函数图像同名135.docx

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函数图像同名135

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三、函数的图象

教学目标

1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法．

2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题．

3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题．

4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力．

重点难点

以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点．

运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点．

教学过程

（首先提出问题，同学们展开讨论，进行探讨，总结．）

可以提出以下问题：

1．什么是函数的图象？

为什么要研究函数的图象？

2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？

3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？

怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？

4．请你归纳一下，我们学过哪些图象变换？

与它们相对应的函数表达式的变换是什么？

5．函数的图象与函数的其它知识之间有什么内在联系？

与方程的曲线有什么内在联系？

6．怎样利用函数的图象分析、解决数学问题？

（其次，通过学生对例题解法的探讨和分析，掌握知识之间联系，用数学思想分析、解决问题，培养独立思考品质和观察、分析、归纳、综合能力．）

一、作函数图象的一个基本方法——描点法

例1　作出下列函数的图象：

分析　先对四个函数性质进行研究，即研究定义域、值域、奇偶性、单调性，这样对要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势有大概认识．

既非奇函数又非偶函数，在［0，+∞）上是增函数．

由此只要在［0，+∞）上选x的取值列表描点．

是偶函数，在［0，＋∞）上是增函数．

由此只要在［0，＋∞）上选x的取值、列表描点，再由偶函数的特征（关于y轴对称）得到所要的图象．

（3）函数y=x-3定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），值域是（-∞，0）∪（0，＋∞），是奇函数，在（0，+∞）上是减函数．

由此只要在（0，+∞）上选x的取值、列表描点，再由奇函数的特征（关于原点对称）得到所要的图象．

图3即为y=x-3的图象．

数又非偶函数，在（0，+∞）是减函数．

评述　例1既复习了幂函数的图象又掌握了列表描点前避免盲目列表计算的方法．对已经研究过的基本初等函数，由于已经掌握了其图象的大致轮廓，我们只要找出几个关键的点，就可以迅速得到其图象．

分析　处理函数问题首先要考虑定义域．用函数单调性、奇偶性定义判断函数的单调性、奇偶性是研究函数性质的重要方法．根据本题解

均值定理更为简捷．由第

（1）题已经了解到f（x）的变化范围、变化趋势，图象的大致特征，在此基础上可列表描点作图．

解　

（1）f（x）的定义域为：

x∈R．

任取x1，x2∈R，且x1＜x2，

当x1＜x2≤-1时，x1x2＞1，所以f（x2）-f（x1）＜0；

当-1＜x1＜x2＜1时，|x1|＜1，|x2|＜1，所以|x1x2|＜1，即-1＜x1x2＜1，这样f（x2）-f（x1）＞0；

当1≤x1＜x2时，x1x2＞1，所以f（x2）-f（x1）＜0．

减函数，在区间（-1，1）上是增函数．

可知，当x=-1时，f（x）取最小值-1；当x=1时，f（x）取最大值1．

当x＞0时，f（x）＞0，此时图象位于第一象限，且x∈［0，1）是增函数，x∈［1，+∞）是减函数，当x=1时，f（x）取最大值1．当x=0，f（x）=0，图象过原点．

x轴为图象的渐近线．

根据以上分析，只要在［0，+∞）选x的取值列表描点即可．图5

评述　作图象前除分析函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，还可以进一步分析与x轴、y轴交点情况，是否有渐近线等，可以更准确绘出图象．

例3　作出下列函数的图象

（1）y=|x-2|（x＋1）；

（2）y=10|lgx|．

分析　显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．

解

（1）当x≥2时，即x-2≥0时，

当x＜2时，即x-2＜0时，

这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出（见图6）

（2）当x≥1时，lgx≥0，

y=10|lgx|=10lgx=x；

当0＜x＜1时，lgx＜0，

所以

这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出．（见图7）

评述　作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围．因此必须熟记基本函数的图象．例如：

一次函数，反比例函数，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，及三角函数，反三角函数的图象．

解　由x2-3|x|+2≥0得

故已知函数为

又①等价于

又②等价于

其图象见图8．

评述　高三复习函数图象时应有机地把函数的图象与方程的曲线联系起来．如本例的函数图象是双曲线的一部分弧．

在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想．

二、作函数图象的另一个基本方法——图象变换法．

一个函数图象经过适当的变换（如平移、伸缩、对称、旋转等），得到另一个与之相关的图象，这就是函数的图象变换．

在高中，主要学习了三种图象变换：

平移变换、伸缩变换、对称变换．

（1）平移变换

函数y=f（x+a）（a≠0）的图象可以通过把函数y=f（x）的图象向左（a＞0）或向右（a＜0）平移|a|个单位而得到；

函数y=f（x）+b（b≠0）的图象可以通过把函数y=f（x）的图象向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位而得到．

（2）伸缩变换

函数y=Af（x）（A＞0，A≠1）的图象可以通过把函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标伸长（A＞1）或缩短（0＜A＜1）成原来的A倍，横坐标不变而得到．

函数y=f（ωx）（ω＞0，ω≠1）的图象可以通过把函数y=f（x）的图象上

而得到．

（3）对称变换

函数y=-f（x）的图象可以通过作函数y=f（x）的图象关于x轴对称的图形而得到．

函数y=f（-x）的图象可以通过作函数y=f（x）的图象关于y轴对称的图形而得到．

函数y=-f（-x）的图象可以通过作函数y=f（x）的图象关于原点对称的图形而得到．

函数y=f-1（x）的图象可以通过作函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称的图形而得到。

函数y=f（|x|）的图象可以通过作函数y=f（x）在y轴右方的图象及其与y轴对称的图形而得到．

函数y=|f（x）|的图象可以通过作函数y=f（x）的图象，然后把在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分保持不变而得到．

例5　在区间（-∞，0）上为增函数的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[　　　]．

C．y=-（x+1）2

D．y=1＋x2

分析　如果用增函数的定义判断，比较麻烦，如果用图象变换的观

（-x）的图象可由y=log2x的图象关于y轴对称而得到．

因此，它在（-∞，0）上为减函数．

1个单位，再往下平移一个单位，所以它在（-∞，1）上是增函数，这样在（-∞，0）上亦是增函数．

考察C，图象y=-（x＋1）2顶点坐标为（-1，0），它在（-∞，-1]是增函数，在［-1，+∞）是减函数．

考察D，图象y=1+x2的顶点坐标是（0，1），它在（-∞，0]是减函数．因此选B．

评述　通过图象变换能寻找所求函数与基本初等函数的关系，从而能求得函数的性质．例题运用数形结合的思想，从观察图象判断出每个函数在区间上的单调性．等价变换在例题求解过程中发挥了重要作用，

例6　把函数y=f（x）的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图形C1向右平移2个单位得到图形C2，如果C2关于原点对称的图形对应的函数是y=2log2（2＋1）-1．那么函数f（x）是____．

分析　从题意中知y=f（x）的图象是变换的对象，经一系列变换后得到的y=2log2（x＋1）-1是变换结果．这里求f（x）要把结果顺序倒回．

C2与函数y=2log2（x＋1）-1的图象关于原点对称，故C2对应的函数是y=-[2log2（-x＋1）-1]，即y=-2log2（-x+1）＋1，C2向左平移2个单位而得C1，故C1对应的函数是：

y=-2log2[-（x＋2）＋1]＋1，即y=-2log2（-x-1）

象．故y=f（x）为y=-2log2（-2x-1）+1，即f（x）=-2log2（-2x-1）＋1．

评述　这里首先要区分变换的对象和变换的结果．

例7　作函数y=|log2|x-2||的图象．

分析　把函数y=log2x的图象往右移2个单位得到函数y=log2（x-2）的图象；由于x＞2，函数y=log2（x-2）在直线x=2的右边，它及其关于直线x=2对称的图形就是函数y=log2|x-2|的图象；最后把在x轴下边的图形以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分保持不变，就得到了函数y=|log2|x-2||的图象（如图9）．

评述　用图象变换的方法作函数图象的基础是熟悉基本初等函数的图象，在变换前要明确以哪个基本函数的图象为变换对象，进行什么变换？

怎样进行变换？

例8　设函数y=f（x）定义在实数集上，函数y=f（x-1）与函数y=f（1-x）的图象关于　　[　　　]．

A．直线关于y=1对称

B．直线关于y=0对称

C．直线关于x=0对称

D．直线关于x=1对称

分析　如果用（x+1）代替f（x-1）=f（1-x）中的x，可得f（0＋x）=f（0-x），根据偶函数定义及其图象特征，对称轴的方程是x=0，故选C．这样的解答是错误的，错在等式f（x-1）=f（1-x）上，这里“等号”是没有依据的．根源在于混淆了一个函数的图象的对称性与两个函数的图象的对称性这两个概念．

函数y=f（x-1）的图象是由函数y=f（x）的图象右移一个单位得到的．

函数y=f（1-x）=f[-（x-1）]是由函数y=f（x）的图象右移一个单位，再作关于直线x=1对称的图形而得到的．或由函数y=f（x）的图象关于y轴对称得到函数y=f（-x）的图象，再右移一个单位，即得到y=f[-（x-1）]的图象，就是y=f（1-x）的图象．

因此本题正确答案为D．

评述　由例题分析中看出；给出了变换对象和变换结果而寻找其变换方法和步骤，原则上说方法是不惟一的．

由例题分析中还应当明确：

设函数y=f（x）定义在实数集上，且满足f（x-1）=f（1-x），则函数y=f（x）的图象关于直线x=0对称．这是一个函数的对称性的概念．

三、函数图象的运用

例9　当a≠0时，函数f（x）=ax＋b和g（x）=bax的图象只可能是图10中的[　　　]．

分析　f（x）是a≠0的一次函数，g（x）=（ba）x是指数函数．先观察y=f（x）的图象，在A中应有a＞0且0＜b＜1；在B中应有a＞0且b＞1；在C中应有a＜0，b＞1；在D中应有a＜0，0＜b＜1．因此．对于A，可得0＜ba＜1；对于B，可得ba＞1；对于C；可得0＜ba＜1；对于D，可得ba＞1．

由以上所得，结合指数函数图象的性质可知，只有A才可能是正确的，因此本题选A．

评述　例题要求把图象反映出来的函数性质同函数解析式有关数的性质联系起来．该题培养了学生观察能力，识图能力，把形与数有机地联系在一起，对求函数解析式是有很大作用的．

例10　方程log2（x＋4）=3x的实数解的个数是　　　　　　　　　　　　　　　[　　　]．

A．0

B．1

C．2

D．3

分析　求出方程的解，再数解的个数的方法这里是行不通的，应该用数形结合法．

在同一个平面直角坐标系中，作出y=log2（x＋4）与y=3x这两个函数的图象（如图11）．由于两曲线有二个公共点，因此原方程有二个实数解．故本题选C．

评述　函数图象在方程中的作用是很大的，如一元二次方程实根分布问题，利用二次函数图象和数形结合的方法，可以较简捷的进行．函数与方程之间的内在联系是中学数学学习时必须重视的问题．

分析　这是两道填空题，不要求写出严格的求解过程，我们用数形结合的方法很快写出这两题的答案．

C2：

y=x-3，如图13，C1与C2的交点是（5，2），所以原不等式解集是{x|1≤x＜5}．

评述　函数图象在不等式学习中是有一定作用的，如本例能快捷地求出不等式的解．函数与不等式的内在联系在中学数学也是必须重视的问题．

例12　已知f（x+199）=4x2＋4x+3（x∈R），那么函数f（x）的最小值为____．

分析　由f（x＋199）的解析式求f（x）的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y=f（x＋100）与y=f（x），其图象仅是左右平移关系，它们取得

求得f（x）的最小值即f（x＋199）的最小值是2．

评述　函数图象与函数性质本身在学习中也是密切联系的，是“互相利用”关系，函数图象在判断函数奇偶性、单调性、周期性及求最值等方面都有重要用途．

能力训练

1．下列函数图象中正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[　　　]．

2．若把函数y=f（x）的图象向左、向下各平移2个单位，即得到y=2x的图象，则f（x）的表达式为[　　　]．

A．f（x）=2x+2＋2

B．f（x）=2x+2-2

C．f（x）=2x-2＋2

D．f（x）=2x-2-2

4．如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[-7，-3]上是　　[　　　]．

A．增函数且最小值为-5

B．增函数且最大值为-5

C．减函数且最小值为-5

D．减函数且最大值为-5

5．方程2|x|-（x-1）4=2的实根的个数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[　　　]．

A．1

B．2

C．3

D．4

8．函数f（x）的图象与函数y=x3-1的反函数的图象关于y轴成轴对称图形，那么f（x）的解析式是____．

9．函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，若当x≤1时，y=x2＋1，则当x＞1时，y=_____．

上．则a=_____，b=____．

12．将函数y=lgx向左平移1个单位，再往下平移2个单位得到C，如果C＇与C关于原点对称，图象C＇的函数解析式是____．

15．函数f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=2对称，当x∈（-2，2）时，f（x）=-x2＋1，则当x∈（-6，-2）时，f（x）=_____．

17．如果二次函数y=x2＋2（a-1）x＋2在区间（-∞，4］上是减函数，那么实数a的取值范围是　　[　　　]．

18．作下列函数的图象：

（1）y=x|2-x|；

（2）y=x|x|＋2x；

（1）y=f（-x）；

（2）y=f-1（x）；（3）y=|f（x）|；（4）y=f（|x|）．

值范围．

利用图象求实数a的取值范围．

答案提示

1．B

2．C

3．B

4．B

5．D

6．x=-2和y=17．（-1，2）

9．x2-4x＋5

10．a=-3，b=7

11．（-∞，0）

12．y=-lg（-x+1）＋2

14．y=log3（2x-2）

15．-（x+4）2+1

16．1

17．（-∞，-3]

18．

19．由已知关系式作等价变换可得

20．

21．

22．

线相切之前，都有两个交点，而直线与抛物线相切，得a=1，所以a∈

设计说明

培养创新能力是素质教育的核心，那么在目前课程设置、教材、教学评价都未发生很大变化条件下，课堂教学培养创新的突破口在哪里？

我同意质疑是学会认知、学会创新的突破口的观点．每节课要从提出问题开始，通过分析问题以求深入．解答问题不是结束，还要小结、变异，提出新问题．在课堂教学中，除去教师提出问题外还要鼓励学生提出问题、分析问题、解答问题，即以学生为主体，为之设立质疑空间，培养质疑风气，使之在质疑、解疑过程中学会学习、学会创新．

北京五中　肖　钰