人教版数学高二理科选修21第一章全称量词与存在量词.docx
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人教版数学高二理科选修21第一章全称量词与存在量词
1.4 全称量词与存在量词
[教材研读]
1．预习教材P21和P22思考，回答以下问题
（1）命题的语句中的限定短语有什么特点？
（2）命题中限定短语的出现对命题真假的判断可以用什么方法？
2．预习教材P24探究：
对三个命题的否定在形式上有什么特点？
[知识梳理]
1．全称量词与全称命题
2.存在量词与特称命题
3．全称命题与特称命题的否定
（1）全称命题p：
∀x∈M，p（x）的否定綈p：
∃x0∈M，綈p（x0）；全称命题的否定是特称命题．
（2）特称命题p：
∃x0∈M，p（x0）的否定綈p：
∀x∈M，綈p（x）；特称命题的否定是全称命题．
[反思诊断]
判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
1．在全称命题和特称命题中，量词都可以省略．（ ）
2．“有的等差数列也是等比数列”是特称命题．（ ）
3．“三角形内角和是180°”是全称命题．（ ）
[答案] 1.× 2.√ 3.√
思考：
全称命题和特称命题中是否一定含有全称量词和特称量词？
提示：
命题“正方形是特殊的菱形”，该命题中没有全称量词，即全称命题不一定含有全称量词．
判断下列语句是全称命题，还是特称命题．
（1）凸多边形的外角和等于360°；
（2）有的向量方向不定；
（3）对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；
（4）矩形的对角线不相等；
（5）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
[思路导引] 找命题中的量词及其命题的含义．
[解]
（1）可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．
（2）含有存在量词“有的”，故是特称命题．
（3）含有全称量词“任意”，故是全称命题．
（4）可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．
（5）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．
判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．
[跟踪训练]
用全称量词或存在量词表示下列语句
（1）不等式x2＋x＋1>0恒成立；
（2）当x为有理数时，
x2＋
x＋1也是有理数；
（3）等式sin（α＋β）＝sinα＋sinβ对有些角α，β成立；
（4）方程3x－2y＝10有整数解．
[解]
（1）对任意实数x，不等式x2＋x＋1>0成立．
（2）对任意有理数x，
x2＋
x＋1是有理数．
（3）存在角α，β，使sin（α＋β）＝sinα＋sinβ成立．
（4）存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．
题型二 全称命题与特称命题的否定
思考：
全称命题和特称命题的否定有什么特点？
提示：
全称命题和特称命题的否定分别是特称命题和全称命题．
（1）设命题p：
∃n∈N，n2>2n，则綈p为（ ）
A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2＝2n
（2）命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（ ）
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得nB．∀x∈R，∀n∈N*，使得nC．∃x∈R，∃n∈N*，使得nD．∃x∈R，∀n∈N*，使得n[思路导引] 明确命题是全称命题还是特称命题，把全称量词和特称量词互换，再把结论否定．
[解析]
（1）因为“∃x∈M，p（x）”的否定是“∀x∈M，綈p（x）”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.
（2）由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n[答案]
（1）C
（2）D
（1）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．
（2）对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
[跟踪训练]
判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出这些命题的否定．
（1）有一个奇数不能被3整除；
（2）∀x∈Z，x2与3的和不等于0；
（3）有些三角形的三个内角都为60°；
（4）每个三角形至少有两个锐角；
（5）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
[解]
（1）是特称命题，否定为：
每一个奇数都能被3整除．
（2）是全称命题，否定为：
∃x0∈Z，x
与3的和等于0.
（3）是特称命题，否定为：
任意一个三角形的三个内角不都为60°.
（4）是全称命题，否定为：
存在一个三角形至多有一个锐角．
（5）是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：
存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线．
思考：
如何用命题的真假求参数？
.
提示：
转化为集合的关系或转化为求最值问题．
若命题“∀x∈[－1，＋∞），x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．
[思路导引] 令f（x）＝x2－2ax＋2，求最值或参变分离法．
[解] 解法一：
由题意，∀x∈[－1，＋∞），
令f（x）＝x2－2ax＋2≥a恒成立，
所以f（x）＝（x－a）2＋2－a2≥a可转化为∀x∈[－1，＋∞），f（x）min≥a恒成立，而∀x∈[－1，＋∞），
f（x）min＝
由f（x）的最小值f（x）min≥a，
知a∈[－3,1]．
解法二：
x2－2ax＋2≥a，
即x2－2ax＋2－a≥0，
令f（x）＝x2－2ax＋2－a，
所以全称命题转化为∀x∈[－1，＋∞），f（x）≥0恒成立，所以Δ≤0或
即－2≤a≤1或－3≤a<－2.
所以－3≤a≤1.
综上，所求实数a的取值范围是[－3,1]．
利用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型
（1）全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．
（2）特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
[跟踪训练]
已知p：
“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，q：
“∃x0∈R，使x
＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
[解] p为真时，x2－a≥0，即a≤x2.
∵x∈[1,2]时，上式恒成立，而x2∈[1,4]，∴a≤1.
q为真时：
Δ＝（2a）2－4（2－a）≥0，
即a≥1或a≤－2.
∵p且q为真命题，∴p，q均为真命题．
∴a＝1或a≤－2.
即实数a的取值范围是（－∞，－2]∪{1}．
课堂归纳小结
1.判断全称命题的关键：
一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．
2．判定全称命题的真假的方法：
定义法：
对给定的集合的每一个元素x，p（x）都为真；代入法：
在给定的集合内找出一个x0，使p（x0）为假，则全称命题为假．
3．判定特称命题真假的方法：
代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p（x）为真，否则命题为假.
1．下列全称命题为真命题的是（ ）
A．所有的质数是奇数
B．∀x∈R，x2＋1≥1
C．对每一个无理数x，x2也是无理数
D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5
[解析] A、C、D可用举反例法判断为假．
[答案] B
2．已知命题p：
∀x>0，x＋
≥2，则綈p为（ ）
A．∀x>0，x＋
<2B．∀x≤0，x＋
<2
C．∃x≤0，x＋
<2D．∃x>0，x＋
<2
[答案] D
3．下列说法不正确的是（ ）
A．“若p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题
B．命题“∃x∈R，x2－x－1<0”的否定是“∀x∈R，x2－x－1≥0”
C．“φ＝
”是“y＝sin（2x＋φ）为偶函数”的充要条件
D．当α<0时，幂函数y＝xα在（0，＋∞）上单调递减
[解析] 选项A、B、D很容易判断为真命题，只有C选项，若φ＝
时，y＝sin（2x＋φ）也是偶函数，所以C选项是假命题．
[答案] C
4．命题p：
∃x0∈R，x
＋2x0＋5<0是__________（填“全称命题”或“特称命题”），它是__________命题（填“真”或“假”），它的否定为綈p：
__________.
[解析] 很显然命题p是特称命题，又∵Δ＝22－4×5<0，∴x2＋2x＋5>0恒成立，所以命题p是假命题，它的否定綈p：
∀x∈R，x2＋2x＋5≥0.
[答案] 特称命题 假 ∀x∈R，x2＋2x＋5≥0
5．由命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是（a，＋∞），则实数a＝__________.
[解析] ∵“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，∴x2＋2x＋m>0恒成立，即Δ＝4－4m<0，∴m>1.又∵m∈（a，＋∞），∴a＝1.
[答案] 1
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