高中数学第二章圆锥曲线3柱面与平面的截面学案北师大版选修41.docx

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高中数学第二章圆锥曲线3柱面与平面的截面学案北师大版选修41

——教学资料参考参考范本——

高中数学第二章圆锥曲线3柱面与平面的截面学案北师大版选修4_1

______年______月______日

____________________部门

[对应学生用书P36]

1．圆柱面可以看成是一个矩形ABCD以一边CD所在的直线为轴旋转一周后AB边所形成的曲面．

2．平面上一条曲线C绕着一条直线l旋转一周后所形成的曲面称为旋转面．

3．用垂直于圆柱轴的平面截圆柱，所得交线是圆．

4．当截面β与圆柱面的轴不垂直时，所得交线为椭圆．

将两个球放入圆柱内，使它们位于平面γ的两侧，且每一个球既与圆柱相切，又与平面γ相切．那么平面γ与圆柱面的截线是什么？

提示：

椭圆

[对应学生用书P37]

椭圆的度量性质

[例1]　已知平面α与一圆柱的母线成45°角，那么该平面与圆柱截口图形的离心率是（　　）

A．　　　　　　　　　　　　B．1

C．D．

[思路点拨]　本题主要考查椭圆的度量性质，解决此题时只需结合椭圆的性质求解即可．

[精解详析]　设圆柱的底半径为r，由题意知平面与圆柱截口图形为椭圆，短轴长为2b＝2r，

则2a＝＝2b＝2r，

∴a＝r，c＝＝r

∴离心率e＝＝

[答案]　C

椭圆是圆柱与平面的截口，因此椭圆的度量性质与圆柱的底面半径、截面与母线的夹角相关．

1．已知圆柱的底面半径为r，平面α与圆柱母线的夹角为30°，则它们截口椭圆的焦距是（　　）

A．2rB．4r

C．rD．3r

解析：

选A　如图，过G2作G2H⊥AD，H为垂足，则G2H＝2r.

在Rt△G1G2H中，

G1G2＝＝2r×2＝4r，

∴长轴2a＝G1G2＝4r，短轴2b＝2r.

∴焦距2c＝2＝2×r＝2r.

椭圆的性质的应用

[例2]　如图，已知球O1，O2分别切平面β于点F1，F2.G1G2＝2a，Q1Q2＝2b，G1G2与Q1Q2垂直且互相平分，求证：

F1F2＝2.

[思路点拨]　本题主要考查椭圆性质的应用．解决时要结合图形，依据圆柱、双球及其截面的关系综合应用相关性质去求解．

[精解详析]　连接AB，过G1作G1H⊥BG2，H为垂足，则四边形ABHG1是矩形．∴G1H＝AB.

设P1，P2分别是Q1，Q2的平行射影，连接P1P2，P1Q1，P2Q2，

则P1Q1綊P2Q2.

∴P1Q1Q2P2是平行四边形．

∴Q1Q2＝P1P2，即Q1Q2等于底面直径，

∴G1H＝AB＝Q1Q2＝2b.又由切线长定理得

G1A＝G1F1＝G2F2，G2F1＝G2B，

∴G2F1－G2F2＝G2B－G1A.

又G1A＝BH，

∴G2F1－G2F2＝G2B－BH.

∴F1F2＝G2H.

在Rt△G1G2H中，

G2H＝＝＝2.

如图将双球放入圆柱内，可得：

（1）圆柱形物体的斜截口是椭圆．

（2）椭圆的长轴长为AD，短轴长为圆的直径．焦点为切点F1，F2.焦距2c＝2＝F1F2.

解决并应用此类问题时，要仔细考查双球与圆柱及截面的关系，常用到切线长定理、三角形相似、全等、解直角三角形等相关知识．

2．如图，已知PF1∶PF2＝1∶3，AB＝12，G1G2＝20，求PQ.

解：

设椭圆长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c.

由已知可得a＝10，b＝6，c＝＝8，e＝＝.

由椭圆定义PF1＋PF2＝K1K2＝G1G2＝20.

又∵PF1∶PF2＝1∶3，

∴PF1＝5，PF2＝15.

由离心率定义，

∴＝.

∴PQ＝.

本课时考点常以客观题形式考查平面与柱面的截线的几何性质及应用．难度中等．

[考题印证]

已知圆柱底面半径为，平面β与圆柱母线夹角为60°，在平面β上以G1G2所在直线为横轴，以G1G2中点为原点，建立平面直角坐标系，求平面β与圆柱截口椭圆的方程．

[命题立意]

本题主要考查利用柱面与平面的截线性质及椭圆的定义求方程问题．

[自主尝试]　如图，过G1作G1H⊥BC于H.

∵圆柱底面半径为，

∴AB＝2.

∵四边形ABHG1是矩形，

∴AB＝G1H＝2.

在Rt△G1G2H中，

G1G2＝＝＝4.

又椭圆短轴长等于底面圆的直径2，

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

[对应学生用书P38]

一、选择题

1．用一个平面去截一个圆柱面，其截线是（　　）

A．圆　　　　　　　　　　　B．椭圆

C．两条平行线D．以上均可能

解析：

选D　平面与轴垂直时截线为圆；不垂直时截线可为椭圆；平面平行于轴自上而下时是两平行线．

2．已知平面β与一圆柱斜截口（椭圆）的离心率为，则平面β与圆柱母线的夹角是（　　）

A．30°B．60°

C．45°D．90°

解析：

选A　设β与母线夹角为φ，则cosφ＝，

∴φ＝30°.

3．如图所示，过F1作F1Q⊥G1G2，△QF1F2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（　　）

A．

B．

C．2－

D．－1

解析：

选D　设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c.

∵△QF1F2是等腰直角三角形，

∴QF1＝F1F2＝2c，QF2＝2c.

由椭圆的定义得QF1＋QF2＝2a，

∴e＝＝＝＝－1.

4．两圆柱底面半径分别为R，r（R>r），平面γ与它们的母线的夹角分别为α，β（α<β<90°），斜截口椭圆的离心率分别为e1，e2，则（　　）

A．e1>e2B．e1

C．e1＝e2D．无法确定

解析：

选A　∵e1＝cosα，e2＝cosβ

又∵α<β<90°时，cosα>cosβ，∴e1>e2.

二、填空题

5．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是．

解析：

设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为2a,2b,2c，由a＝2c，得＝，即e＝.

答案：

6．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是．

解析：

＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则>2，则0＜k＜1.

答案：

（0,1）

7．已知平面α截圆柱体，截口是一条封闭曲线，且截面与底面所成的角为30°，此曲线是，它的离心率为．

解析：

曲线是椭圆，e＝.

答案：

椭圆　

8．已知圆柱底面半径为b，平面α与圆柱母线夹角为30°，在圆柱与平面交线上有一点P到一准线l1的距离是b，则点P到另一准线l2对应的焦点F2的距离是．

解析：

由题意知，椭圆短轴为2b，长轴长2a＝＝4b，

∴c＝＝b.

∴e＝＝（或e＝cos30°＝）．

设P到F1的距离为d，则＝，

∴d＝b.

又PF1＋PF2＝2a＝4b，

∴PF2＝4b－PF1＝4b－b＝b.

答案：

三、解答题

9．如图所示，圆柱被平面α所截，已知AC是圆柱口在平面α上最长投影线段，BD是最短的投影线段，EG＝FH.

（1）比较EF，GH的大小；

（2）若圆柱的底面半径为r，截面α与母线的夹角为θ，求CD.

解：

（1）∵EG∥FH且EG＝FH，

∴四边形EFHG是平行四边形．

∴EF＝GH.

（2）过D作DP⊥AC于P，

在Rt△CDP中，＝sin∠DCP，

∴CD＝.

10．如图所示，设两焦点的距离F1F2＝2c，两端点G1G2＝2a，求证：

l1与l2之间的距离为.

证明：

设椭圆上任意一点P，过P作PQ1⊥l1于Q1，过P作PQ2⊥l2于Q2，

∵e＝＝＝，

∴PF1＝PQ1，PF2＝PQ2.

由椭圆定义PF1＋PF2＝2a，

∴PQ1＋PQ2＝2a.

∴PQ1＋PQ2＝，即l1与l2之间的距离为.

11．如图，设两焦点的距离F1F2＝2c，两端点距离G1G2＝2a，截面β与圆柱母线的夹角为φ.

求证：

P到F1的距离与到l1的距离比等于.

证明：

过G1作G1H⊥BC于H，则G1A＝BH.

由切线长定理得G2F1＝G2B，G1A＝G1F1＝G2F2，

∴G2F1－G2F2＝G2B－BH.

∴G2H＝F1F2＝2c.

在△PQK1和△G2G1H中，∠QPK1＝∠G1G2H＝φ，∠QK1P＝∠G1HG2＝90°，

∴△PQK1∽△G2G1H.

∴＝＝＝＝cosφ＝e.

又由切线长定理得PK1＝PF1，

∴＝＝＝cosφ＝e.

即e＝cosφ＝.