详解四川省泸州市届高三二诊考试数学理试题含答案.docx

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详解四川省泸州市届高三二诊考试数学理试题含答案

2019年5月

2019年四川省泸州市高考数学二诊试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合，则（　　）

A.B.C.D.

【答案】A

【分析】

先求出集合B，然后根据集合的交集的运算求出.

【详解】解：

B={x|-3＜x＜3},

又

∴A∩B={1}．

故选：

A．

【点睛】本题考查集合列举法、描述法的定义，交集的运算，属于基础题.

2.=（　　）

A.B.C.D.

【答案】C

【分析】

先对分母实数化，然后按照复数代数形式的乘除运算法则化简.

【详解】=，

故选C.

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题.

3.已知，则tan2α=（　　）

A.B.C.D.

【答案】B

【分析】

直接由正切函数的倍角公式，代入求出答案即可.

【详解】由正切函数倍角公式：

故选B

【点睛】本题主要考查了正切倍角公式，属于基础题.

4.是成立的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】

解出关于x的不等式，再结合充分必要条件的定义找出两者之间的关系.

【详解】解：

lnx＞1⇔x＞e

∵x＞3⇒x＞e，

x＞e推不出x＞3，

∴x＞3是lnx＞1成立的充分不必要条件

故选：

A．

【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，解不等式，属于基础题.

5.几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是

【答案】B

试题分析：

由正视图排除A，C；由侧视图排除D，故B正确．

考点：

三视图．

6.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形．设直角三角形中一个锐角的正切值为3．在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（　　）

A.B.C.D.

【答案】D

不妨设两条直角边为,故斜边,即大正方形的边长为,小正方形边长为,故概率为.

7.在△ABC中|+|=|-|，AB=3，AC=4，则在方向上的投影是（　　）

A.4B.3C.D.5

【答案】C

解：

在中，，平方整理可得，

在方向上的投影是.

点晴:

平面向量的数量积的相关计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．

8.设，，，则的大小关系是（　　）

A.B.C.D.

【答案】C

【分析】

先确定，然后将利用对数的运算，求得，从而得到的大小关系.

【详解】由于，所以为三个数中最大的.由于，而，故.综上所述，故选C.

【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小.解决的方法是区间分段法，如本题中的“和”作为分段的分段点.在题目给定的三个数中，有一个是大于的，有一个是介于和之间的，还有一个是小于的，由此判断出三个数的大小关系.在比较过程中，还用到了对数和指数函数的性质.

9.若函数为常数，）的图象关于直线对称，则函数的图象（　　）

A.关于直线对称B.关于直线对称

C.关于点对称D.关于点对称

【答案】D

【分析】

利用三角函数的对称性求得a的值，可得g（x）的解+析式，再代入选项，利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．

【详解】解：

∵函数f（x）＝asinx+cosx（a为常数，x∈R）的图象关于直线x＝对称，

∴f（0）＝f（），即，∴a＝，

所以函数g（x）＝sinx+acosx＝sinx+cosx＝sin（x+），

当x＝﹣时，g（x）＝-，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x＝﹣对称，故A错误，

当x＝时，g（x）＝1，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x＝对称，故B错误，

当x＝时，g（x）＝≠0，故C错误，

当x＝时，g（x）＝0，故D正确，

故选：

D．

【点睛】本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质，属于中档题．

10.三棱锥中，底面，若，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）

A.B.C.D.

【答案】C

【分析】

先利用正弦定理计算出△ABC的外接圆直径2r，再结合三棱锥的特点，得出球心的位置：

过△ABC外接圆圆心的垂线与线段SA中垂面的交点.再利用公式可计算出该三棱锥的外接球直径，最后利用球体表面积公式可得出答案．

【详解】解：

由于AB＝BC＝AC＝3，则△ABC是边长为3的等边三角形，由正弦定理知，△ABC的外接圆直径为，

由于SA⊥底面ABC，所以，△ABC外接圆圆心的垂线与线段SA中垂面的交点为该三棱锥的外接球的球心，所以外接球的半径，

因此，三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为4πR2＝4π×＝21π．

故选：

C．

【点睛】本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于找出球心的位置，考查计算能力，属于中等题．

11.双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与圆相切，与的左、右两支分别交于点，若，则的离心率为（　　）

A.B.C.D.

【答案】A

【分析】

由双曲线的定义可得|AF1|＝2a，则|AF2|＝|AF1|+2a＝4a，运用直角三角形的余弦函数定义和余弦定理，可得a，c的方程，再由离心率公式，解方程可得所求值．

【详解】解：

由双曲线的定义可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，

|AB|＝|BF2|，可得|AF1|＝2a，

则|AF2|＝|AF1|+2a＝4a，

cos∠BF1F2＝

＝，

化简可得c4﹣10a2c2+13a4＝0，

由e＝可得e4﹣10e2+13＝0，

解得e2＝5+2，

可得e＝，

故选：

A．

【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，注意运用直角三角形中三角函数和余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

12.已知函数，则满足恒成立的的取值个数为（　　）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】

由f（x）＝（ex﹣a）（x+a2）≥0，对a分类讨论，可知a≤0时不合题意，当a＞0时，f（x）的两个因式同正同负，则需在同一x处等0，则转化为﹣a2＝lna的根的个数求解．

【详解】解：

f（x）＝（ex﹣a）（x+a2）≥0，

当a＝0时，f（x）＝（ex﹣a）（x+a2）≥0化为ex•x≥0，则x≥0，与x∈R矛盾；

当a＜0时，ex﹣a＞0，则x+a2≥0，得x≥﹣a2，与x∈R矛盾；

当a＞0时，令f（x）＝0，得x＝lna或x＝﹣a2，要使f（x）≥0恒成立，

则﹣a2＝lna，作出函数g（a）＝﹣a2与h（a）＝lna的图象如图：

由图可知，a的取值个数为1个．

故选：

B．

【点睛】本题考查恒成立问题，考查数学转化思想和分类讨论的思想，是中档题．

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.的展开式中x2的系数为__________.（用数字作答）

【答案】

试题分析：

展开式通项为，令，，所以的．故答案为．

考点：

二项式定理

14.已知实数满足约束条件，则的最大值为_____．

【答案】4

【分析】

作出不等式组表示的平面区域，由z＝2x-y可得y＝﹣2x+z，则z表示直线y＝2x-z在y轴上截距的相反数，截距越小，z越大，结合图象即可求解z的最大值．

【详解】解：

作出实数x，y满足约束条件表示的平面区域，

由z＝2x-y可得y＝2x-z，则z表示直线y＝2x-z在y轴上截距的相反数，截距越大，z越小，作直线2x-y＝0，然后把该直线向可行域平移，当直线经过的交点（2,0）时，z最大，代入z=2x-y=4

故答案为：

4．

【点睛】本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z的几何意义，属于基础题.

15.抛物线上的点到的距离与到其准线距离之和的最小值是_____.

【答案】

【分析】

先求出抛物线的焦点坐标，根据定义把p到准线的距离转化为p到焦点的距离，再由抛物线的定义可得d＝|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值．

【详解】解：

∵抛物线y2＝4x，∴F（1，0），如图：

设p在准线上的射影A″，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为

|PA″|＝|PF|，

则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|+|PA|≥|AF|＝．

故答案为：

．

【点睛】本题考查抛物线定义的转化，考查数学转化的思想和数形结合的思想，属于基础题.

16.已知锐角的外接圆的半径为1，，则的面积的取值范围为_____．

【答案】

【分析】

由已知利用正弦定理可以得到b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△ABC═sin（2B﹣）+，由锐角三角形求B的范围，进而利用正弦函数的图象和性质即可得解．

【详解】解：

∵锐角△ABC的外接圆的半径为1，A＝，

∴由正弦定理可得：

，可得：

b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），

∴S△ABC＝bcsinA

＝×2sinB×2sin（﹣B）×

＝sinB（cosB+sinB）

＝sin（2B﹣）+，

∵B，C为锐角，可得：

＜B＜，＜2B﹣＜，可得：

sin（2B﹣）∈（，1]，

∴S△ABC＝sin（2B﹣）+∈（1，]．

故答案为：

（1，]．

【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.已知数列{an}的前n项和Sn满足2an=2+Sn．

（1）求证：

数列{an}是等比数列；

（2）设bn=log2a2n+1，求数列{bn}的前n项和Tn．

【答案】

（1）见解+析；

（2）

【分析】

（1）运用数列的递推式和等比数列的定义，即可得证；

（2）运用等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．

【详解】

（1）证明：

数列{an}的前n项和Sn满足2an=2+Sn，

可得2a1=2+S1=2+a1，解得a1=2；

n≥2时，2an-1=2+Sn-1，又2an=2+Sn，

相减可得2an-2an-1=2+Sn-2-Sn-1=an，

即an=2an-1，可得数列{an}是首项、公比均为2的等比数列；

（2）由

（1）可得an=2n，

bn=log2a2n+1=log222n+1=2n+1，

数列{bn}的前n项和Tn=（3+2n+1）n=n2+2n．

【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的递推式，考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．

18.为了解一款电冰箱的使用时间和市民对这款电冰箱的购买意愿，研究人员对该款电冰箱进行了相应的抽样调查，得到数据的统计图表如下：

购买意愿市民年龄

不愿意购买该款电冰箱

愿意购买该款电冰箱

总计

40岁以上

600

800

40岁以下

400

总计

800

（1）根据图中的数据，估计该款电冰箱使用时间的中位数；

（2）完善表中数据，并据此判断是否有的把握认为“愿意购买该款电冰箱“与“市民年龄”有关；

（3）用频率估计概率，若在该电冰箱的生产线上随机抽取3台，记其中使用时间不低于4年的电冰箱的台数为，求的期望．

附：