人教A版学年高中数学选修23课时跟踪训练含答案.docx
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人教A版学年高中数学选修23课时跟踪训练含答案
课时跟踪检测
（一）两个计数原理及其简单应用
层级一 学业水平达标
1．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为（ ）
A．13种 B．16种
C．24种D．48种
解析：
选A 应用分类加法计数原理，不同走法数为8＋3＋2＝13（种）．
2．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则（x，y）可表示不同的点的个数是（ ）
A．1B．3
C．6D．9
解析：
选D 这件事可分为两步完成：
第一步，在集合{2,3,7}中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合{－31，－24,4}中任取一个值y有3种方法．根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9个不同的点．
3．甲、乙两人从4门课程中各选修1门，则甲、乙所选的课程不相同的选法共有（ ）
A．6种B．12种
C．30种D．36种
解析：
选B ∵甲、乙两人从4门课程中各选修1门，∴由分步乘法计数原理，可得甲、乙所选的课程不相同的选法有4×3＝12种．
4．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为（ ）
A．40B．16
C．13D．10
解析：
选C 分两类：
第1类，直线a与直线b上8个点可以确定8个不同的平面；
第2类，直线b与直线a上5个点可以确定5个不同的平面．
故可以确定8＋5＝13个不同的平面．
5．给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后两个字符用a，b，c（允许重复），则不同编号的书共有（ ）
A．8本B．9本
C．12本D．18本
解析：
选D 需分三步完成，第一步首字符有2种编法，第二步，第二个字符有3种编法，第三步，第三个字符有3种编法，故由分步乘法计数原理知不同编号共有2×3×3＝18种．
6．一个礼堂有4个门，若从任一个门进，从任一门出，共有不同走法________种．
解析：
从任一门进有4种不同走法，从任一门出也有4种不同走法，故共有不同走法4×4＝16种．
答案：
16
7．将三封信投入4个邮箱，不同的投法有________种．
解析：
第一封信有4种投法，第二封信也有4种投法，第三封信也有4种投法，由分步乘法计数原理知，共有不同投法43＝64种．
答案：
64
8．如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通．今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．
解析：
按照焊接点脱落的个数进行分类：
第1类，脱落1个，有1,4，共2种；
第2类，脱落2个，有（1,4），（2,3），（1,2），（1,3），（4,2），（4,3），共6种；
第3类，脱落3个，有（1,2,3），（1,2,4），（2,3,4），（1,3,4），共4种；
第4类，脱落4个，有（1,2,3,4），共1种．
根据分类加法计数原理，共有2＋6＋4＋1＝13种焊接点脱落的情况．
答案：
13
9．若x，y∈N*，且x＋y≤6，试求有序自然数对（x，y）的个数．
解：
按x的取值进行分类：
x＝1时，y＝1,2，…，5，共构成5个有序自然数对；
x＝2时，y＝1,2，…，4，共构成4个有序自然数对；
…
x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．
根据分类加法计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对．
10．现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．
（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？
（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？
（3）推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
解：
（1）分四类：
第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．
所以共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34（种）．
（2）分四步：
第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．
所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5040（种）．
（3）分六类，每类又分两步：
从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．
所以，共有不同的选法
N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431（种）．
层级二 应试能力达标
1．（a1＋a2）（b1＋b2）（c1＋c2＋c3）完全展开后的项数为（ ）
A．9 B．12
C．18D．24
解析：
选B 每个括号内各取一项相乘才能得到展开式中的一项，由分步乘法计数原理得，完全展开后的项数为2×2×3＝12．
2．（2016·全国卷Ⅰ）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）
A．24B．18
C．12D．9
解析：
选B 由题意可知E→F有6种走法，F→G有3种走法，由分步乘法计数原理知，共6×3＝18种走法，故选B．
3．如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以从分开不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）
A．26B．24
C．20D．19
解析：
选D 因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类计数原理，完成从A向B传递有四种方法：
12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和：
3＋4＋6＋6＝19，故选D．
4．4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）
A．B．
C．D．
解析：
选D 4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16（种），其中仅在周六（周日）参加的各有1种，∴所求概率为1－＝．
5．圆周上有2n个等分点（n大于2），任取3个点可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为________．
解析：
先在圆周上找一点，因为有2n个等分点，所以应有n条直径，不过该点的直径应有n－1条，这n－1条直径都可以与该点形成直角三角形，即一个点可形成n－1个直角三角形，而这样的点有2n个，所以一共可形成2n（n－1）个符合条件的直角三角形．
答案：
2n（n－1）
6．将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有________种．
解析：
将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即2143,3142,4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应着3种填法，因此共有填法为3×3＝9（种）．
答案：
9
7．某校高二共有三个班，各班人数如下表．
男生人数
女生人数
总人数
高二
（1）班
30
20
50
高二
（2）班
30
30
60
高二（3）班
35
20
55
（1）从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？
（2）从高二
（1）班、
（2）班男生中或从高二（3）班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
解：
（1）从每个班选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：
第1类，从高二
（1）班中选出1名学生，有50种不同的选法；
第2类，从高二
（2）班中选出1名学生，有60种不同的选法；
第3类，从高二（3）班中选出1名学生，有55种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165种不同的选法．
（2）从高二
（1）班、
（2）班男生或高二（3）班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案：
第1类，从高二
（1）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第2类，从高二
（2）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第3类，从高二（3）班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从高二
（1）班、
（2）班男生或高二（3）班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80种不同的选法．
8．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，集合B＝{b1，b2}，其中ai，bj（i＝1,2,3,4，j＝1,2）均为实数．
（1）从集合A到集合B能构成多少个不同的映射？
（2）能构成多少个以集合A为定义域，集合B为值域的不同函数？
解：
（1）因为集合A中的每个元素ai（i＝1,2,3,4）与集合B中元素的对应方法都有2种，由分步乘法计数原理，可构成A→B的映射有N＝24＝16个．
（2）在
（1）的映射中，a1，a2，a3，a4均对应同一元素b1或b2的情形此时构不成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数，这样的映射有2个．
所以构成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数有M＝16－2＝14个．
课时跟踪检测
（二）两个计数原理的综合应用
层级一 学业水平达标
1．由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为（ ）
A．15 B．12
C．10D．5
解析：
选D 分三类，第一类组成一位整数，偶数有1个；第二类组成两位整数，其中偶数有2个；第三类组成3位整数，其中偶数有2个．由分类加法计数原理知共有偶数5个．
2．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有（ ）
A．4种B．5种
C．6种D．12种
解析：
选C 若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法．
3．若三角形的三边长均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b，c，且满足b≤4≤c，则这样的三角形有（ ）
A．10个B．14个
C．15个D．21个
解析：
选A 当b＝1时，c＝4；当b＝2时，c＝4,5；当b＝3时，c＝4,5,6；当b＝4时，c＝4,5,6,7．故共有10个这样的三角形．选A．
4．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为（ ）
A．18B．16
C．14D．10
解析：
选C 分两类：
一是以集合M中的元素为横坐标，以集合N中的元素为纵坐标有3×2＝6个不同的点，二是以集合N中的元素为横坐标，以集合M中的元素为纵坐标有4×2＝8个不同的点，故由分类加法计数原理得共有6＋8＝14个不同的点．
5．如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有（ ）
A．6种B．36种
C．63种D．64种
解析：
选C 每个焊接点都有正常与脱落两种情况，只要有一个脱落电路即不通，∴共有26－1＝63种．故选C．
6．如图所示为一电路图，则从A到B共有________条不同的单支线路可通电．
解析：
按上、中、下三条线路可分为三类：
从上线路中有3条，中线路中有1条，下线路中有2×2＝4（条）．根据分类加法计数原理，共有3＋1＋4＝8（条）．
答案：
8
7．将4种蔬菜种植在如图所示的5块试验田里，每块试验田种植一种蔬菜，相邻试验田不能种植同一种蔬菜，不同的种法有________种．（种植品种可以不全）
解析：
分五步，由左到右依次种植，种法分别为4,3,3,3,3．
由分步乘法计数原理共有4×3×3×3×3＝324（种）．
答案：
324
8．古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成______组．
解析：
分两类：
第一类，由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5×6＝30组不同的结果；同理，第二类也有30组不同的结果，共可得到30＋30＝60组．
答案：
60
9．某高中毕业生填报志愿时，了解到甲、乙两所大学有自己感兴趣的专业，具体情况如下：
甲大学
乙大学
专
业
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
工商管理学
物理学
如果这名同学只能选择一所大学的一个专业，那么他的专业选择共有多少种？
解：
由图表可知，分两类，第一类：
甲所大学有5个专业，共有5种专业选择方法；
第二类：
乙所大学有3个专业，共有3种专业选择方法．
由分类加法计数原理知，这名同学可能的专业选择有N＝5＋3＝8（种）．
10．若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？
解：
分两类完成．
第1类，当A或B中有一个为0时，表示的直线为x＝0或y＝0，共2条．
第2类，当A，B不为0时，直线Ax＋By＝0被确定需分两步完成．
第1步，确定A的值，有4种不同的方法；
第2步，确定B的值，有3种不同的方法．
由分步乘法计数原理知，共可确定4×3＝12条直线．
由分类加法计数原理知，方程所表示的不同直线共有2＋12＝14条．
层级二 应试能力达标
1．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有1个，至多5个，则不同的分法共有（ ）
A．4种 B．5种
C．6种D．7种
解析：
选A 分类考虑，若最少一堆是1个，由至多5个知另两堆分别为4个、5个，只有一种分法；若最少一堆是2个，则由3＋5＝4＋4知有2种分法；若最少一堆是3个，则另两堆为3个、4个共1种分法，故共有分法1＋2＋1＝4种．
2．要把3张不同的电影票分给10个人，每人最多一张，则有不同的分法种数是（ ）
A．2160B．720
C．240D．120
解析：
选B 可分三步：
第一步，任取一张电影票分给一人，有10种不同分法；
第二步，从剩下的两张中任取一张，由于一人已得电影票，不能再参与，故有9种不同分法．
第三步，前面两人已得电影票，不再参与，因而剩余最后一张有8种不同分法．所以不同的分法种数是10×9×8＝720（种）．
3．用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻，这样的四位数有（ ）
A．36个B．18个
C．9个D．6个
解析：
选B 分三步完成，第一步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；第二步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上，有3种方法；第三步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法．故有3×3×2＝18个不同的四位数．
4．用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有（ ）
A．12种B．24种
C．48种D．72种
解析：
选D 先涂C，有4种涂法，涂D有3种涂法，涂A有3种涂法，涂B有2种涂法．由分步乘法计数原理，共有4×3×3×2＝72（种）涂法．
5．从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成________个不同的对数值．
解析：
要确定一个对数值，确定它的底数和真数即可，分两步完成：
第1步，从这8个数中任取1个作为对数的底数，有8种不同取法；
第2步，从剩下的7个数中任取1个作为对数的真数，有7种不同取法．
根据分步乘法计数原理，可以组成8×7＝56个对数值．
在上述56个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，所以满足条件的对数值共有56－4＝52个．
答案：
52
6．用6种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色，要求“眼睛”（如图A，B所示区域）用相同颜色，则不同的涂色方法共有________种．
解析：
第1步涂眼睛有6种涂法，第2步涂鼻子有6种涂法，第3步涂嘴有6种涂法，所以共有63＝216种涂法．
答案：
216
7．用6种不同颜色为如图所示的广告牌着色，要求在A，B，C，D四个区域中相邻（有公共边的）区域不用同一种颜色，求共有多少种不同的着色方法？
解：
（1）法一：
分类：
第一类，A，D涂同色，有6×5×4＝120（种）涂法，
第二类，A，D涂异色，有6×5×4×3＝360（种）涂法，
共有120＋360＝480（种）涂法．
法二：
分步：
先涂B区，有6（种）涂法，再涂C区，有5（种）涂法，最后涂A，D区域，各有4（种）涂法，
所以共有6×5×4×4＝480（种）涂法．
8．用1,2,3,4四个数字（可重复）排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}．
（1）写出这个数列的前11项；
（2）这个数列共有多少项？
（3）若an＝341，求n．
解：
（1）111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133．
（2）这个数列的项数就是用1,2,3,4排成的三位数的个数，每个位上都有4种排法，则共有4×4×4＝64项．
（3）比an＝341小的数有两类：
共有2×4×4＋1×3×4＝44项．
∴n＝44＋1＝45（项）．
课时跟踪检测（三）排列与排列数公式
层级一 学业水平达标
1．下面问题中，是排列问题的是（ ）
A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合
解析：
选A 选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B、C、D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．
2．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为（ ）
A．6 B．4
C．8D．10
解析：
选B 列树形图如下：
丙甲乙乙甲乙甲丙丙甲共4种．
3．乘积m（m＋1）（m＋2）…（m＋20）可表示为（ ）
A．AB．A
C．AD．A
解析：
选D 因为m，m＋1，m＋2，…，m＋20中最大的数为m＋20，且共有m＋20－m＋1＝21个因式．所以m（m＋1）（m＋2）…（m＋20）＝A．
4．计算：
＝（ ）
A．12B．24
C．30D．36
解析：
选D A＝7×6×A，A＝6×A，所以原式＝＝36．
5．体操男队共六人参加男团决赛，但在每个项目上，根据规定，只需五人出场，那么在鞍马项目上不同的出场顺序共有（ ）
A．6种B．30种
C．360种D．A种
解析：
选D 问题为6选5的排列即为A．
6．计算：
5A＋4A＝________．
解析：
原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348．
答案：
348
7．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同的排列．
解析：
画出树形图如下：
可知共12个．
答案：
12
8．由1,4,5，x四个数字组成没有重复数字的四位数，所有这些四位数的各数位上的数字之和为288，则x＝________．
解析：
当x≠0时，有A＝24个四位数，
每个四位数的数字之和为1＋4＋5＋x，
即24（1＋4＋5＋x）＝288．
解得x＝2，
当x＝0时，每位四位数的数字之和为1＋4＋5＝10，而288不能被10整除，即x＝0不合题意，∴x＝2．
答案：
2
9．写出下列问题的所有排列．
（1）甲、乙、丙、丁四名同学站成一排；
（2）从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正、副班长．
解：
（1）四名同学站成一排，共有A＝24个不同的排列，它们是：
甲乙丙丁，甲乙丁丙，甲丙乙丁，甲丙丁乙，甲丁乙丙，甲丁丙乙；
乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲；
丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙丁甲乙，丙丁乙甲；
丁甲乙丙，丁甲丙乙，丁乙甲丙，丁乙丙甲，丁丙甲乙，丁丙乙甲．
（2）从五名同学中选出两名同学任正、副班长，共有A＝20种选法，形成的排列是：
12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54．
10．
（1）解关于x的方程：
＝89；
（2）解不等式：
A>6A．
解析：
（1）法一：
∵A＝x（x－1）（x－2）（x－3）（x－4）（x－5）（x－6）＝（x－5）（x－6）·A，
∴＝89．
∵A>0，∴（x－5）（x－6）＝90．
故x＝－4（舍去），x＝15．
法二：
由＝89，得A＝90·A，
即＝90·．
∵x！
≠0，∴＝，
∴（x－5）（x－6）＝90．解得x＝－4（舍去），x＝15．
（2）原不等式即>，
由排列数定义知
∴2≤x≤9，x∈N*．
化简得（11－x）（10－x）>6，∴x2－21x＋104>0，
即（x－8）（x－13）>0，∴x<8或x>13．
又2≤x≤9，x∈N*，∴2≤x<8，x∈N*．
故x＝2,3,4,5,6,7．层级二 应试能力达标1．从1,2,3,4中，任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为（ ）
A．2 B．4
C．12D．24
解析：
选C 本题相当于从4个元素中取2个元素的排列，即A＝12．
2．下列各式中与排列数A相等的是（ ）
A．B．n（n－1）（n－2）…（n－m）
C．D．A·A
解析：
选D ∵A＝，而A·A＝n·＝，∴A＝A·A，故选D．
3．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为（ ）
A．6B．9
C．12D．24
解析：
选B 构成四位数，可从特殊元素0进行分类：
第一类，0在个位有，，，共3个；第二类，0在十位有，，，共3个；第三类，0在百位有，，，共3个，故由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为9．
4．给出下列4个等式：
①n！
＝；②A＝nA；③A＝；④A＝，其中正确的个数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
解析：
选C ＝＝n！
，所以①正确；nA＝＝＝A，所以②正确；③显然是正确的；A＝＝（分母为（n－m）！
，而不是（m－n）！
），所以④不正确．
5．满足不等式>12的n的最小值为________．
解析：
由排列数公式得>12，即（n－5）（n－6）>12，解得n>9或n<2．又n≥7，所以n>9，
又n∈N*，所以n的最小值为10．
答案：
10
6．在编号为1,2,3,4的四块土地上分别试种编号为1,2,3,4的四个品种的小麦，但1号地不能种1号小麦，2号地不能种2号小麦，3号地不能种3号小麦，则共有______种不同的试种方案．
解析：
画出树形图，如下：
由树形图可知，共有11种不同的试种方案．
答案：
11
7．一条铁路线原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问原有多
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