九年级二次函数圆训练题.docx

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九年级二次函数圆训练题

二次函数、圆训练题

1、如图，二次函数y=x2+bx－3b+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，且经过点（b

－2，2b2－5b－1）.

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）⊙M过A、B、C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；

（3）连接

、，将∠

绕点

顺时针旋转，两边

、与

轴、

y

轴分别交于点

、，若△

为等腰三角形，

AMDM

AMD

M

MAMDx

EF

DMF

求点E的坐标.

2、如图，抛物线y=（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）

（1）求抛物线的对称轴及k的值；

（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；

（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限．

①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？

求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；

②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？

求出四边形AMCB的最大面积及此时点的坐标．

3、如图，直线

AB的解析式为

y=2x+4，交

x轴于点

A，交

y轴于点

B，以

A为顶点的抛物线交直线

AB于点

D，交

y

轴负半轴于点

C（0，-4），

（1）求抛物线解析式；

（2）将抛物线顶点沿着直线

AB平移，此时顶点记为

E，与y

轴的交点记为

F，求当△

BEF与△BAO相似时，E点坐标；

（3）记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则与是否存在8倍的关系，若有，写出F点坐标。

4、★如图，已知正方形

OABC的边长为

4，⊙M是以

OC为直径的圆，现以

O为

原点，边

OA、OC所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，

使点

B落在第四象

限，一条抛物线经过O、C两点，并将抛物线的顶点记作P.

（1）求证：

；

（2）当点P同时在⊙M和正方形OABC的内部时，求的取值范围；

（3）过A点作直线AD切⊙M于点D，交BC于点E.

①求E点的坐标；

②如果抛物线与直线只有一个公共点，请你判断四边形CMPE的形状，并说明理由.

5、如图，抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，

点P是它的顶点，点A的横坐标是3，点B的横坐标是1．

（1）求、的值；

（2）求直线PC的解析式；

（3）请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC的位置关系，并说明理由．

（参考数据，，）

6、如图所示，已知抛物线的解析式为

⑴求抛物线

的顶点坐标；

⑵将抛物线

①

②

每次向右平移求抛物线与试确定抛物线

2个单位，平移n次，依次得到抛物线

x轴的交点A1、A2的坐标；

的解析式.（直接写出答案，不需要解题过程）

（n为正整数）

7、（切线问题）给出定义：

设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，只这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：

①直线y=0是抛物线y=x2的切线

②直线x=﹣2与抛物线y=x2相切于点（﹣2，1）

③直线y=x+b与抛物线y=x2相切，则相切于点（2，1）

④若直线

y=kx﹣2与抛物线

y=x2

相切，则实数

k=

其中正确命题的是（

）

A．①②④

B．

①③

C．②

③

D．①③④

8、如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+42交x轴与点A,交直线y=x于点B,抛物线分别交线

段AB、OB于点C、D，点C和点D的横坐标分别为16和4，点P在这条抛物线上．

（1）求点C、D的纵坐标．

（2）求a、c的值．

（3）若Q为线段OB上一点，且P、Q两点的纵坐标都为5，求线段PQ的长．

（4）若Q为线段OB或线段AB上的一点，PQ⊥x轴，设P、Q两点之间的距离为d（d＞0），点Q的横坐标为m，直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围．

（参考公式：

二次函数图像的顶点坐标为

9

、如图，将腰长为

的等腰Rt△ABC（

=90°）放在平面直角坐标系中的第二象限，

使点C的坐标为（

，

0

），点A在y轴上，点

B在抛物线

上．

（1）写出点A，B的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达的位置．请判断点、是否在该抛物线上，

并说明理由．

10、如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=10，P是AD边上动点（不与A，D重合），⊙B是以B为圆心，BP为半径的一个圆。

（1）如图1，若CP与⊙B相切，求AP的长；

（2

）如图2，若经过点P的圆的切线与线段

BC相交于点F，与DC的延长线相交于点

E，设AP=x，CE=y,求y关于x

的函数解析式，并写出自变量

x的取值范围；

（3

）若经过点P的⊙B切线与直线BC相交于点F，当CF=2时，求AP的长。

11、如图，已知⊙O的半径OA=，弦AB=4，点C在弦AB上，以点C为圆心，CO为半径的圆与线段OA相交于点E．

（１）求的值；

（２）设AC=，OE=，求与之间的函数解析式，并写出定义域；

（３）当点C在AB上运动时，⊙C是否可能与⊙O相切？

如果可能，请求出当⊙C与⊙O相切时的AC的长；如果不可能，请说明理由．

12、如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且DAED=45°．

（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若⊙

的半径为

3，sinD

ADE

=，求

的值。

O

AE

13、如图，

是

的直径，

，

PB

是

的切线，

，

B

为切点，

=6，

=5．

AC

PA

A

AB

PA

求

（1）的半径；

（2）的值．

14、AB是的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在上，∠1=∠C。

（1）求证：

CB∥PD。

（2）若BC=5，sinP=，求的半径。

15、已知：

如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．

16、如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE．

（1）求∠ACB的度数；

（2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长．

17、如图，在平面直角坐标系xoy中，⊙O1与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点，

已知A（-1，0），O1（1，0）

（1）求出C点的坐标。

（2）过点C作CD∥AB交⊙O1于D，若过点C的直线恰好平分四边形ABDC的面积，求出该直线的解析式。

（3）如图，已知M（1，），经过A、M两点有一动圆⊙O2，过O2作O2E⊥O1M于E，若经过点A有一

条直线y=kx+b（k>0）交⊙O2于F，使AF=2OE，求出k、b的值。

18、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，AC=6cm,BC=8cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和BD的长；

19、△ABC内接于⊙O中，AD平分∠BAC交⊙O于D.

（1）如图1,连接BD，CD，求证:

BD=CD

（2）如图2,若BC是⊙O直径，AB=8，AC=6，求BD长

（3）如图,若∠ABC的平分线与AD交于点E，求证：

BD=DE

20、观察计算

当，时，与的大小关系是_________________．

当，时，与的大小关系是_________________．

探究证明

如图所示，为圆O的内接三角形，为直径，过C作于D，设，BD=b．

（1）分别用表示线段OC，CD；

（2）探求OC与CD表达式之间存在的关系（用含a，b的式子表示）．

归纳结论

根据上面的观察计算、探究证明，你能得出实践应用

与的大小关系是：

______________．

要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．

21、如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC

（1）求证：

AC平分∠OAB．

（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P．若AB=2，∠AOE=30°，求PE的长．

二次函数、圆训练题参考答案

1、解析：

（1）把点（b－2，2b2－5b－1）代入解析式，得

2b2－5b－1=（b－2）2+b（b－2）－3b+3，

解得b=2.

∴抛物线的解析式为y=x2+2x－3.

（2）由x2+2x－3=0，得x=－3或x=1.

∴A（－3，0）、B（1，0）、C（0，－3）.

抛物线的对称轴是直线x=－1，圆心M在直线x=－1上.

∴设M（－1，n），作MG⊥x轴于G，MH⊥y轴于H，

连接MC、MB.

∴MH=1，BG=2.

2222

∵MB=MC，∴BG+MG=MH+CH，

即4+n2=1+（3+n）2，解得n=－1，∴点M（－1，－1）

（3）如图，由M（－1，－1），得MG=MH.

∵MA=MD，∴Rt△AMG≌RtDMH，∴∠1=∠2.

由旋转可知∠3=∠4.∴△AME≌△DMF.

若△DMF为等腰三角形，则△AME为等腰三角形.

设E（x，0），△AME为等腰三角形，分三种情况：

①==

，则

x=

－3，∴（

－3，0）；

AEAM

E

②∵M在AB的垂直平分线上，

∴MA=ME=MB，∴E（1，0）

③点E在AM的垂直平分线上，则AE=ME.

2

2

2

2

2

2

，解得

x=

，∴E（

，0）.∴所求点E的坐标

AE=x+3，ME=MG+EG=1+

（－1－x）

，∴（x+3）

=1+（－1－x）

为（

－3，0），（1，0），（

，0）

2、

解：

（

1）∵抛物线

y=（x+1）2+k与y轴交于点

C（0，﹣3），

∴﹣3=1+k，

∴k=﹣4，

∴抛物线的解析式为：

y=（x+1）2﹣4，

∴抛物线的对称轴为：

直线x=﹣1；

（2）存在．

连接AC交抛物线的对称轴于点P，则PA+PC的值最小，

当y=0时，（x+1）2﹣4=0，

解得：

x=﹣3或x=1，

∵A在B的左侧，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

设直线AC的解析式为：

y=kx+b，

∴，

解得：

，

∴直线AC的解析式为：

y=﹣x﹣3，

当x=﹣1时，y=﹣（﹣1）﹣3=﹣2，

∴点P的坐标为：

（﹣1，﹣2）；

（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限，∴﹣3＜x＜0；

①设点M的坐标为：

（x，（x+1）2﹣4），

∵AB=4，

△AMB

2

2

﹣4|

，

∴S=

×4×|（x+1）﹣4|=2|

（x+1）

∵点M在第三象限，

∴S△AMB=8﹣2（x+1）2，

∴当x=﹣1时，

即点M的坐标为（﹣1，﹣4）时，△AMB的面积最大，最大值为8；

②设点M的坐标为：

（x，（x+1）2﹣4），

过点M作MD⊥AB于D，

S四边形ABCM=S△OBC+S△ADM+S梯形OCMD=×3×1+×（3+x）×[4﹣（x+1）2]+×（﹣x）×[3+4﹣（x+1）2]

=﹣（x2+3x﹣4）=﹣（x+）2+，

∴当x=﹣时，y=（﹣+1）2﹣4=﹣，

即当点M的坐标为（﹣，﹣）时，四边形AMCB的面积最大，最大值为．

3

、

4

、

（1）∵对称轴为直线

x=2，

∴b=－4a，

∴4a+b=0

；

（2）

y=ax2－4ax，P（2

，－4a），

∴－2<－4a<0，∴0

（3）①设CE=x，Rt△ABE中：

42+（4－x）2=（4+x）2,

∴x=1，∴x=1，∴E（4，－1）

②只有一个公共点=>a=1/4，

∴CMPE为矩形。

5、

（1）

（4分）（

2）

（3分）

（3）

⊙A与直线

PC相交（可用相似知识，也

可三角函数，求得圆心

A到

PC的距离

d与r

大小比较，从而确定直线和圆的位置关系。

）（3分）

6、解：

⑴∵

∴抛物线的顶点坐标为（

1，

-1）；

⋯⋯⋯⋯2分

⑵当

∴

y=0时，则有

，

，解得：

①将抛物线每次向右平移2个单位，得到抛物线，

此时抛物线与x轴的交点、也随之向右平移2个单位，

∴抛物线与x轴的交点A1、A2的坐标分别为：

、；⋯⋯⋯⋯6分

②抛物线的解析式为：

⋯⋯⋯⋯10分

7、考点：

二次函数的性质；根的判别式。

解答：

解：

①∵直线y=0是x轴，抛物线y=

2

2

x的顶点在x轴上，∴直线y=0是抛物线y=

x的切线，故本小题正确；

②∵抛物线y=x2的顶点在x轴上，开口向上，直线x=2与y轴平行，∴直线x=﹣2与抛物线y=x2相交，故本小题错误；

③∵直线y=x+b与抛物线y=x2相切，∴x2﹣4x﹣b=0，∴△=16+4b=0，解得b=﹣4，把b=﹣4代入x2﹣4x﹣b=0得

x=2，把x=2代入抛物线解析式可知y=1，∴直线y=x+b与抛物线y=x2相切，则相切于点（2，1），故本小题正确；

④∵直线y=kx﹣2与抛物线y=x2相切，∴x2=kx﹣2，即x2﹣kx+2=0，△=k2﹣2=0，解得k=±，故本小题错误．

故选B．

8、解析：

（1）把x=16代入y=-2x+42得y=10，把x=,4代入y=x得y=4.点C的纵坐标为10，点,D的纵坐标为4.

（2）把C（16,10）D（4,4）代入得

10=256a-32+c，4=16a-8+c

解之得：

a=

c=10

（3）把y=5代入y=x得x=4把y=5代入y=得y=，

PQ=5-=

（4）7

考查知识：

待定系数法求二次函数解析式、坐标系上两点间距离、求点的坐标。

9、

（1）A（0，2），B（，1）；⋯2’

（2）将B（-3，1）代入函数式得a=,解析式为；⋯4’

（3）过点作轴于点M，过点B作轴于点N，过点作轴于点P．⋯⋯5’在

Rt△AB′M与Rt△BAN中，

∵AB=AB′，∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM，∴Rt△AB′M≌Rt△BAN．⋯⋯6’

∴B′M=AN=1，AM=BN=3，∴B′（1，）．⋯⋯7’

同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得点C′（2，1）；⋯⋯8’

当x=1时=－1，当x=2时=1，

可知点B′、C′在抛物线上．⋯⋯10’

10、

（1）AP的长为1或9

（2）（1＜＜9）

（3）情况一：

当1＜AP＜9时，AP=4±；

情况二：

当0＜AP≤1或9≤AP＜10时，AP=6-3

综上所述:

AP的长为4±

或6-3.

11、解：

（1）过点O作OD⊥AB，垂足为D，

∵AB是⊙O的弦，∴AD=AB=2，

∴．

（2）过点

C

作

⊥

，垂足为

，∵

是⊙

C

的弦，

，

CF

OE

F

OE

在Rt△ACF中，AF=AC·=，

∵AF+OF=OA，∴.

∴函数解析式为．函数定义域为

（3）⊙C可能与⊙O相切．

在Rt△AOD中，OD=

．

当⊙

C

与⊙

O

相切时，

=

，

OC

∵CD==，，∴．

∴

⊙C与OA相于点O，不符合题意．

∴当⊙C与⊙O相切时的AC的长为

12、解：

（1）CD与圆O相切．

证明：

连接OD，则DAOD=2DAED=2′45°=90°．⋯

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//DC．

∴DCDO=DAOD=90°．

∴OD^CD．

∴CD与圆O相切．

（2）连接BE，则DADE=DABE．

∴sinDADE=sinDABE=．

∵AB是圆O的直径，

∴DAEB=90°，AB=2′3=6．

在Rt△ABE中，sinDABE==．

∴AE=5．

13、解：

（1）连接．设交于．

是的切线．

，

，．

，．

．

在和中，．

，即的半径为．

（2）在中，．

．

14、

（1）证明：

∵∠C与∠P是弧BD所对的圆周角，

∴∠BCD=∠P，

又∵∠1=∠C，

∴∠1=∠P，

∴CB∥PD；

（2）连接AC．

∵AB为0D的直径，

∴∠ACB=90°．

又∵

CD⊥AB，

∴弧

BC=弧

BD

∴∠A＝∠P，

∴

sinA

＝sinP．

在Rt△ABC中，sinA＝BC/AB，

∵

又∵

sinP＝5/13，

BC＝5，

∴BC/AB＝5/13．

∴AB＝13．

即⊙O的半径为6.5．

15、

16、

（1）证明：

在△AEB和△DEC中

，

∴△AEB≌△DEC（ASA），

∴EB=EC，

又∵BC=CE，

∴BE=CE=BC，

∴△EBC为等边三角形，

∴∠ACB=60°；

（2）解：

∵OF⊥AC，

∴AF=CF，

∵△EBC为等边三角形，

∴∠GEF=60°，

∴∠EGF=30°，

∵EG=2，

∴EF=1，

又∵AE=ED=3，

∴CF=AF=4，

∴AC=8，EC=5，

∴BC=5，