北师大版七年级数学下册三角形难题全解.docx

北师大版七年级数学下册三角形难题全解.docx

《北师大版七年级数学下册三角形难题全解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版七年级数学下册三角形难题全解.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

北师大版七年级数学下册三角形难题全解

来源：

2011-2012学年广东省汕头市潮南区中考模拟考试数学卷（解析版）

考点：

三角形

如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90o，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90o，连结AE、BF．

求证：

（1）AE=BF；

（2）AE⊥BF．

【答案】

见解析

【解析】解：

（1）证明：

在△AEO与△BFO中，

∵Rt△OAB与Rt△EOF等腰直角三角形，

∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90ｏ-∠BOE=∠BOF，

∴△AEO≌△BFO，

∴AE=BF；

（2）延长AE交BF于D，交OB于C，则∠BCD=∠ACO，

由

（1）知：

∠OAC=∠OBF，

∴∠BDA=∠AOB=90ｏ，

∴AE⊥BF．

（1）可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，所以相等，由此可以证明△AEO≌△BFO；

（2）由

（1）知：

∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，由此可以证明AE⊥BF

来源：

2012-2013学年吉林省八年级上期中考试数学试卷（解析版）

考点：

四边形

如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=

AB,已知△ABE≌△ADF.

（1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置；

（2）线段BE与DF有什么关系？

证明你的结论.

【答案】

（1）绕点A旋转90°；

（2）BE=DF，BE⊥DF．

【解析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判断和性质

（1）根据旋转的概念得出；

（2）根据旋转的性质得出△ABE≌△ADF，从而得出BE=DF，再根据正方形的性质得出BE⊥DF．

（1）图中是通过绕点A旋转90°，使△ABE变到△ADF的位置．

（2）BE=DF，BE⊥DF；

延长BE交DF于G；

由△ABE≌△ADF，得BE=DF，∠ABE=∠ADF；

又∠AEB=∠DEG；

∴∠DGB=∠DAB=90°；

∴BE⊥DF．

来源：

2012年江苏省东台市七年级下学期期中考试数学试卷（解析版）

如图，在△abc中，已知∠abc=30°，点d在bc上，点e在ac上，∠bad=∠ebc，ad交be于f.

1.求

的度数；

2.若eg∥ad交bc于g，eh⊥be交bc于h，求∠heg的度数.

【答案】

1.∠BFD=∠ABF+∠BAD（三角形外角等于两内角之和）

∵∠BAD=∠EBC，

∴∠BFD=∠ABF+∠EBC，

∴∠BFD=∠ABC=30°；

2.∵EG∥AD，∴∠BFD=∠BEG=30°（同位角相等）

∵EH⊥BE，

∴∠HEB=90°，

∴∠HEG=∠HEB-∠BEG=90°-30°=60°．

【解析】

1.∠BFD的度数可以利用角的等效替换转化为∠ABC的大小，

2.在直角三角形中，有平行线，利用同位角即可求解．

三角形强化训练和深化☣

1、如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是_________°．

 解析：

由题意可知折叠前，由BC//AD得：

∠BFE=∠DEF=25°将纸带沿EF折叠成图b后，

∠GEF=∠DEF=25°

所以图b中，∠DGF=∠GEF+∠BFE=25°+25°=50°

又在四边形CDGF中，∠C=∠D=90°

则由：

∠DGF+∠GFC=180°

所以：

∠GFC=180°－50°＝130°

将纸带再沿BF第二次折叠成图C后

∠GFC角度值保持不变

且此时：

∠GFC＝∠EFG+∠CFE

所以：

∠CFE=∠GFC-∠EFG=130°-25°=105

2、在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FG∥BC交AB于G，求证：

AE＝BG．

解法1：

【解析】证明：

∵∠BAC=900

AD⊥BC

∴∠1=∠B

∵CE是角平分线

∴∠2＝∠3

∵∠5＝∠1+∠2

∠4＝∠3+∠B

∴∠4＝∠5

∴AE＝AF

过F作FM⊥AC并延长MF交BC于N

∴MN//AB

∵FG//BD

∴四边形GBDF为平行四边形

∴GB=FN

∵AD⊥BC,CE为角平分线

∴FD=FM

在Rt△AMF和RtNDF中

∴△AMF≌△NDF

∴AF＝FN

∴AE＝BG

解法2：

解：

作EH⊥BC于H，如图，

∵E是角平分线上的点，EH⊥BC，EA⊥CA，

∴EA=EH，

∵AD为△ABC的高，EC平分∠ACD，

∴∠ADC=90°，∠ACE=∠ECB，

∴∠B=∠DAC，

∵∠AEC=∠B+∠ECB，

∴∠AEC=∠DAC+∠ECA=∠AFE，

∴AE=AF，

∴EG=AF，

∵FG∥BC，

∴∠AGF=∠B，

∵在△AFG和△EHB中，

∠GAF=∠BEH

∠AGF=∠B

AF=EH

，∴△AFG≌△EHB（AAS）

∴AG=EB，

即AE+EG=BG+GE，

∴AE=BG．

3、如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AD为腰CB上的中线，CE⊥AD交AB于E．求证∠CDA＝∠EDB．

解：

作CF⊥AB于F，交AD于G，

如图，

∵△ABC为等腰直角三角形，

∴∠ACF=∠BCF=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°，

∵CE⊥AD，

∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE=90°，

∴∠1=∠2，

在△AGC和△CEB中

∠1=∠2

AC=CB

∠ACG=∠CBE

，∴△AGC≌△CEB（ASA），

∴CG=BE，

∵AD为腰CB上的中线，

∴CD=BD，

在△CGD和△BED中

CG=BE

∠GCD=∠B

CD=BD

，∴△CGD≌△BED（SAS），

∴∠CDA=∠EDB．

4、如图，已知AD和BC相交于点O，且

均为等边三角形，以

平行四边形ODEB，连结AC，AE和CE。

求证：

也是等边三角形

证明：

∵△OAB和△OCD为等边三角形，

∴CD=OD，OB=AB，∠ADC=∠ABO=60°．

∵四边形ODEB是平行四边形，

∴OD=BE，OB=DE，∠CBE=∠EDO．

∴CD=BE，AB=DE，∠ABE=∠CDE．

∴△ABE≌△EDC．

∴AE=CE，∠AEB=∠ECD．

∵BE∥AD，

∴∠AEB=∠EAD．

∴∠EAD=∠ECD．

在△AFE和△CFD中

又∵∠AFE=∠CFD，

∴∠AEC=∠ADC=60°．

∴△ACE为等边三角形．

5.如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=16，对角线AC与BD交于点E，过E作EF⊥AB于点F，O为边AB的中点，且FE+BO=8.求AD+BC的值.

6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,D是△ABC内一点，且

求证：

BD=BA。

解：

如图：

以AD为边，在△ADB中作等边三角形ADE，连接BE．

∵∠BAE=90°-60°-15°=15°，即∠BAE=∠CAD，且AB=AC，AE=AD，

∴△EAB≌△DAC（SAS），

∴∠BEA=∠CDA=180°-15°-15°=150°，

∴∠BED=360°-∠BEA-60°=150°，即∠BEA=∠BED；

又∵AE=ED，BE=BE，

∴△BEA≌△BED（SAS），

∴BA=BD．

7.已知，如图D是

的边BA延长线上一点，有AD=BA，E是边AC上一点，且DE=BC

求证：

延长CA至F，使得AF=CA

则三角形DAF与三角形BAC全等，

DF=BC,且

又DE=BC=DF，所以三角形DFE为等腰三角形，所以

8.如图，已知点D是边长为1的等边三角形ABC的内心，点E，F分别在边AB，AC上，且满足

。

求

的周长。

过D做AC和AB的垂线交与HG

找到一个I点，使∠EDI=60度

可以证明。

过D做AC和AB的垂线交与HG

找到一个I点，使∠EDI=60度

那么三角形HDF和GDI全等。

证明：

∠HDG=120∠FDI=120（2个60度相加）

∠HDG-∠FDG=∠FDI-∠FDG

∠HDF=∠GDI

DH=GD

∠DHF=∠DGI=90度

由此可知FD=ID

那么三角形FDE和IDE全等。

证明：

因为FD=ID

ED=ED

∠FDE=∠IDE=60°

由此可知FE=IE（蓝色线）

那么三角形AFD和BID全等。

证明：

∠ADB=120∠FDI=120（2个60度相加）

∠ADB-∠ADI=∠FDI-∠ADI

所以∠BDI=∠FDA

因为FD=ID，AD=BD

那么，AE=BI（红色线）

最后，AE+EF+FA=AE+EI+IB=单边长。

为固定值。

初一下册数学难题（全内容）

1、解方程：

，则

=60°

2、用10%和5%的盐水合成8%的盐水10kg，问10%和5%的盐水各需多少kg？

设需10%的盐水X千克，则需要5%的盐水（10-X）千克

X*10%+（10-X）*5%=10*8%

5%X=0.3

X=6

10-6=4（千克）

所以需10%的盐水6千克，则需要5%的盐水4千克

3、已知

的解为正数，则k的取值范围是

4、

（2）若

的解为x＞3，则a的取值范围

（3）若

的解是-1＜x＜1，则（a+1）（b-2）=

（4）若2x＜a的解集为x＜2，则a=

（5）若

有解，则m的取值范围

5、已知

，x＞y，则m的取值范围；

6、已知上山的速度为600m/h，下上的速度为400m/h，则上下山的平均速度为？

7、已知

，则x=，y=；

8、已知

（

），则

，

；

9、当m=时，方程

中x、y的值相等，此时x、y的值=。

10、已知点P（5a-7,-6a-2）在二、四象限的角平分线上，则a=。

11、

的解是

的解，求

。

12、若方程

的解是负数，则m的取值范围是。

13、船从A点出发，向北偏西60°行进了200km到B点，再从B点向南偏东20°方向走500km到C点，则∠ABC=。

14、

的解x和y的和为0，则a=。

15、a、b互为相反数且均不为0，c、d互为倒数，则

。

a、b互为相反数且均不为0，则

。

a、b互为相反数，c、d互为倒数，

，则

。

16、若

，则m0。

（填“＞”、“＜”或“=”）

17、计算：

；

。

18、若

与

互为相反数，则

。

19、倒数等于它本身的数是：

；相反数等于它本身的数是：

。

20、有23人在甲处劳动，17人在乙处劳动，现调20人去支援，使在甲处劳动的人数是在乙处劳动的人数的2倍，应调往甲乙两处各多少人？

21、如图

（1）,已知△ABC中,∠BAC=900,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B、C在A、E的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.

图1图2图3

（1）试说明:

BD=DE+CE.

∵∠ABD+∠BAD=90°,∠CAE+∠BAD=90°∴∠ABD=∠CAE

在Rt△ABD和Rt△CAE中，∠ABD=∠CAE,∠ADB=∠CEA=90°,AB=CA,∴△ABD≌△CAE,

∴BD=AE,AD=CE,∵DE+AD=AE,∴DE+CE=AE=BD

（2）若直线AE绕A点旋转到图

（2）位置时（BD

不需说明.

DE=BD+CE（AAS）

（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD>CE）,其余条件不变,问BD与DE、CE的关系如何?

DE=BD+CE（AAS）

22、如图,已知:

等腰Rt△OAB中,∠AOB=900,等腰Rt△EOF中,∠EOF=900,连结AE、BF.求证:

（1）AE=BF;

（2）AE⊥BF.

证明：

（1）

∵∠AOE+∠EOB=∠AOB=90º

∠BOF+∠EOB=∠EOF=90º

∴∠AOE=∠BOF

又∵AO=BO，EO=FO

∴⊿AOE≌⊿BOF（SAS）

∴AE=BF

（2）

∵⊿AOE≌⊿BOF

∴∠OAE=∠OBF

延长AE交BF于G

∵∠ABO+∠BAE+∠OAE=90º

∴∠ABO+∠BAE+∠OBF=90º

∴∠AGB=90º

即AE⊥BF

23、如图示，已知四边形ABCD是正方形，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF=

AB，

已知△ABE≌△ADF.

（1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置；（3分）

（2）线段BE与DF有什么关系？

证明你的结论。

（10分）

BE=DF且垂直于DF

过程如下：

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=AD

∵E是AD的中点

∴AE=1/2AD

又∵AF=1/2AB

∴AE=AF

∵∠DAB=90°

∴∠DAF=90°

∴△DFA≌△BEA（边角边）

∵∠FDA+∠F=90°，∠EBA=∠FDA

∴∠F+∠EBA=90°

∴∠FPB=90°（P是延长后交DF的点）

∴BE⊥DF

24、上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）.设计了如下方案：

（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.

（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.

（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？

若可行，请证明；若不可行，请说明理由.（9分）

（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？

请说明理由.（5分）