机械优化设计课后习题答案word版本.docx
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机械优化设计课后习题答案word版本
第一章习题答案
1-1某厂每日(8h制)产量不低于1800件。
计划聘请两种不同的检验员,一级检验员的标准为:
速度为25
件/h,正确率为98%,计时工资为4元/h;二级检验员标准为:
速度为15件/h,正确率为95%,计时工资3元/h。
检验员每错检一件,工厂损失2元。
现有可供聘请检验人数为:
一级8人和二级10人。
为使总检验费用最
省,该厂应聘请一级、二级检验员各多少人?
解:
(1)确定设计变量;
X-j一级检验员
根据该优化问题给定的条件与要求,取设计变量为X=1;
x2二级检验员
(2)建立数学模型的目标函数;取检验费用为目标函数,即:
f(X)=8*4*X1+8*3*X2+2(8*25*0.02X1+8*15*0.05X2)
=40x1+36x2
(3)本问题的最优化设计数学模型:
3•
minf(X)=40X1+36X2x€R
s.t.g1(X)=1800-8*25X1+8*15X2W0
g2(X)=x1-8<0
g(X)=x2-10w0
g4(X)=-X1w0g5(X)=-x2w0
1-2已知一拉伸弹簧受拉力F,剪切弹性模量G,材料重度r,许用剪切应力[],许用最大变形量[]。
欲选择一组设计变量X[X1X2X3]t[dD2n]T使弹簧重量最轻,同时满足下列限制条件:
弹簧圈数n3,
簧丝直径d0.5,弹簧中径10D250。
试建立该优化问题的数学模型。
注:
弹簧的应力与变形计算公式如下
ks8FD32,ks11,cD2(旋绕比),
sd3s2cd
解:
(1)确定设计变量;
x-id
根据该优化问题给定的条件与要求,取设计变量为X=x2D2;
X3n
(2)建立数学模型的目标函数;取弹簧重量为目标函数,即:
2
2
f(X)=rx1x2x3
4
23•
minf(X)=rx1x2x3X€R
4
s.t.gi(X)=0.5-xiw0
g2(X)=10-x2w0
g3(X)=X2-50w0
g4(X)=3-X3w0
g5(X)=(1丄)辱w0
2x2x1
w0
g6(X)=
3
8FX2x3
Gx14
1-3某厂生产一个容积为一优化问题的数学模型。
8000cm3的平底、无盖的圆柱形容器,
要求设计此容器消耗原材料最少,试写出这
解:
根据该优化问题给定的条件与要求,取设计变量为
X2
底面半径r高
表面积为目标函数,即:
inf(X)=
X12
+2X1X2
考虑题示的约束条件之后,
该优化问题数学模型为:
minf(X)=
X12+2
X1X2
S.t.
兀。
基
T厂M
X=[X1,X2]€R
g1(X)=-X1w0
g2(X)=-X2w0
h1(X)=8000-X12X2=0
1500m3的长方形仓库,已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为
1-4要建造一个容积为
岂于美学的考虑,其宽度应为高度的两倍。
现欲使其造价最低,试导出相应优化问题的数学模型。
4元、6元和12
解:
(1)确定设计变量;
根据该优化问题给定的条件与要求,取设计变量为
X1
X=X2
X3
(2)建立数学模型的目标函数;
取总价格为目标函数,即:
f(X)=8(X1X3+X2X3)+6X1X2+12X1X2
(3)建立数学模型的约束函数;
1)仓库的容积为1500m3。
即:
1500-X1X2X3=0
2)仓库宽度为高度的两倍。
即:
x2-2x3=03)各变量取值应大于0,即:
xi>0,X2.>0.,则-xi<0,-X2<0
(4)本问题的最优化设计数学模型:
3.minf(X)=8(x1X3+X2X3)+18xiX2X€R
s.t.gi(X)=-xiw0
g2(X)=-X2w0
g3(X)=-x3w0
hi(X)=i500-xix2x3=0
h2(X)=x2-2x3=0
i-5绘出约束条件:
222
xix28;2xix28;xix24所确定的可行域
i-6试在三维设计空间中,用向量分别表示设计变量:
Xi[i32]T;X2[234]T;X3[4i4]T。
第二章习题答案
2-i请作示意图解释:
X(ki)X(k)(k)S(k)的几何意义。
2-2已知两向量Pi[i220]T,P2[202i]T,求该两向量之间的夹角。
2-3求四维空间内两点(i,3,i,2)和(2,6,5,0)之间的距离。
2-4计算二元函数f(X)Xi3XM25xi6在X(0)[11]T处,沿方向S[12]T的方向导数fs'(X(0))和沿该点梯度方向的方向导数f'(X(0))。
2-5已知一约束优化设计问题的数学模型为
22
minf(X)(xi3)2(x24)2
X[xi,x2]T
gi(X)xix250
g2(X)xix22.50
g3(X)xi0
g4(X)x20
求:
(1)以一定的比例尺画出当目标函数依次为f(X)1、2、34时的四条等值线,并在图上画出可行区的范围。
(2)找出图上的无约束最优解X1和对应的函数值f(X1),约束最优解X2和f(X2);
精品文档
(3)若加入一个等式约束条件:
h(X)x-ix20
求此时的最优解X3,f(X3)。
解:
下图为目标函数与约束函数(条件)设计平面X-OX2。
其中的同心圆是目标函数依次为f(X)=1、2、3、4时的四条等值线;阴影的所围的部分为可行域。
由于目标函数的等值线为一同心圆,所以无约束最优解为该圆圆心即:
X1=[3,4]t
而约束最优解应在由约束线gi(X)=0,g2(X)=0,g3(X)=0,g4(X)=0,组成的可行域(阴影线内侧)
xx50
内寻找,即约束曲线gi(X)=0与某一等值线的一个切点X2*,可以联立方程:
12,解得
x-!
x210
X2*=[2,3]。
函数值f(X2*)=(2-3)2+(3-4)2=2。
加入等式约束条件,则X3*为可行域上为hi(X)=0上与某一条等值线的交点,可以联立方程:
函数值f(X3*)=(5/2-3)2+(5/2-4)2=2.5。
2-6试证明在(1,1)点处函数f(X)
证明:
求驻点:
丄凶4x134x1x2
X1
由丄凶。
輕0,得:
驻点x
X1X2
2f(X)“2'212X1
X1
4X2
2/
2f(X)
X1X2
海赛矩阵H(X)
10
4
4
2
各阶主子式:
an
10
0,
a11a12
a21a22
4222
X12x1X2X1X22x15具有极小值。
2x-i2,f(X)2x122x2
X2
[11]T,极值f(x*)4
皿4x1,”2
X2X1X2
104
0
42
H(X)是正定的,所以驻点必定是极小点。
故在(1,1)点处函数f(X)具有极小值。
2-7求函数f(X)3xi2x222xiX210的极值点,并判断其极值的性质。
由竺0,竺
X1X2
解:
丄凶6为2,Xi
0,得:
极值点x*[1/31/4]t,极值f(x*)229/24
2222
2f(X)62f(X)2f(X)o2f(X)/
26,-0,—24
x1x1x2x2Xx2
海赛矩阵H(X)
H(X)是正定的,所以,f(X)为凸函数。
得:
极值点X*[1/31/4]t,极值f(x*)229/24
2
X22X1X2捲1的凸性。
解:
f(X)4为2x21—
X1
f(X)
X2
2x22x1
2f(X)
2
X1
5,
2f(X)
2,
2f(X)
2,
2f(X)
X1
X2
x2x1
2
X2
海赛矩阵H(X)
各阶主子式:
a^1
0,
a11
a22
a21
H(X)是正定的,
所以,f(X)为凸函数。
22
f(X)X1X210X14X260并证明它在D{x1,x2
精品文档是一个凸函数。
解:
丄凶
102x1x2,
Xi
f(X)
X2
42x2x-i
2f(X)22f(X)
22,
XiXiX2
1,
2f(X)
海赛矩阵H(X)
各阶主子式:
an
0,
a11
a21
^2
a22
H(X)是正定的,
所以,f(X)为凸函数。
2-10现已获得优化问题
min
f(X)
4%
2
X2
12
s.t
g1(X)
2
X1
2
X2
25
0
g2(X)
2
X1
2
X2
10x1
10X2340
g3(X)
(X1
3)2
(X2
1)20
g4(X)
X1
0
g5(X)X20
的一个数值解X[1.000,4.900]t,试判定该解是否上述问题的最优解。
第三章习题答案
取初
3-1函数f(X)3x38x9,当初始点分别为X。
0及X。
1.8时,用进退法确定其一维优化的搜索区间,
始步
长T
0.1。
解:
当x。
0时
(1)
取T
T°0
•1,A0,A2
T
0.1
F1
F(A1)
f(X(0))
9
X
x(0)
a2s=0.1
F2
F(Az)
f(X(0)
A2S)
8.203
比较
F1、F2,
因F1F2:
,所以应作前进搜索。
⑵步长加倍:
T2T0.2,A2A2T120.3
F1F28.203
XX(0)A2S=0.3
F2F(A2)f(X(0)A2S)6.681
再比较F1、F2,因F1F2,所以还应再向前搜索,为此应舍去上一次的A1点。
所以:
A1A2T0.30.20.1。
(3)步长加倍:
T2T0.4,A2A2T0.30.40.7
F1F26.681
XX(0)A2S=0.7
F2F(A2)f(X(0)A2S)4.429.
比较F1、F2,因F1F2,所以还应再向前搜索,A1A2T0.70.40.3。
(4)步长加倍:
T2T0.8,A2A2T1.5
F1F24.429
XX(0)A2S=1.5
F2F(A2)f(X(0)A2S)7.125.
比较F1、F2,因F1F2。
已找到具有“高-低-高”特征的区间
即:
1A1
0.3时,F(
1)
6.681
2A2T
0.7时,
F(
2)4.429
3A21.5
时,F(
3)
7.125。
所以,F(1
)F(
2)F(
3),
单峰区间为:
A1
A1
0.3,B
3
A21.5。
当x01.8时
同理可得:
A
1A1
1.5,B
3A20.3
3-2用黄金分割法求函数F()
2在区间[35]中的极小点,要求计算到最大未确定区间长度小于0.05。
解:
(1)在初始区间[a,b]=[-3,5]中取计算点并计算函数值
(1)b0.618(b
a)
0.056;f1
f(
(1))
0.115136
(2)a0.618(b
a)
1.944;f2
f(
(2))
7.667
(2)比较函数值,
缩短搜索区间
因有fKf2,则b
(2)1.944;f2f(
⑵)
0.115136
(1)b0.618(ba)
1
.11139;f1
f(
(1))
0.98759
(3)判断迭代终止条件
b—a>£不满足迭代终止条件,比较函数值fl、f2继续缩短区间。
将各次缩短区间的有关计算数据列于下表。
表黄金分割法的搜索过程
区间缩短
次数
a
b
(1)
a
a⑵
f1
f2
(原区间)
-3
5
0.056
1.944
0.115
7.667
1
-3
1.944
-1.111
0.056
-0.987
0.115
2
-3
0.056
-1.832
-1.111
-0.306
-0.987
3
-1.832
0.056
-1.111
-0.665
-0.987
-0.888
4
-1.832
-0.665
-1.386
-1.111
-0.851
-0.987
(5-8)略
9
-1.11122
-0.94097
-1.046
-1.006
-0.997867
-0.999964
32
3-3用二次插值法求函数F()8273的最优解。
已知搜区间为[02],选代精度0.01o
解:
采用Matlab编程计算得:
0.6207
3-4函数f(X)x/2X222冶4x2,取初始点为X(0)[22]T,规定沿X(0)点的负梯度方向进行一次
一维优化搜索,选代精度:
X105,f106o
(1)用进退法确定一维优化搜索区间;
(2)用黄金分割法求最优化步长及一维优化最优值;
(3)用二次插值法求最优化步长及一维优化最优值;
(4)上述两种一维优化方法在求解本题时,哪一个种方法收取更快,原因是什么?
解:
最优点X*[02]t,最优值f(X*)4
二次插值法更快
2
3-5求F()
(1)
(2)的极小点,选代精度x0.1,f0.1°要求:
(1)从0出发,T。
0.1为步长确定搜索区间;
(2)用黄金分割法求极值点;
(3)用二次插值法求极值点。
(1)①由已知条件可得,
1
0,F1
F
(1)
4
21T0
0.1
F2F
(2)
(21)(
22)2
(0.1
1)(0.1
2)2
3.971
因为F2F1,
应作前进搜索。
②步长加倍,
T2T0
0.2,F1
F2
3.971,
22T
0.10.2
0.3
F2F
(2)
(21)(
22)2
(0.3
1)(0.3
2)2
3.757
精品文档
解:
因为F2F1,所以还应再向前搜索,为此应舍去上一次的1点。
所以:
12
0.3
③步长加倍,T2T0.4,F1F23.757,
22T0.30.40.7
F2F
(2)(21)(22)2(0.71)(0.72)22.873
因为F2F1,所以还应再向前搜索,为此应舍去上一次的1点。
所以:
12
④步长加倍,T2T0.8,F1F22.873,
22T0.70.81.5
F2F
(2)(21)(22)2(1.51)(1.52)20.625
因为F2F1,所以还应再向前搜索,为此应舍去上一次的1点。
所以:
12
⑤步长加倍,T2T1.6,F1F20.625,
22T1.51.63.1
F2F
(2)(21)(22)2(3.11)(3.12)24.961
因为F2Fl,所以已找到具有“高一低一高”特征的区间
即10.7时,F
(1)2.873;
21.5时,F
(2)0.625;
33.1时,F(3)4.961。
(2)由
(1)确定的搜索区间[0.7,3.1],利用Matlab进行黄金分割法一维优化搜索得
0.7
1.5
3)由
(1)确定的搜索区间
*2
2.0082,f(*)(2.00821)(2.00822)22.02310
[0.7,3.1],利用Matlab进行二次插值法一维优化搜索得:
1.9504,f(
2
)(1.95041)(1.95042)2
7.25810