文数届高考二轮精品复习资源专题九解析几何.docx
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文数届高考二轮精品复习资源专题九解析几何
专题九解析几何
…考向预测
从近五年的高考试题来看，该部分的试题是综合性的，题目中既有直线和圆的方程的问题，又有圆锥曲线与方
程的问题•考查的重点：
直线方程与两直线的位置关系；圆的方程；点、线、圆的位置关系；椭圆、双曲线、
抛物线及其性质；直线与圆锥曲线的位置关系；曲线的方程；圆锥曲线的综合问题.
…知识与技巧的梳理
1直线方程与圆的方程
（1）直线方程的五种形式
名称
方程形式
适用条件
点斜式
yy。
k（xxo）
不台能表示斜率不存在的直线
斜截式
ykxb
不冃匕表小斜率不存在的直线
两点式
yy1xX1
y2y1X2x
不能表示平行于坐标轴的直线
截距式
八1
ab
不能表示平行于坐标轴的直线
和过原点的直线
一般式
AxByC0（A,B
不同时为零）
可以表示所有类型的直线
（2）两条直线平行与垂直的判定
①两条直线平行：
对于两条不重合的直线ll,I2，若其斜率分别为ki,k2，则有11//l2Kk2；当直线Il,I2不重合且斜率都不存在时，I1//I2•
②两条直线垂直：
如果两条直线I1,I2的斜率存在，设为ki,k2，则有I1I2k1k21；
当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为
0时，liI2•
（3）两条直线的交点的求法
直线ii:
AxBiyG0，
l2:
A>xB2yC2
则ii与12的交点坐标就是方程组
AxB〔yG
A2xB2yC2
0的解•
（4）二种距离公式
①RO,yj,BXy）两点之间的距离:
IRP2I
（X2Xi）2（y2yi）2•
②点P0（xo,yo）到直线1:
AxByC
0的距离:
AxoBy。
C
.A2B2
③平行线AxByG0与AxBy
C20间距离:
CiC2
A2B2
（5）圆的定义及方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）
标准方程
222
（xa）（yb）r（r0）
圆心：
（a,b），半径：
r
x2y2DxEyF0,
圆心：
（二，二）,
一般方程
22
（D2E24F0）
半径：
丄JD2E24F
2
（6）点与圆的位置关系
点M（X0，y°）与圆（xa）2
（y
b）2
2
r的位置关系:
①若M（x°,y°）在圆外，则
（x0
a）2
（y。
b）2
②右M（x°,y°）在圆上，则
a）2
（y。
b）2
③若M（x°,y°）在圆内，则
（x0
a）2
（y。
b）2
2•直线、圆的位置关系
相离
相切
相交
图形
a
量方程观点
—
0
0
0
（1）直线与圆的位置关系（半径为r,
圆心到直线的距离为d）
化
几何观点
dr
dr
dr
（2）圆与圆的位置关系
设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R,r（Rr），则
宀护¥方位置大糸
外离
外切
相交
内切
内含
公共点个数
0
1
2
1
0
d,R,r的关系
dRr
dRr
Rrd
Rr
dRr
dRr
公切线条数
4
3
2
1
0
3•圆锥曲线及其性质
（1）椭圆的标准方程及几何性质
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
22
~1（ab°）
ab
22
■^2T21（ab0）ab
1
图形
I
*
焦点坐标
F1（c,0）,F2（g0）
R（0,c）,F2（0,c）
顶点坐标
A（a,0）,A（a,O）,B（0,b）,B2（o,b）
A（0,a）,A2（0,a）,B（b,0）,B（b0
长轴
长轴A1A22a,a疋长半轴的长
短轴
短轴B1B22b,b是短半轴的长
焦距
焦距F1F22c,c是半焦距
范围
|x|a,|y|b
|x|b,|y|a
离心率
eCJ1%（0e1）,e越接近1,椭圆越扁；e越接近0,椭圆越aVa
圆
（2）双曲线的标准方程及几何性质
22
22
标准方程
-2~y^1（a0,b0）ab
■^2~21（a0,b0）
ab
图形
■hW>
L
rin?
一般方程
22
mxny1（mn0）
几
何性质
范围
|x|a,yR
|yIa,XR
焦占
八'、八\、
Fi（c,0）,F2（c,0）
h（0,c）,F2（0,c）
顶点
A（a,0）,A（a,0）
A（0,a）,A2（0,a）
对称性
关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
实、虚轴长
线段AA叫做双曲线的实轴，它的长IAAJ2a；线段RD叫
做双曲线的虚轴，它的长IB!
B212b（a叫做双曲线的实半轴
长，b叫做双曲线的虚半轴长）
焦距
焦距IRF2I2c,c是半焦距
离心率
c/~b2
e-』~?
（e1）
aVa
渐近线方程
yaX
yA
（3）抛物线的标准方程及其几何性质
2y
2px
2y
2px
2x
2py
2x
2py
方程标准
（p0）
（p
0）
（p
0）
（p
0）
p的几何意义：
焦点
f到准线丨的距离
J
L
T
rx
\
yr
\I
Li
图形
_J
_L
f
盯X
p
丨
-O
n
r
顶点
O（0,0）
对称轴
y0（x轴）
x0（y轴）
焦占
八'、八\、
F（P0）
F（対
F吋）
F-，自
离心率
e1
准线方程
xP
2
xE
2
y卫
2
y上
2
范围
x0,yR
x0,yR
y0,xR
y0,xR
焦半径（其
中
P（xo,yo）
|PF|x2
|PF|X。
2
|PF|y°号
|PF|y°号
4•圆锥曲线的综合问题
（1）直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线I与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线I的方程AxByC0（A,B不同时为0）代入圆锥曲线C的方程F（x,y）0,消去y（也可以消去X）得到一个关于变量x（或变量y）的一元方程.
、AxByC0、2
即联立，消去y，得axbxc0•
F（x,y）0
1当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，
则0直线与圆锥曲线C相交；
0直线与圆锥曲线C相切；
0直线与圆锥曲线C相离.
2当a0,b0时，即得到一个一次方程，则直线I与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，
若C为双曲线，则直线I与双曲线的渐近线的位置关系是平行；
若C为抛物线，则直线I与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.
（2）圆锥曲线的弦长
设斜率为k（k0）的直线I与圆锥曲线C相交于M,N两点，M^,%）,,
则|MN|dk2|xix21（1k2）[（xiX2）24X1X2]或
数学
经典常规题
2
x
1.（2019•全国I卷）双曲线C:
=
a
为（）
A.2sin40
B.2cos40
【答案】D
【解析】根据题意可知一tan130
a
离心率e
b2
2a
2cos
50
2.（2019•全国
II卷）若抛物线
【答案】D
【解析】抛物线
限时训练
1（a
C.
，所以一
a
（45分钟）
0,b0）的一条渐近线的倾斜角为130,
1
sin50
tan50
cos250sin250
cos50
则C的离心率
1
D.
cos50
sin50cos50'
2cos
1
50
1
cos50
2
x2px（p0）的焦点是椭圆——
3p
C.4
2px（p0）的焦点是（—,0），椭圆
2
2x
3p
3.（2019全国III卷）已知F是双曲线
2
C:
X-
4
2y
5
则厶OPF的面积为（
C.
【答案】B
【解析】依据题意a2
22
4,b5,c
1的一个焦点，则
1的焦点是（..2p,0）,
1的丨焦点，点P在C上，O为坐标原点
若|PO||OF|,
设F为右焦点，F（3,0），设P在第一象限
P（x,y）,
2x
根据|PO||OF|,x2
2
y
y2
5
9
，得到y
1
3，所以s
OPF
15
1|OF|y5
2
x
4.（2019•全国III卷）设F1、F2为椭圆C:
—
36
2
y
20
1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限,
若厶MF1F2
为等腰三角形，则M的坐标为
【答案】（3,.15）
22
【解析】由椭圆C:
——1可知，a6,
3620
由M为C上一点且在第一象限，故等腰三角形
MFiF2中,
MF1F1F28,
MF22aMF1
M222j'15
sinRF2M,yMMFzsinF1F2M
84
、15，
22
xy1—
代入C:
1可得Xm3，故M的坐标为（3,..15）.
3620
5.（2019•全国I卷）已知点A,B关于坐标原点O对称，AB4,eM过点
A,B且与直线x
20相切.
（1）若A在直线xy0上，求eM的半径;
（2）是否存在定点P，使得当A运动时,
MA
MP为定值？
并说明理由.
【答案】
（1）
2或6；
（2）存在,
P（1,0），详见解析.
【解析】
（1）
•/e
M过点A,B,
•••圆心在ab的中垂线上即直线y
X上,
设圆的方程为
（x
22
a）（ya）
又AB
根据
AO2MO2
r2，得42a2r2,
•/eM与直线x
r,联解方程得
（2）设M的坐标为（X,y），根据条件
AO2MO2r2
即4x2
x22,
化简得y24x,
即M的轨迹是以（1,0）为焦点，以x
1为准线的抛物线,
所以存在定点P（1,0），使MA
MP
（x2）（x1）
•高频易错题
1.（2019•江西省上高县第二中学期末考试）若A（2,3）,
B（3,
2）,
C（f,m）三点共线，则m的值为（）
寸4x的焦点F作与抛物线对称轴垂直
【解析】由抛物线的性质知AB为通径，焦点坐标为
（1,0），直径2RAB
2p4，即R2,
1
A.—
2
1
B.—
2
C.2
【答案】A
23m2
1
【解析】kABkBC
m.
3213
2
2
2.（2019•内蒙古乌兰察布市集宁第一中学适应性考试）过抛物线
的直线交抛物线于A，B两点，则以AB为直径的圆的标准方程为（）
A.（x1）2y24B.（x1）2y24C.x2（y1）24D.x2（y1）24【答案】B
所以圆的标准方程为（x1）2y24.
3（2019•宁夏银川一中调研考试）
双曲线
1（a0）的一条渐近线方程为
3
-x，则a
5
【答案】5
【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为
4.（2019•广东省5月仿真冲刺模拟卷）斜率为
3
yx，结合题意可得a5.
a
12
k（k0）的直线|过点F（0,1），且与曲线y—x（x0）
4
及直线y1分别交于A,B两点，若|FB|6|FA|，则k
【答案】
12
122
【解析】易知曲线y—x2（x0）是抛物线C：
x24y的右半部分，如图,
4
其焦点为F（0,1），准线y
1，过点A作AH准线，垂足为H，则|AH||AF|,
因为|FB|6|FA|，所以|AB|5|AH|,
tanABH带216，故直线l的斜率为
12
2
x
5.（2019•河南省八校高三1月尖子生联赛）已知椭圆C:
^
a
2
笃1（ab0）,R（2,2）,P2（0,^.3）,b
P3（2,3）,P4（2,3）四点中恰有三点在椭圆C上.
（1）求C的方程;
（2）已知点E（0,1），问是否存在直线
P与椭圆C交于M,N
两点且IME||NE|?
若存在，求出直线p
斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1）
2x
16
2
—1；
（2）存在,
12
（期
【解析】
（1）
由于
P3,F4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3,F4两点,
又由
4
~2a
■92知C不经过点
b2
P，所以点P2在C上.
因此
12
孑
4
a2
a216
2，所以
b212
2
C的方程为—
16
2
乞1•
12
（2）
假设存在满足条件的直线p:
y
kx
设M（为，yj,
N（X2,y2）•
将直线p:
y
kxm与椭圆联立可得
y
2
x
16
kx
2
y_
12
（34k2）x2
2
8kmx4m480.
64k2m2
4（34k2）（4m248）
16k2
12
m2①,
2
8km4m48
X1X2
34k234k2
设MN的中点为F（xo,y°），故
x1x2
X。
2
4km
2?
4k
yokx°
3m
2，
34k
因为|ME||NE|，所以EF
MN,
3m
2
所以kEFk1，所以3:
幕
34k2
（4k2
3）,
4
代入①得16k212（4k23）216k48k2
故存在直线p使得|ME||NE|，且直线p斜率的取值范围是（
1
2，
1
2刁
o精准预测题
1.（2019•江西省新余市第一中学模拟考试）若3人4%20,3X24y220，则过人（咅，yj,B（x>,y2）
两点的直线方程是（）
A.4x3y20b.3x4y20C.4x3y20d.3x4y20
【答案】B
【解析】由题意得A^yJ,B（X2,y2）两点的坐标都满足方程3x4y20,
所以过,B（X2,y2）两点的直线方程是3x4y20.
2.（2019•湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校4月模拟）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍,
则该椭圆的离心率是（
）
A.-
B」
3
3
【答案】C
【解析】由题可知a
、、3b，则e
C.丄
D.乙!
3
3
ca2b2.6
a'a23•
B（5,0）,△ABC的内切圆
ABC的顶点A（5,0）,
圆心在直线x
3上，则顶点C
的轨迹方程是（
）
2
2
2
2
2
2
22
xA.
y_
’x
1B.
仏1C.
x
y1（x3）
D.—1（x4）
9
16
16
9
9
16
169
【答案】
C
【解析】
如图,
|AD||AE|
8,|BF||BE|
2,
|CD|ICF|,
3.（2019•山东省济南第一中学
2月适应考试）已知△
T
/
1
*
c
A
0
E
X-
B<
所以|CA||CB|82610|AB|.
22
故轨迹方程为——1（x3）.
916
4.（2019•广东省高三
月调研考试）
以抛物线y24x的焦点为圆心且过点
P（5,
2.、5）的圆的标准方程为
【答案】（x1）2y236
【解析】由题意知，P在抛物线上,
且F的坐标为（1,0），则|PF|5卫
2
故所求的圆的标准方程为（x1）2
y236.
5.（2019•湖南、湖北、河南、河北、
山东五省名校高考适应性考试）过抛物线
C:
4x的焦点F，且斜
l，则M至煩线NF
率为3的直线交C于点M（M在x轴上方），丨为C的准线，N点在丨上，且MN
的距离为
【答案】
2.3
【解析】
2反
设M（x0,y°）,•y04x0,•y02.x0,•sin60
x°1
4xo
x02xo14，
•••3x0
•/MN
1
10x030，解得xo=3或&3（舍去）」MF
MF,NMF60,•••△MNF为等边三角形,
•M到NF直线的距离为4
2
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