米，∠BPQ＝135°，一位左前锋球员从点P处带球，沿PQ方向跑动，球员在PQ上的何处才能使射门角度（∠EMF）最大？

求出此时PM的长度．

18．问题提出

（1）如图①，AC为⊙O的直径，点P在弧ACB上（不与A、B重合），连接AP、BP，则∠APB　　∠ACB（填“＞”“＜”或“＝”）．

问题探究

（2）如图②，在等边△ABC中，M、N为边AB和AC上的两动点，且BM＝AN，连接BN、CM，BN与CM相交于P，求∠BPC度数．

问题解决

（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，M、N分别为边AD和CD上的两个动点，且AM：

DN＝4：

3，连接BM、AN，BM与AN相交于点P，连接CP，求四边形ABCP面积的最大值．

19．问题探究，

（1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，P为CD边上的中点，试比较∠APB和∠ADB的大小关系，并说明理由；

（2）如图②，在正方形ABCD中，P为CD上任意一点，试问当P点位于何处时∠APB最大？

并说明理由；

问题解决

（3）某儿童游乐场的平面图如图③所示，场所工作人员想在OD边上点P处安装监控装置，用来监控OC边上的AB段，为了让监控效果最佳，必须要求∠APB最大，已知：

∠DOC＝60°，OA＝400米，AB＝200

米，问在OD边上是否存在一点P，使得∠APB最大，若存在，请求出此时OP的长和∠APB的度数；若不存在，请说明理由．