[答案] A
5.(选修1-2P35A组T5改编)在等差数列{an}中,若a10=0,则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,且n∈N*)成立.类比上述性质,在等比数列{bn}中,若b9=1,则存在的等式为________.
[解析] 由等比数列的性质bn+1·b17-n=bn+2·b16-n=…=b=1,得b1b2…bn=b1b2b3b4…b17-n(n<17,n∈N*).
[答案] b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)
考点一 归纳推理
归纳推理是每年高考的常考内容,题型多为选择、填空题,难度稍大,属中高档题.
常见的命题角度有:
(1)数字的归纳;
(2)式子的归纳;
(3)图形的归纳.
角度1:
数字的归纳
【例1-1】 观察下列各式:
71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,…,则72018的末两位数字为( )
A.49B.43C.07D.01
[思路引导] →
[解析] 71,72,73,74,75,…的末两位数字分别为07,49,43,01,07,…,周期性出现(周期为4),而2018=4×504+2,所以72018的末两位数字必定和72的末两位数字相同.故选A.
[答案] A
角度2:
式子的归纳
【例1-2】 已知f(x)=,f1(x)=f′(x),f2(x)=[f1(x)]′,…,fn+1(x)=[fn(x)]′,n∈N*,经计算:
f1(x)=,f2(x)=,f3(x)=,…,照此规律,则fn(x)=________.
[思路引导] →
[解析] 因为f1(x)=,f2(x)=,f3(x)=,…,所以fn(x)=.
[答案]
角度3:
图形的归纳
【例1-3】 如图都是由边长为1的正方体叠成的几何体,例如第
(1)个几何体的表面积为6个平方单位,第
(2)个几何体的表面积为18个平方单位,第(3)个几何体的表面积是36个平方单位.以此规律,则第n个几何体的表面积是________个平方单位.
[思路引导] →
→
[解析] 从前面看这些正方体叠成的几何体,看到边长为1的正方形的面的个数依次为1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,….
而每一个这样叠成的几何体,从其前面、后面、左面、右面、上面、下面看到的边长为1的正方形的面数是一样多的,所以由这些正方体叠成的几何体的表面积依次为6×1,6×(1+2),6×(1+2+3),…,所以第n个几何体的表面积为6×(1+2+3+…+n)=3n(n+1).
[答案] 3n(n+1)
归纳推理问题的常见类型及解题策略
(1)与数字有关的等式的推理.观察数字的变化特点,找出等式左右两侧的规律及符号可解.
(2)与式子有关的归纳推理:
①与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点,注意是纵向看,找到规律后可解.
②与数列有关的推理.通常是先求出几个特殊现象,采用不完全归纳法,找出数列的项与项数的关系,列出即可.
(3)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论,采用赋值检验法验证其真伪性.
[对点训练]
1.(2019·山东日照模拟)对于实数x,[x]表示不超过x的最大整数,观察下列等式:
[]+[]+[]=3;
[]+[]+[]+[]+[]=10;
[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=21;
…
按照此规律第n个等式的等号右边的结果为________.
[解析] 因为[x]表示不超过x的最大整数,所以[1]=[]=[]=1,[4]=[]=…=[]=2,…,
因为等式:
[]+[]+[]=3,
[]+[]+[]+[]+[]=10,
[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=21,…,所以第1个式子的左边有3项、右边1+1+1=1×3=3,第2个式子的左边有5项、右边2+2+2+2+2=2×5=10,第3个式子的左边有7项、右边3×7=21,…,则第n个式子的左边有(2n+1)项、右边=n(2n+1)=2n2+n,故答案为2n2+n.
[答案] 2n2+n
2.设n为正整数,f(n)=1+++…+,计算得f
(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,观察上述结果,可推测一般的结论为________.
[解析] ∵f(21)=,f(22)>2=,f(23)>,f(24)>,∴归纳得f(2n)≥(n∈N*).
[答案] f(2n)≥(n∈N*)
3.分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科,它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.按照如图
(1)所示的分形规律可得如图
(2)所示的一个树形图.若记图
(2)中第n行黑圈的个数为an,则a2018=________.
[解析] 根据题图
(1)所示的分形规律,可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈,1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈,把题图
(2)中的树形图的第1行记为(1,0),第2行记为(2,1),第3行记为(5,4),第4行的白圈数为2×5+4=14,黑圈数为5+2×4=13,所以第4行的“坐标”为(14,13),同理可得第5行的“坐标”为(41,40),第6行的“坐标”为(122,121),….各行黑圈数乘2,分别是0,2,8,26,80,…,即1-1,3-1,9-1,27-1,81-1,…,所以可以归纳出第n行的黑圈数an=(n∈N*).所以a2018=.
[答案]
考点二 类比推理
【例2】 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,设a,b,c分别表示三条边的长度,由勾股定理,得c2=a2+b2.
类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.
[解] 如题图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°.
设a,b,c分别表示3条边的长度,由勾股定理,得c2=a2+b2.
类似地,在四面体PDEF中,∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°.设S1,S2,S3和S分别表示△PDF,△PDE,△EDF和△PEF的面积,相应于直角三角形的2条直角边a,b和1条斜边c,图中的四面体有3个“直角面”S1,S2,S3和1个“斜面”S.于是,类比勾股定理的结构,我们猜想S2=S+S+S成立.
[拓展探究] 若本例条件“由勾股定理,得c2=a2+b2”换成“cos2A+cos2B=1”,则在空间中,给出四面体性质的猜想.
[解] 如图,在Rt△ABC中,
cos2A+cos2B=2+2==1.
于是把结论类比到四面体P-A′B′C′中,我们猜想,四面体PA′B′C′中,若三个侧面PA′B′,PB′C′,PC′A′两两互相垂直,且分别与底面所成的角为α,β,γ,则cos2α+cos2β+cos2γ=1.
类比推理的分类
→
→
→
[对点训练]
(2019·杭州模拟)已知命题:
“若数列{an}是等比数列,且an>0,bn=(n∈N*),则数列{bn}也是等比数列”.类比这一性质,你能得到关于等差数列的一个什么性质?
并证明你的结论.
[解] 类比等比数列的性质,可以得到等差数列的一个性质是:
若数列{an}是等差数列,
bn=(n∈N*),
则数列{bn}也是等差数列.
证明如下:
设等差数列{an}的公差为d,
则bn==
=a1+(n-1),
所以数列{bn}是以a1为首项,为公差的等差数列.
考点三 演绎推理
【例3】 数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n∈N*).证明:
(1)数列是等比数列;
(2)Sn+1=4an.
[证明]
(1)因为an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn,
所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn.
故=2·,(小前提)
故是以1为首项,2为公比的等比数列.(结论)
(大前提是等比数列的定义)
(2)由
(1)可知=4·(n≥2),
所以Sn+1=4(n+1)·=4··Sn-1=4an(n≥2).(大前提)
又因为a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提)
所以对于任意正整数n,都有Sn+1=4an.(结论)
演绎推理的推证规则
(1)演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果前提是显然的,则可以省略;
(2)在推理论证过程中,一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成.
[对点训练]
已知函数y=f(x)满足:
对任意a,b∈R,a≠b,都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a),试证明:
f(x)为R上的单调增函数.
[证明] 设x1,x2∈R,取x1则由题意得x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),
所以x1[f(x1)-f(x2)]+x2[f(x2)-f(x1)]>0,
[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0,
因为x10,f(x2)>f(x1).
所以y=f(x)为R上的单调增函数.
创新交汇系列⑤——合情推理在高考中的创新应用
素养解读:
合情推理中运用猜想时不能凭空想象,要有猜想或拓展的依据.
【典例】
(1)(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:
你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:
我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )
A.乙可以知道四人的成绩
B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可知知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
(2)(2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:
(ⅰ)男学生人数多于女学生人数;
(ⅱ)女学生人数多于教师人数;
(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数.
①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为________.
②该小组人数的最小值为________.
[切入点]
(1)对每个人是否知道自己的成绩逐一进行推理;
(2)设出男生、女生及教师人数,列关系式进行推理.
[关键点]
(1)对甲不知道自己成绩进行推理;
(2)设量列出不等关系.
[规范解答]
(1)根据已知信息,推断如下表:
因此,由以上推理可知,乙、丁可以知道自己的成绩.故选D.
(2)令男学生、女学生、教师人数分别为x,y,z,则2z>x>y>z,①若教师人数为4,则4[答案]
(1)D
(2)①6 ②12
合情推理是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想,要合乎情理地进行推理,充分挖掘已给的事实,寻求规律,类比则要比较类比源和类比对象的共有属性,不能盲目进行类比.
[感悟体验]
1.(2019·南宁市联考)甲、乙、丙三人中,一人是工人,一人是农民,一人是知识分子.已知:
丙的年龄比知识分子大;甲的年龄和农民不同;农民的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是( )
A.甲是工人,乙是知识分子,丙是农民
B.甲是知识分子,乙是农民,丙是工人
C.甲是知识分子,乙是工人,丙是农民
D.甲是农民,乙是知识分子,丙是工人
[解析] 由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民,所以丙的年龄比乙小;再由“丙的年龄比知识分子大”,可知甲是知识分子,故乙是工人.故选C.
[答案] C
2.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:
“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:
“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:
“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________.
[解析] 由丙说的话可知,丙的卡片上的数字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的数字是“1和2”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和3”,此时与甲说的话一致;若丙的卡片上的数字是“1和3”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和2”,此时与甲说的话矛盾.
综上可知,甲的卡片上的数字是“1和3”.
[答案] 1和3
课后跟踪训练(四十一)
基础巩固练
一、选择题
1.观察下面关于循环小数化分数的等式:
0.==,0.==,0.=,0.000=×=,据此推测循环小数0.2可化成分数( )
A.B.C.D.
[解析] 0.2=0.2+0.1×0.=+×=.故选D.
[答案] D
2.(2019·兰州模拟)如图所示,把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形,试求第七个三角形数是( )
A.27B.28C.29D.30
[解析] a1=1,a2=a1+2,a3=a2+3,a4=a3+4,
∴an-an-1=n,
∴an=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1=,
∴a7==28,故选B.
[答案] B
3.(2019·惠州市高三二调)《周易》历来被人们视作儒家群经之首,它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识,是中华人文文化的基础,它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为:
把阳爻“
”当作数字“1”,把阴爻“
”当作数字“0”,则八卦所代表的数表示如下:
卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤
000
0
艮
001
1
坎
010
2
巽
011
3
依次类推,则六十四卦中的“屯”卦,符号为“
”,其表示的十进制数是( )
A.33B.34C.36D.35
[解析] 由题意可知,六十四卦中的“屯”卦的符号“
”表示的二进制数为100010,转化为十进制数为0×20+1×21+0×22+0×23+0×24+1×25=34.故选B.
[答案] B
4.(2019·安徽省知名示范高中高三联考)某参观团根据下列约束条件从A,B,C,D,E五个镇选择参观地点:
①若去A镇,也必须去B镇;②D,E两镇至少去一镇;③B,C两镇只去一镇;④C,D两镇都去或者都不去;⑤若去E镇,则A,D两镇也必须去.
则该参观团至多去了( )
A.B,D两镇B.A,B两镇
C.C,D两镇D.A,C两镇
[解析] 若去A镇,根据①可知一定去B镇,根据③可知不去C镇,根据④可知不去D镇,根据②可知去E镇,与⑤矛盾,故不能去A镇;若不去A镇,根据⑤可知也不去E镇,根据②知去D镇,根据④知去C镇,根据③可知不去B镇,然后检验每个条件都成立,所以该参观团至多去了C,D两镇.故选C.
[答案] C
5.如图所示,面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i=1,2,3,4),此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i=1,2,3,4),若====k,则1×h1+2×h2+3×h3+4×h4=.类比以上性质,体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i=1,2,3,4),此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i=1,2,3,4),若====k,则H1+2H2+3H3+4H4值为( )
A.B.C.D.
[解析] ∵V=S1H1+S2H2+S3H3+S4H4
=(kH1+2kH2+3kH3+4kH4)
∴H1+2H2+3H3+4H4=.故选B.
[答案] B
二、填空题
6.(2019·长春市高三质量监测)将1,2,3,4…这样的正整数按如图所示的方式排成三角形数组,则第10行左数第10个数为________.
[解析] 由三角形数组可推断出,第n行共有2n-1个数,且最后一个数为n2,所以第10行共19个数,最后一个数为100,左数第10个数是91.
[答案] 91
7.(2019·兰州市高考实战模拟)观察下列式子:
1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,…,由以上可推测出一个一般性结论:
对于n∈N*,1+2+…+n+…+2+1=________.
[解析] 因为1=12,1+2+1=22,1+2+3+2+1=32,1+2+3+4+3+2+1=42,…,所以归纳可得1+2+…+n+…+2+1=n2.
[答案] n2
8.(2019·河北卓越联盟月考)在平面内,三角形的面积为S,周长为C,则它的内切圆的半径r=.在空间中,三棱锥的体积为V,表面积为S,利用类比推理的方法,可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R=________.
[解析] 若三棱锥表面积为S,体积为V,则其内切球半径R=.理由如下:
设三棱锥的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,
由于内切球的球心到各面的距离等于内切球的半径,
所以V=S1R+S2R+S3R+S4R=SR,
所以内切球的半径R=.
[答案]
三、解答题
9.已知数列{an}的前n项和Sn,a1=-,且Sn++2=an(n≥2),计算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式.
[解] n≥2时,an=Sn-Sn-1,
∴Sn++2=Sn-Sn-1,∴+Sn-1+2=0.
当n=1时,S1=a1=-;
当n=2时,=-2-S1=-,
∴S2=-;
当n=3时,=-2-S2=-,∴S3=-;
当n=4时,=-2-S3=-,∴S4=-.
猜想:
Sn=-,n∈N*.
10.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
(1)若a,b,c成等差数列,证明:
sinA+sinC=2sin(A+C);
(2)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.
[解]
(1)证明:
∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.
由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.
∵sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),
∴sinA+sinC=2sin(A+C).
(2)∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.
由余弦定理得
cosB==≥=,
当且仅当a=c时等号成立.
∴cosB的最小值为.
能力提升练
11.(2019·贵州省高三适应性考试)我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理):
“幂势既同,则积不容异”,“幂”是截面积,“势”是立体的高.意思是:
如果两个等高的几何体在同高处截得两个几何体的截面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理,如图所示,在平面直角坐标系中,图1是一个形状不规则的封闭图形,图2是一个上底长为1,下底长为2的梯形,且当实数t取[0,3]上的任意值时,直线y=t被图1和图2所截得的两线段长总相等,则图1的面积为( )
A.4B.C.5D.
[解析] 由题意可知,S图1=S图2=×(1+2)×3=.故选B.
[答案] B
12.(2019·上海师大附中检测)若数列{an}满足:
对任意的n∈N*,只有有限个正整数m使得amA.2nB.2n2C.nD.n2
[解析] 对任意的n∈N*,an=n2,则(a1)*=0,(an)*=(a3)*=(a4)*=1,(a5)*=(a6)*=…=(a9)*=2,(a10)*=(a11)*=…=(a16)*=3,……,所以((a1)*)*=1,((a2)*)*=4,((a3)*)*=9,……,由此猜想((an)*)*=n2.故选D.
[答案] D
13.(2019·沧州联考)在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时,甲说:
“主要责任在乙”;乙说:
“丙应负主要责任”;丙说:
“甲说的对”;丁说:
“反正我没有责任”.四个人中只有一个人说的是真话,则该事故中需要负主要责任的人是________.
[解析] 若负主要责任的人是甲,则甲、乙、丙说的都是假话,只有丁说的是真话,符合题意;若负主要责任的人是乙,则甲、丙、丁说的都是真话,不合题意;若负主要责任的人是丙,则乙、丁说的都是真话,不合题意;若负主要责任的人是丁,则甲、乙、丙、丁说的都是假话,不合题意.故该事故中需要负主要责任的人是甲.
[答案] 甲
14.设数