北师大八年级数学下册第1章第3节线段的垂直平分线1练习教师版.docx
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北师大八年级数学下册第1章第3节线段的垂直平分线1练习教师版
初中数学试卷
北师大版8年级下册第1章第3节线段的垂直平分线
(1)练习
一、选择题
1.如图,△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,边AB的垂直平分线交AC于点D,则△BDC的周长是( )
A.8B.9C.10D.11
答案:
C
解析:
解:
∵ED是AB的垂直平分线,
∴AD=BD,
∵△BDC的周长=DB+BC+CD,
∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10.
故选C.
分析:
由ED是AB的垂直平分线,可得AD=BD,又由△BDC的周长=DB+BC+CD,即可得△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC.
2.如图,△ABC中,BD平分∠ABC,BC的中垂线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A=60°,∠ABD=24°,则∠ACF的度数为( )
A.48°B.36°C.30°D.24°
答案:
A
解析:
解:
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=∠ABD=24°,
∵∠A=60°,
∴∠ACB=180°-60°-24°×2=72°,
∵BC的中垂线交BC于点E,
∴BF=CF,∴∠FCB=24°,
∴∠ACF=72°-24°=48°,
故选:
A.
分析:
根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=24°,然后再计算出∠ACB的度数,再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF,进而可得∠FCB=24°,然后可算出∠ACF的度数.
3.如图,在等腰△ABC中,一腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点G,若已知AB=10,△GBC的周长为17,则底BC的长为( )
A.10B.9C.7D.5
答案:
C
解析:
解:
如图,∵在等腰△ABC中,一腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点G,
∴AG=BG,
∵AB=10,△GBC的周长为17,
∴CG+BG+BC=CG+AG+BC=AC+BC=17,AC=AB=10,
∴BC=7.
故选C.
分析:
首先根据题意在等腰△ABC中,一腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点G,根据线段垂直平分线的性质,可得AG=BG,继而可得△GBC的周长=AC+BC=17,则可求得答案.
4.如图,AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线DE交AC于点E,垂足为D,则∠EBC的度数是( )
A.30°B.40°C.70°D.80°
答案:
A
解析:
解:
∵AB的垂直平分线DE交AC于点E,
∴AE=BE,
∴∠ABE=∠A=40°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=70°,
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=30°.
故选A.
分析:
由AB的垂直平分线DE交AC于点E,可得AE=BE,继而求得∠ABE=∠A=40°,然后由AB=AC,求得∠ABC的度数,继而求得答案.
5.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB,AC于D,E两点,且AC=10,BC=4,则△BCE的周长为( )
A.6B.14C.18D.24
答案:
B
解析:
解:
∵AC=10,BC=4,
∴AC+BC=10+4=14,
∵DE是线段AB的垂直平分线,
∴AE=BE,
∴△BCE的周长=(BE+CE)+BC=AC+BC=14.
故选B.
分析:
先根据AC=10,BC=4,可得出AC+BC的长,再根据DE是线段AB的垂直平分线可得到AE=BE,进而可得出答案.
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,AB=13,AB边的垂直平分线分别交AB、AC于N、M两点,则△BCM的周长为( )
A.18B.16C.17D.无法确定
答案:
C
解析:
解:
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,AB=13,
由勾股定理得,BC=5,
∵MN是AB的垂直平分线,
∴MB=MA,
∴△BCM的周长=BC+CM+MB=BC+CM+MA=BC+CA=17,
故选:
C
分析:
根据勾股定理求出BC的长,根据线段垂直平分线的性质得到MB=MA,根据三角形的周长的计算方法代入计算即可.
7.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部,那么,这个三角形是( )
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形
答案:
C
解析:
解:
如图,O是边AB和边AC的垂直平分线的交点,
则AO=OB,AO=OC,
所以∠OAB=∠OBA,∠OAC=∠OCA,
∵∠BAC=∠OAB+∠OAC=∠OBA+∠OCA,
∴∠BAC>∠ABC+∠ACB,
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠BAC>90°,
即△ABC是钝角三角形,
故选C
分析:
先根据题意画出图形,再根据线段垂直平分线性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求出∠BAC>90°即可.
8.已知MN是线段AB的垂直平分线,C,D是MN上任意两点,则∠CAD和∠CBD之间的大小关系是( )
A.∠CAD<∠CBDB.∠CAD=∠CBDC.∠CAD>∠CBDD.无法确定
答案:
B
解析:
解:
∵MN是线段AB的垂直平分线,C,D是MN上任意两点,
∴AC=BC,AD=BD,
∴∠DAB=∠CBA,∠DAB=∠DBA,
如图1,∠CAD=∠CAB+∠DAB,∠CBD=∠CBA+∠DBA,
∴∠CAD=∠CBD;
如图2,∠CAD=∠CAB-∠DAB,∠CBD=∠CBA-∠DBA,
∴∠CAD=∠CBD.
故选B.
分析:
首先根据题意画出图形,然后由MN是线段AB的垂直平分线,C,D是MN上任意两点,根据线段垂直平分线的性质可得:
AC=BC,AD=BD,则可证得∠DAB=∠CBA,
∠DAB=∠DBA,继而求得答案.
9.已知△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于D,△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm,则△ABC的腰和底边长分别为( )
A.24cm和12cmB.16cm和22cmC.20cm和16cmD.22cm和16cm
答案:
D
解析:
解:
如图,连接BD,
∵D在线段AB的垂直平分线上,
∴BD=AD,
∴BD+DC+BC=AC+BC=38cm,且AB+AC+BC=60cm,
∴AB=60cm-38cm=22cm,
∴AC=22cm,
∴BC=38cm-AC=38cm-22cm=16cm,
即等腰三角形的腰为22cm,底为16cm,
故选D.
分析:
连接BD,根据线段垂直平分线的性质可得到BD=AD,可知两三角形周长差为AB,结合条件可求得腰长,再由周长可求得BC,可得出答案.
10.如图,地面上有三个洞口A、B、C,老鼠可以从任意一个洞口跑出,猫为能同时最省力地顾及到三个洞口(到A、B、C三个点的距离相等),尽快抓到老鼠,应该蹲守在()
A.△ABC三边垂直平分线的交点B.△ABC三条角平分线的交点
C.△ABC三条高所在直线的交点D.△ABC三条中线的交点
答案:
A
解析:
解:
∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等,
∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处.
故选A
分析:
根据题意,知猫应该到三个洞口的距离相等,则此点就是三角形三边垂直平分线的交点.
11.三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等,则这点一定是三角形的( )
A.三条中线的交点B.三边垂直平分线的交点
C.三条高的交点D.三条角平分线的交点
答案:
B
解析:
解:
三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等,则这点一定是三角形的三边垂直平分线的交点,
故选:
B.
分析:
根据线段垂直平分线的性质:
线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等可得答案.
12.△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与直线AC相交所成锐角为40°,则此等腰三角形的顶角为( )
A.50°B.60°C.150°D.50°或130°
答案:
D
解析:
解:
(1)当AB的中垂线MN与AC相交时
易得∠A=90°-40°=50°,
(2)当AB的中垂线MN与CA的延长线相交时,
易得∠DAB=90°-40°=50°,
∴∠A=130°,
故选D.
分析:
此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况解答.
13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,直线DE是斜边AB的垂直平分线交AC于D.若AC=8,BC=6,则△DBC的周长为( )
A.12B.14C.16D.无法计算
答案:
B
解析:
解:
∵DE是AB的垂直平分线,
∴DA=DB,
∴△DBC的周长为CB+CD+DB=CB+CD+DA=BC+CA=6+8=14,
故选:
B
分析:
根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到DA=DB,根据三角形周长公式求出周长.
14.如图,在△ABC中,AB=A,AC=B,BC边上的垂直平分线DE交BC、BA分别于点D、E,则△AEC的周长等于( )
A.A+BB.A-BC.2A+BD.A+2B
答案:
A
解析:
解:
∵ED垂直且平分BC,
∴BE=CE.
∵AB=A,AC=B,
∴AB=AE+BE=AE+CE=A.
∴△AEC的周长为:
AE+EC+AC=A+B.
故选A
分析:
要求三角形的周长,知道AC=B,只要求得AE+EC即可,由DE是BC的垂直平分线,结合线段的垂直平分线的性质,知EC=BE,这样三角形周长的一部分AE+EC=AE+BE=AB,代入数值,答案可得.
15.如图,有A、B、C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在( )
A.在AC,BC两边高线的交点处B.在AC,BC两边中线的交点处
C.在AC,BC两边垂直平分线的交点处D.在∠A,∠B两内角平分线的交点处
答案:
C
解析:
解:
根据线段的垂直平分线的性质:
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.则超市应建在AC,BC两边垂直平分线的交点处.
故选C.
分析:
要求到三小区的距离相等,首先思考到A小区、B小区距离相等,根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上,同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上,于是到三个小区的距离相等的点应是其交点,答案可得.
二、填空题
16.△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分线EF交AC于E,交BC于F.若FC=3cm,则BF=_________.
答案:
6cm
解析:
解:
连接AF.
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°;
∵AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F,
∴CF=AF,∠FAC=30°,
∴∠BAF=90°,
∴BF=2AF(30°直角边等于斜边的一半),
∴BF=2CF=6cm.
故答案是:
6cm
分析:
利用辅助线,连接AF,求出CF=AF,∠BAF=90°,再根据AB=AC,∠BAC=
120°可求出∠B的度数,由直角三角形的性质即可求出BF=2AF=2CF=6cm.
17.如图,ED为△ABC的AC边的垂直平分线,且AB=5,△BCE的周长为8,则BC=________.
答案:
3
解析:
解:
∵ED为AC上的垂直平分线,
∴AE=EC,
∵AB=AE+EB=5,△BCE的周长=AE+BE+BC=AB+BC=8,
∴BC=8-5=3.
故答案为:
3
分析:
根据ED为AC上的垂直平分线,得出AE=CE,再根据AB=5,△BCE的周长为AB+BC=8,即可求得BC.
18.如图,已知在△ABC中,AB=AC=10,DE垂直平分AB,垂足为E,DE交AC于D,若△BDC的周长为16,则BC=__________.
答案:
6
解析:
解:
∵DE垂直平分AB,
∴AD=BD,
∴AD+CD=BD+CD,即AC=BD+CD,
∵AC=10,△BDC的周长为16,
∴BC=16-AC=16-10=6.
故答案为:
6
分析:
先根据DE垂直平分AB可知,AD=BD,即AC=BD+CD,再由AC=10,△BDC的周长为16即可求出答案.
19.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,已知∠ADE=40°,则∠DBC=
答案:
15
解析:
解:
∵DE垂直平分AB,
∴AD=BD,∠AED=90°,
∴∠A=∠ABD,
∵∠ADE=40°,
∴∠A=90°-40°=50°,
∴∠ABD=∠A=50°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=65°,
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°,
故答案为:
15
分析:
根据线段垂直平分线求出AD=BD,推出∠A=∠ABD=50°,根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠ABC,即可得出答案.
20.点P在线段AB的垂直平分线上,PA=7,则PB=_________.
答案:
7
解析:
解:
∵点P在线段AB的垂直平分线上,PA=7,
∴PB=PA=7,
故答案为:
7
分析:
根据线段垂直平分线的性质得出PA=PB,代入即可求出答案.
三、解答题
21.某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目,现要在公园内建一个售票中心,使
三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等,请在图中确定售票中心的位置.
答案:
解:
如图,①连接AB,AC,
②分别作线段AB,AC的垂直平分线,两垂直平分线相较于点P,
则P即为售票中心
解析:
由三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等,可得售票中心是海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐场组成三角形的三边的垂直平分线的交点.
22.如图,在△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分AB,分别交AB,BC于D,E.若∠CAE=∠B+30°,求∠AEB的度数
答案:
140°
解析:
解:
∵DE垂直平分AB,
∴AE=BE,
∴∠B=∠EAB.
∵∠C=90°,∠CAE=∠B+30°,
∴∠B+30°+∠B+∠B=90°,
∴∠B=20°,
∴∠AEB=180°-20°-20°=140°.
分析:
根据线段垂直平分线求出AE=BE,推出∠B=∠EAB,根据已知和三角形内角和定理得出∠B+30°+∠B+∠B=90°,求出∠B,即可得出答案.
23.如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E.
(1)求证:
△ABD是等腰三角形;
(2)若∠A=40°,求∠DBC的度数;
(3)若AE=6,△CBD的周长为20,求△ABC的周长
答案:
(1)证明:
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,∴DB=DA,
∴△ABD是等腰三角形.
(2)30°(3)32
解析:
解:
(1)证明:
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,
∴DB=DA,
∴△ABD是等腰三角形;
(2)∵△ABD是等腰三角形,∠A=40°,
∴∠ABD=∠A=40°,∠ABC=∠C=(180°-40°)÷2=70°.
∴∠BDC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°.
(3)∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,AE=6,
∴AB=2AD=12.
∵△CBD的周长为20,
∴AC+BC=20,
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32.