机械优化设计课后习题答案word版本.docx
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机械优化设计课后习题答案word版本
第一章习题答案
1-1某厂每日（8h制）产量不低于1800件。
计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：
速度为25
件/h,正确率为98%，计时工资为4元/h;二级检验员标准为：
速度为15件/h,正确率为95%，计时工资3元/h。
检验员每错检一件，工厂损失2元。
现有可供聘请检验人数为：
一级8人和二级10人。
为使总检验费用最
省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？
解：
（1）确定设计变量；
X-j一级检验员
根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X=1;
x2二级检验员
（2）建立数学模型的目标函数；取检验费用为目标函数，即：
f（X）=8*4*X1+8*3*X2+2（8*25*0.02X1+8*15*0.05X2）
=40x1+36x2
（3）本问题的最优化设计数学模型：
3•
minf（X）=40X1+36X2x€R
s.t.g1（X）=1800-8*25X1+8*15X2W0
g2（X）=x1-8<0
g（X）=x2-10w0
g4（X）=-X1w0g5（X）=-x2w0
1-2已知一拉伸弹簧受拉力F，剪切弹性模量G，材料重度r，许用剪切应力[],许用最大变形量[]。
欲选择一组设计变量X[X1X2X3]t[dD2n]T使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：
弹簧圈数n3,
簧丝直径d0.5，弹簧中径10D250。
试建立该优化问题的数学模型。
注：
弹簧的应力与变形计算公式如下
ks8FD32,ks11,cD2（旋绕比），
sd3s2cd
解：
（1）确定设计变量；
x-id
根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X=x2D2;
X3n
（2）建立数学模型的目标函数；取弹簧重量为目标函数，即：
2
2
f（X）=rx1x2x3
4
23•
minf（X）=rx1x2x3X€R
4
s.t.gi（X）=0.5-xiw0
g2（X）=10-x2w0
g3（X）=X2-50w0
g4（X）=3-X3w0
g5（X）=（1丄）辱w0
2x2x1
w0
g6（X）=
3
8FX2x3
Gx14
1-3某厂生产一个容积为一优化问题的数学模型。
8000cm3的平底、无盖的圆柱形容器，
要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这
解：
根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为
X2
底面半径r高
表面积为目标函数，即:
inf（X）=
X12
+2X1X2
考虑题示的约束条件之后,
该优化问题数学模型为：
minf（X）=
X12+2
X1X2
S.t.
兀。
基
T厂M
X=[X1,X2]€R
g1（X）=-X1w0
g2（X）=-X2w0
h1（X）=8000-X12X2=0
1500m3的长方形仓库，已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为
1-4要建造一个容积为
岂于美学的考虑，其宽度应为高度的两倍。
现欲使其造价最低，试导出相应优化问题的数学模型。
4元、6元和12
解：
（1）确定设计变量;
根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为
X1
X=X2
X3
（2）建立数学模型的目标函数；
取总价格为目标函数，即：
f（X）=8（X1X3+X2X3）+6X1X2+12X1X2
（3）建立数学模型的约束函数；
1）仓库的容积为1500m3。
即:
1500-X1X2X3=0
2）仓库宽度为高度的两倍。
即:
x2-2x3=03）各变量取值应大于0，即：
xi>0,X2.>0.，则-xi<0,-X2<0
（4）本问题的最优化设计数学模型：
3.minf（X）=8（x1X3+X2X3）+18xiX2X€R
s.t.gi（X）=-xiw0
g2（X）=-X2w0
g3（X）=-x3w0
hi（X）=i500-xix2x3=0
h2（X）=x2-2x3=0
i-5绘出约束条件：
222
xix28；2xix28；xix24所确定的可行域
i-6试在三维设计空间中，用向量分别表示设计变量：
Xi[i32]T;X2[234]T;X3[4i4]T。
第二章习题答案
2-i请作示意图解释：
X（ki）X（k）（k）S（k）的几何意义。
2-2已知两向量Pi[i220]T,P2[202i]T,求该两向量之间的夹角。
2-3求四维空间内两点（i,3,i,2）和（2,6,5,0）之间的距离。
2-4计算二元函数f（X）Xi3XM25xi6在X（0）[11]T处，沿方向S[12]T的方向导数fs'（X（0））和沿该点梯度方向的方向导数f'（X（0））。
2-5已知一约束优化设计问题的数学模型为
22
minf（X）（xi3）2（x24）2
X[xi,x2]T
gi（X）xix250
g2（X）xix22.50
g3（X）xi0
g4（X）x20
求：
（1）以一定的比例尺画出当目标函数依次为f（X）1、2、34时的四条等值线，并在图上画出可行区的范围。
（2）找出图上的无约束最优解X1和对应的函数值f（X1），约束最优解X2和f（X2）；
精品文档
（3）若加入一个等式约束条件：
h（X）x-ix20
求此时的最优解X3,f（X3）。
解：
下图为目标函数与约束函数（条件）设计平面X-OX2。
其中的同心圆是目标函数依次为f（X）=1、2、3、4时的四条等值线；阴影的所围的部分为可行域。
由于目标函数的等值线为一同心圆，所以无约束最优解为该圆圆心即：
X1=[3,4]t
而约束最优解应在由约束线gi（X）=0,g2（X）=0,g3（X）=0,g4（X）=0，组成的可行域（阴影线内侧）
xx50
内寻找，即约束曲线gi（X）=0与某一等值线的一个切点X2*，可以联立方程：
12，解得
x-!
x210
X2*=[2，3]。
函数值f（X2*）=（2-3）2+（3-4）2=2。
加入等式约束条件，则X3*为可行域上为hi（X）=0上与某一条等值线的交点，可以联立方程：
函数值f（X3*）=（5/2-3）2+（5/2-4）2=2.5。
2-6试证明在（1,1）点处函数f（X）
证明：
求驻点：
丄凶4x134x1x2
X1
由丄凶。
輕0，得：
驻点x
X1X2
2f（X）“2'212X1
X1
4X2
2/
2f（X）
X1X2
海赛矩阵H（X）
10
4
4
2
各阶主子式：
an
10
0,
a11a12
a21a22
4222
X12x1X2X1X22x15具有极小值。
2x-i2,f（X）2x122x2
X2
[11]T，极值f（x*）4
皿4x1,”2
X2X1X2
104
0
42
H（X）是正定的，所以驻点必定是极小点。
故在（1,1）点处函数f（X）具有极小值。
2-7求函数f（X）3xi2x222xiX210的极值点，并判断其极值的性质。
由竺0,竺
X1X2
解：
丄凶6为2，Xi
0，得：
极值点x*[1/31/4]t，极值f（x*）229/24
2222
2f（X）62f（X）2f（X）o2f（X）/
26,-0,—24
x1x1x2x2Xx2
海赛矩阵H（X）
H（X）是正定的，所以，f（X）为凸函数。
得：
极值点X*[1/31/4]t，极值f（x*）229/24
2
X22X1X2捲1的凸性。
解:
f（X）4为2x21—
X1
f（X）
X2
2x22x1
2f（X）
2
X1
5,
2f（X）
2,
2f（X）
2,
2f（X）
X1
X2
x2x1
2
X2
海赛矩阵H（X）
各阶主子式：
a^1
0,
a11
a22
a21
H（X）是正定的，
所以，f（X）为凸函数。
22
f（X）X1X210X14X260并证明它在D{x1,x2
精品文档是一个凸函数。
解：
丄凶
102x1x2,
Xi
f（X）
X2
42x2x-i
2f（X）22f（X）
22,
XiXiX2
1,
2f（X）
海赛矩阵H（X）
各阶主子式：
an
0,
a11
a21
^2
a22
H（X）是正定的，
所以，f（X）为凸函数。
2-10现已获得优化问题
min
f（X）
4%
2
X2
12
s.t
g1（X）
2
X1
2
X2
25
0
g2（X）
2
X1
2
X2
10x1
10X2340
g3（X）
（X1
3）2
（X2
1）20
g4（X）
X1
0
g5（X）X20
的一个数值解X[1.000,4.900]t，试判定该解是否上述问题的最优解。
第三章习题答案
取初
3-1函数f（X）3x38x9，当初始点分别为X。
0及X。
1.8时，用进退法确定其一维优化的搜索区间,
始步
长T
0.1。
解:
当x。
0时
（1）
取T
T°0
•1，A0,A2
T
0.1
F1
F（A1）
f（X（0））
9
X
x（0）
a2s=0.1
F2
F（Az）
f（X（0）
A2S）
8.203
比较
F1、F2，
因F1F2：
，所以应作前进搜索。
⑵步长加倍：
T2T0.2,A2A2T120.3
F1F28.203
XX（0）A2S=0.3
F2F（A2）f（X（0）A2S）6.681
再比较F1、F2，因F1F2，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的A1点。
所以：
A1A2T0.30.20.1。
（3）步长加倍：
T2T0.4,A2A2T0.30.40.7
F1F26.681
XX（0）A2S=0.7
F2F（A2）f（X（0）A2S）4.429.
比较F1、F2，因F1F2，所以还应再向前搜索,A1A2T0.70.40.3。
（4）步长加倍：
T2T0.8,A2A2T1.5
F1F24.429
XX（0）A2S=1.5
F2F（A2）f（X（0）A2S）7.125.
比较F1、F2，因F1F2。
已找到具有“高－低－高”特征的区间
即：
1A1
0.3时，F（
1）
6.681
2A2T
0.7时，
F（
2）4.429
3A21.5
时，F（
3）
7.125。
所以，F（1
）F（
2）F（
3），
单峰区间为：
A1
A1
0.3,B
3
A21.5。
当x01.8时
同理可得：
A
1A1
1.5,B
3A20.3
3-2用黄金分割法求函数F（）
2在区间[35]中的极小点，要求计算到最大未确定区间长度小于0.05。
解：
（1）在初始区间[a,b]=[-3,5]中取计算点并计算函数值
（1）b0.618（b
a）
0.056;f1
f（
（1））
0.115136
（2）a0.618（b
a）
1.944;f2
f（
（2））
7.667
（2）比较函数值，
缩短搜索区间
因有fKf2,则b
（2）1.944;f2f（
⑵）
0.115136
（1）b0.618（ba）
1
.11139;f1
f（
（1））
0.98759
（3）判断迭代终止条件
b—a>£不满足迭代终止条件，比较函数值fl、f2继续缩短区间。
将各次缩短区间的有关计算数据列于下表。
表黄金分割法的搜索过程
区间缩短
次数
a
b
（1）
a
a⑵
f1
f2
（原区间）
-3
5
0.056
1.944
0.115
7.667
1
-3
1.944
-1.111
0.056
-0.987
0.115
2
-3
0.056
-1.832
-1.111
-0.306
-0.987
3
-1.832
0.056
-1.111
-0.665
-0.987
-0.888
4
-1.832
-0.665
-1.386
-1.111
-0.851
-0.987
（5-8）略
9
-1.11122
-0.94097
-1.046
-1.006
-0.997867
-0.999964
32
3-3用二次插值法求函数F（）8273的最优解。
已知搜区间为[02]，选代精度0.01o
解：
采用Matlab编程计算得：
0.6207
3-4函数f（X）x/2X222冶4x2，取初始点为X（0）[22]T，规定沿X（0）点的负梯度方向进行一次
一维优化搜索，选代精度：
X105,f106o
（1）用进退法确定一维优化搜索区间；
（2）用黄金分割法求最优化步长及一维优化最优值；
（3）用二次插值法求最优化步长及一维优化最优值；
（4）上述两种一维优化方法在求解本题时，哪一个种方法收取更快，原因是什么？
解：
最优点X*[02]t,最优值f（X*）4
二次插值法更快
2
3-5求F（）
（1）
（2）的极小点，选代精度x0.1,f0.1°要求：
（1）从0出发，T。
0.1为步长确定搜索区间；
（2）用黄金分割法求极值点；
（3）用二次插值法求极值点。
（1）①由已知条件可得，
1
0,F1
F
（1）
4
21T0
0.1
F2F
（2）
（21）（
22）2
（0.1
1）（0.1
2）2
3.971
因为F2F1，
应作前进搜索。
②步长加倍，
T2T0
0.2,F1
F2
3.971，
22T
0.10.2
0.3
F2F
（2）
（21）（
22）2
（0.3
1）（0.3
2）2
3.757
精品文档
解：
因为F2F1，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的1点。
所以：
12
0.3
③步长加倍，T2T0.4,F1F23.757，
22T0.30.40.7
F2F
（2）（21）（22）2（0.71）（0.72）22.873
因为F2F1，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的1点。
所以：
12
④步长加倍，T2T0.8,F1F22.873，
22T0.70.81.5
F2F
（2）（21）（22）2（1.51）（1.52）20.625
因为F2F1，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的1点。
所以：
12
⑤步长加倍，T2T1.6,F1F20.625，
22T1.51.63.1
F2F
（2）（21）（22）2（3.11）（3.12）24.961
因为F2Fl，所以已找到具有“高一低一高”特征的区间
即10.7时，F
（1）2.873；
21.5时，F
（2）0.625；
33.1时，F（3）4.961。
（2）由
（1）确定的搜索区间[0.7,3.1]，利用Matlab进行黄金分割法一维优化搜索得
0.7
1.5
3）由
（1）确定的搜索区间
*2
2.0082,f（*）（2.00821）（2.00822）22.02310
[0.7,3.1]，利用Matlab进行二次插值法一维优化搜索得:
1.9504,f（
2
）（1.95041）（1.95042）2
7.25810
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