高教社杯全国大学生数学建模竞赛论文.docx
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高教社杯全国大学生数学建模竞赛论文
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
A
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
哈尔滨工程大学
参赛队员（打印并签名）：
1.文冷冷
2.唐骏
3.唐亮
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
日期：
2009年9月13日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
制动器试验台的电模拟技术
摘要
汽车的行车制动器的作用是在行驶时使车辆减速或者停止。
制动器试验台是用于对所设计的路试进行模拟实验的设备，本文就是对制动器试验台的控制方法进行分析。
针对问题
（1）与问题
（2）我们由题中给出的等效转动惯量、机械转动惯量及基础转动惯量的定义和关系，再用转动惯量定义等一些简单的物理知识求出等效的转动惯量是52kg·m2，有8种自由组合，电流的补偿惯量是12kg·m2
在问题（3）中，我们从两个不同的角度来看待电流的作用。
首先，电流的作用可以看作是补偿转动惯量；其次，电流的作用也可以看成是对主轴作用一个扭矩。
基于这两个不同的角度，我们得以建立模型Ⅰ，导出一个重要结论：
（
=
）
运用该结论，可以算出驱动电流的大小是174.8A。
基于等效转动惯量的对应能量由机械转动惯量与电流模拟的转动惯量所对应能量组成这个事实，于是我们又利用能量守恒定律与力矩的功的定义建立模型Ⅱ，并用模型Ⅱ对模型Ⅰ所得出的计算结果进行验证，结果得到同样的答案，充分说明所得电流的正确性。
针对问题（4），题中给出了评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，于是我们利用力矩的功的定义以及动能定理建立模型Ⅲ。
用模型Ⅲ解决问题四的关键就是计算积分，此处我们把整个制动时间离散化为0.01s的时间段，对每一时间段的电流做功进行求和，用这个和近似代表积分的结果。
得出的结论是在该控制方法下得到相对能量误差为5.5%，所以可以认为该方法比较精确。
针对问题（5），直接用问题三中导出的模型Ⅰ的结论，我们得到用上一时间段的角加速度来设计本时间段电流的方案。
然后我们借用了第四问附带的表格中的数据来检验该方案的可行性，方法是将电流做的功代入实验台上制动过程的动能定理关系式进行验证，结果电流做功的值很好地符合了该关系式，从而得出此电流方案可行性较大。
在问题（5）的电流设计方案中，我们提出了以下不足：
1）在0—0.01s内无电流
2）将上一时间段的末转速（即本时间段的初转速）用于计算，必然导致Ii的运行向后延迟一段微小时间。
3）用这种方法设计出的电流太大，从安全角度考虑存在着安全隐患。
在问题（6）中我们根据以上不足，对方案进行了相应的完善。
主要是用曲线拟合的方法补偿了0—0.01s时间段内的电流值，还提出了用上一时间段的中间时刻的角加速度来计算本时间段的电流的算法。
关键字：
制动器试验台等效惯量电流控制动能定理能量守恒定律机械转动惯量基础转动惯量扭矩
一、问题重述
制动器就是刹车。
它是使机械中的运动物件停止或减速的机械零件。
汽车的制动性是确保车辆行驶的主、被动安全性和提升车辆行驶的动力性的决定因素之一。
重大交通事故往往与制动距离太长、紧急制动时发生侧滑等情况有关，因此汽车的制动性是汽车安全行驶的重要保障。
而制动器是制动系中直接制约汽车运动的一个关键装置，是汽车上最重要的安全部件，所以它的工作性能就显得尤为重要。
因此，进行制动器试验，检测其装配质量，评价它的综合性能，成为改善制动器制动性能不可或缺的一部分。
因此要在一种模拟性能好、试验精度高的制动器实验台上对制动器进行测试。
为了更好地模拟我们可以对一些量进行转化和定义：
“将车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量称为等效的转动惯量，试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量，飞轮组由若干个飞轮组成，使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量。
”而在实际应用过程中，对于一些等效的转动惯量是不能完全由机械惯量表示出来的，这时可以让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则。
为了实现以上的目标就要计算一些飞轮的转动惯量，从而可以看出哪些飞轮能更好的完成制动。
还要计算一些等效惯量，以及需要电动机补偿多大的转动惯量。
同时还必须要确立电动机驱动电流与瞬时扭矩或瞬时转速的关系，再通过计算机控制方法（把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如10ms为一段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动）计算一些时间段的电流值。
现在，我们要解决的问题是：
1.车辆单个前轮的滚动半径为0.286m，制动时承受的载荷为6230N，求等效的转动惯量。
2.飞轮组由3个外直径1m、内直径0.2m的环形钢制飞轮组成，厚度分别为0.0392m、0.0784m、0.1568m，钢材密度为7810kg/m3，基础惯量为10kg·m2，问可以组成哪些机械惯量？
设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为[-30,30]kg·m2，对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量？
3.建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。
在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50km/h，制动5.0秒后车速为零，计算驱动电流。
4.对于与所设计的路试等效的转动惯量为48kg·m2，机械惯量为35kg·m2，主轴初转速为514转/分钟，末转速为257转/分钟，时间步长为10ms的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表。
请对该方法执行的结果进行评价
5.按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。
6.第5问给出的控制方法是否有不足之处？
如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价。
二、模型假设
a．路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大。
b．模拟实验中，可认为主轴的角速度与其上连接的飞轮等部件始终一致。
c.忽略汽车屏东时车轮自身转动具有的能量。
d.试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比,比例系数为K=1.5A/N·m。
e.不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。
f.重力常数g=9.8N/Kg。
三、符号说明
:
车的质量（kg）
：
飞轮的质量（kg）
:
汽车所受的重力（N）
:
重力常量（N/kg）
:
车前轮半径（m）
：
飞轮的转动惯量（kg·m2）
:
等效转动惯量（kg·m2）
:
机械转动惯量（kg·m2）
:
电流补偿的转动惯量（kg·m2）
:
飞轮的外直径（m）
:
飞轮的内直径（m）
:
密度（kg/m3）
：
飞轮的厚度（m）
:
角速度（rad/s）
：
车辆平动时的速度（m/s）
:
时间（s）
：
角加速度（rad/s2）
：
第i个时间段的角加速度（rad/s2）
：
第i个时间段初的转速（r/s）
:
制动加速度大小（m/s2）
：
第i个时间段初的角速度（rad/s）
：
第i个时间段内主轴转过的角量（rad）
：
制动器扭矩（N·m）
：
第i个时间段内制动器的扭矩（N·m）
：
电流产生的扭矩（N·m）
：
电流产生的扭矩所做的功（J）
：
在第i个时间段内电流产生的扭矩所做的功（J）
：
路试时制动器做的功（J）
：
试验台上制动器做的功（J）
四、模型的建立与求解
问题1
现欲将一定载荷下车辆平动时具有的能量等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，得：
又由简单物理学原理，得：
又由已知，
=6230N
综上解得：
问题2
空心圆柱体的转动惯量公式：
所以三个不同飞轮的转动惯量分别为：
飞轮质量：
代入相应的数据可得：
30（N·m）
60（N·m）
120（N·m）
由自由组合可以组成以下：
10（N·m）40（N·m）70（N·m）100（N·m）130（N·m）160（N·m）190（N·m）220（N·m）八种机械惯量，而等效的转动惯量为52（N·m）所以我们把机械惯量设为40（N·m）或70（N·m），因此就需要补偿12（N·m）或者-18（N·m）。
但是从节约能源以及用电的安全角度考虑，我们选择机械惯量为40（N·m）。
问题3
模型Ⅰ：
我们从两个不同的角度来看待电流的作用进而导出模型Ⅰ。
首先，我们把电流看作是对主轴提供一个与角加速度方向相反的扭矩。
应用转动定律，各量的关系如下图，可以得到以下方程（以下所出现的所有方程中的量均表示绝对值）：
（1）
图—1
然后我们从另一个角度看待电流的作用即补偿转动惯量，同理，由转动定律可得到以下方程：
（2）
得：
（
=
）（3）
由运动学公式得
（4）
有运动学关系得
（5）
又已知
（6）
由以上各式可得
代入相关数据可得
=174.8A
模型Ⅱ：
下面我们用能量守恒定律建立模型Ⅱ，对模型Ⅰ得出的结论进行验证。
我们已经知道等效转动惯量对应的能量是总能量，而等效转动惯量由机械转动惯量及电流所模拟的转动惯量组成，也就是说机械转动惯量与电流所模拟的转动惯量所对应的能量之和为总能量。
由此可以得出以下各式：
（7）
（8）
（9）
（10）
同样也可得出
=174.8A
问题4
模型Ⅲ：
题中给出了评价控制方法优劣的重要数量指标是能量误差的大小。
它指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。
路试时，由动能定理得：
在实验台上，根据力矩的功的定义得：
易得，
=52150J。
这样问题的关键就转换为计算
。
由于0.01s是一个很短的时间段，所以在这样的一个时间段内我们可以近似认为角速度是一个恒量。
因此，在计算中我们用本时间段的初角速度来代表本时间段内的角速度，从而得到下式：
（
）
下面，我们运用Excel表格进行数据处理，得出
的值。
表—（计算实验台上的制动器消耗的能量）
扭矩（N.m）
转速（rpm）
时间（s）
角速度（rad/s）
微小转角（rad）
制动器消耗的能量（J）
40.00
514.33
0.00
53.86
0.54
21.54
40.00
513.79
0.01
53.80
0.54
21.52
40.00
513.24
0.02
53.75
0.54
21.50
41.25
513.79
0.03
53.80
0.54
22.19
43.75
513.79
0.04
53.80
0.54
23.54
45.00
513.79
0.05
53.80
0.54
24.21
47.50
513.24
0.06
53.75
0.54
25.53
50.00
513.24
0.07
53.75
0.54
26.87
53.75
512.69
0.08
53.69
0.54
28.86
55.00
512.69
0.09
53.69
0.54
29.53
57.50
512.15
0.10
53.63
0.54
30.84
58.75
512.15
0.11
53.63
0.54
31.51
62.50
512.15
0.12
53.63
0.54
33.52
62.50
512.69
0.13
53.69
0.54
33.56
67.50
512.15
0.14
53.63
0.54
36.20
67.50
512.15
0.15
53.63
0.54
36.20
72.50
511.60
0.16
53.58
0.54
38.84
75.00
511.60
0.17
53.58
0.54
40.18
……
……
……
……
……
……
281.25
266.45
4.50
27.90
0.28
78.48
285.00
265.90
4.51
27.85
0.28
79.36
281.25
265.36
4.52
27.79
0.28
78.16
281.25
264.26
4.53
27.67
0.28
77.83
276.25
263.72
4.54
27.62
0.28
76.29
273.75
263.72
4.55
27.62
0.28
75.60
272.50
263.72
4.56
27.62
0.28
75.26
275.00
263.17
4.57
27.56
0.28
75.79
276.25
262.63
4.58
27.50
0.28
75.98
278.75
261.53
4.59
27.39
0.27
76.34
281.25
260.99
4.60
27.33
0.27
76.87
282.50
260.44
4.61
27.27
0.27
77.05
285.00
259.90
4.62
27.22
0.27
77.57
285.00
259.90
4.63
27.22
0.27
77.57
288.75
258.80
4.64
27.10
0.27
78.26
288.75
258.26
4.65
27.05
0.27
78.09
291.25
257.71
4.66
26.99
0.27
78.60
SUM=49294
得出
=49294J
所以
=2856J
相对误差
=5.5%
该误差在工程实践中可以认为是比较小的，因此本题所使用的这种控制方法是比较精确，比较合理的。
问题5
由问题三中导出的模型Ⅰ中的结论，我们得到：
电流
由上式我们得出，欲设计出某一瞬间的精确的电流，关键是要知道该时刻的角加速度。
但是，在工程实际中，由于制动器性能的复杂性，几乎不可能做到每一时刻的电流与当时的角加速度成以上的关系，所以常用的计算机控制方法是：
把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如10ms为一段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。
因为每一时刻的瞬时转速是可直接观测的离散量，故易得上一时间段内的平均角加速度。
这一平均角加速度就可以近似代替本时间段的角加速度，从而可以设计出本时间段内的电流值。
因此我们可以得出以下式子:
至此，每一微小时间间隔内（0-0.01s内除外）的电流就可以被设计出来了。
我们不妨假设问题四中的电流设计方案就是以上方案，并借用问题四中的电子表格的数据来对以上方案进行检验。
表二电流及其所做的功（表中量的单位全部采用国际单位制）
扭矩
转速
时间
角速度
角加速度
微小转角
电流
电流扭矩
电流做功
40.00
514.33
0.00
53.86
5.66
0.54
0.00
0.00
0.00
40.00
513.79
0.01
53.80
5.76
0.54
110.27
73.51
39.55
40.00
513.24
0.02
53.75
-5.76
0.54
112.31
74.88
40.24
41.25
513.79
0.03
53.80
0.00
0.54
-112.31
-74.88
-40.29
43.75
513.79
0.04
53.80
0.00
0.54
0.00
0.00
0.00
45.00
513.79
0.05
53.80
5.76
0.54
0.00
0.00
0.00
47.50
513.24
0.06
53.75
0.00
0.54
112.31
74.88
40.24
50.00
513.24
0.07
53.75
5.76
0.54
0.00
0.00
0.00
53.75
512.69
0.08
53.69
0.00
0.54
112.31
74.88
40.20
55.00
512.69
0.09
53.69
5.66
0.54
0.00
0.00
0.00
57.50
512.15
0.10
53.63
0.00
0.54
110.27
73.51
39.43
58.75
512.15
0.11
53.63
0.00
0.54
0.00
0.00
0.00
62.50
512.15
0.12
53.63
-5.66
0.54
0.00
0.00
0.00
62.50
512.69
0.13
53.69
5.66
0.54
-110.27
-73.51
-39.47
67.50
512.15
0.14
53.63
0.00
0.54
110.27
73.51
39.43
67.50
512.15
0.15
53.63
5.76
0.54
0.00
0.00
0.00
72.50
511.60
0.16
53.58
0.00
0.54
112.31
74.88
40.11
75.00
511.60
0.17
53.58
5.66
0.54
0.00
0.00
0.00
……
……
……
……
……
……
……
……
……
283.75
268.09
4.48
28.07
11.52
0.28
110.27
73.51
20.64
286.25
266.99
4.49
27.96
5.66
0.28
224.62
149.75
41.87
281.25
266.45
4.50
27.90
5.76
0.28
110.27
73.51
20.51
285.00
265.90
4.51
27.85
5.66
0.28
112.31
74.88
20.85
281.25
265.36
4.52
27.79
11.52
0.28
110.27
73.51
20.43
281.25
264.26
4.53
27.67
5.66
0.28
224.62
149.75
41.44
276.25
263.72
4.54
27.62
0.00
0.28
110.27
73.51
20.30
273.75
263.72
4.55
27.62
0.00
0.28
0.00
0.00
0.00
272.50
263.72
4.56
27.62
5.76
0.28
0.00
0.00
0.00
275.00
263.17
4.57
27.56
5.66
0.28
112.31
74.88
20.64
276.25
262.63
4.58
27.50
11.52
0.28
110.27
73.51
20.22
278.75
261.53
4.59
27.39
5.66
0.27
224.62
149.75
41.01
281.25
260.99
4.60
27.33
5.76
0.27
110.27
73.51
20.09
282.50
260.44
4.61
27.27
5.66
0.27
112.31
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